← На головну

Очікувані виграші в грі з перестановками

Складність:конкурсний

Умова задачі

У грі $O$ - $E$ раунд починається з того, що гравець $A$ платить $c$ центів гравцеві $B$ . Потім $A$ таємно розташовує числа $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13$ у деякому порядку як послідовність $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{7}$ , а $B$ таємно розташовує числа $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$ як послідовність $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{7}$ . Нарешті гравці показують свої послідовності, і $B$ платить $A$ один цент за кожне $i$ з $X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ таке, що $a_{i}<b_{i}$ . На цьому раунд закінчується. Яке число $c$ робить гру справедливою? (Гра є справедливою, якщо загальні виплати від $A$ до $B$ дорівнюють загальним виплатам від $B$ до $A$ після того, як усі можливі різні раунди зіграно рівно по одному разу.)

Пов’язані теми

Перестановки Підрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі

Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

Результат контрольної через місяць

Перемішані задачі 61 %

Задачі блоками 38 %

54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Шкільний
Районний
Обласний
Всеукраїнський
Збори

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

«Тематика» — навігатор за програмою: предмет → розділ → тема. Вибір розділу дає всі задачі під ним.
«Рік навчання» — перемикачі 1–5 у діалозі «Усі теми»; вони лишають у списку лише теми відповідного року.
«Рівень змагання» — сходинки олімпіади: районний → обласний → Всеукраїнський етап → відбір до збірної → міжнародні олімпіади, а поза сходинками — турніри й математичні бої, відкриті та закордонні олімпіади. Рівень має кожна задача. На сходинках це найнадійніший орієнтир складності; поза ними складність не впорядкована.
«Формат відповіді» — коротка відповідь (каруселі, тести, AMC) чи повний розв’язок.
«Клас», «Рік» і текстовий пошук — для точнішого добору. «Клас» означає, для яких класів задачу складено: задача для 10–11 класів знайдеться і в 10, і в 11.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %

Державні олімпіади 29 %

Відкриті олімпіади 9 %

Відбір до збірної 4 %

Міжнародні 4 %

Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

А. Акопян
Андрій Анікушин
Галина Апостолова
Андрій Арман
О. Артемчук

Артем Батоговський
Олексій Бачерніков
Леонід Бедратюк
Ярослав Безверхнєв
Всеволод Биков
Юрій Білецький
Євген Білокопитов
Віктор Богданський
А. В. Бондаренко
Михайло Бондаренко
Володимир Брайман

Богдан Веклич
В. Висоцький
Марія Власенко
Денис Волошин
Ігор Воронович

Тетяна Герасимова
Андрій Гоголєв
Олександр Голованов
Кирило Голоднов

Алла Данилова
Олесь Добосевич
В. В. Дума

Сергій Жидков
Сергій Жиляєв
Юрій Жучок

Микола Заєць
Володимир Зуб

Богдан Ківва
Олексій Клурман
К. О. Кноп
Вадим Коваль
Андрій Коротков
Олег Крижанівський
Галина Крюкова
Олександр Кукуш
Матвій Курський
Олександр Курченко

Валентин Лейфура
В. В. Лиманський
А. Лисакевич
С. С. Лінчук
Ю. С. Лінчук
Віталій Лішунов
Антон Луньов

О. Майзліш
О. О. Малахов
Юрій Маліцький
О. С. Манзюк
Олексій Масалітін
Данило Мисак
Вадим Митрофанов
В. І. Михайловський
Борислав Мірчев
Ігор Мітельман
Д. Ю. Мітін
Микола Мороз

Ігор Нагель
Георгій Науменко
Захар Наумець
М. Наумов
О. Н. Нестеренко
Арсеній Ніколаєв
Станіслав Ніколаєнко
Дмитро Номіровський

А. Я. Оленко
Л. Л. Оридорога

Карло Пагано
М. О. Перестюк
Дмитро Петровський
Олексій Піскун
Володимир Плахотник
Михайло Плотников
В. Б. Полонський
Андрій Примак
Павло Проценко

Юхим Рабінович
Вадим Радченко
Данило Радченко
Олександр Рибак
Марія Рожкова
Олександр Руденко

В. Ф. Санніков
О. А. Сарана
Наїрі Седракян
Віра Семенова
Віталій Сенін
Назар Сердюк
С. В. Слободянюк
Вадим Соломка

О. Ю. Теплінський
Дмитро Терьошин
Олександр Терьошин
Т. Д. Тимошкевич
М. В. Ткач
Сергій Торба
Антон Тригуб
Едвард Туркевич

Андрій Уразовський
Олена Усольцева
Р. П. Ушаков

Іван Федак
Іван Фещенко

Микита Харін
Данило Хілько

Б. І. Чинік
Максим Чорний
Олексій Чубенко

Ліон Шайн
О. В. Шаповалов
Шохаг Шахжалал
Василь Швець
Георгій Шевченко
Варвара Шепельська
Михайло Штанденко
Сергій Шуклін
Н. М. Шунда

Федір Юдін
Владислав Юрашев
Кирило Юрченко

М. Й. Ядренко
М. С. Якір
Олександра Яковенко
В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

Макс Алексєєв
Альф’єрі
Тіту Андреєску
Нітід Анчаленукун

Джон Берман
Вінсент Біан
Анкіт Бісайн
Кріт Бунсірісет

Альберт Ванг
Сем Вандервельде
Картік Венката Ведула
Герхард Воєгінгер
Джон Майкл Ву

Грегорі Галперін
Джої Гіренс
Олег Гольберг

Акаш Дас
Рішабх Дас
Д’Ауріціо
Пакавут Джираділок
Стів Дінь

Чжунхао Є

Александер Кац
Кіран Кедлая
Деніел Кейн
Габріель Керролл
Ізабелла Куан
Кузьмін

Дехо Джейкоб Лі
Ієн Лі
Мітчелл Лі
Джеймс Лін
Аллен Лю
Дерек Лю
Ріккі Лю

Делонг Менг

Шьям Нараянан
Ешаан Нічані

Еван О’Дорні
Андерс Олсен

Грегорі Пилипович
Космін Похоата
Саранеш Прембабу

Брайан Рейнхарт
Майкл Рен
Люк Робітай

Пітчают Саенгрунгконгка
Девід Спаєр
Варут Суксомпонг
Цян Сун

Шелдон Кірен Тан
Сарунью Тхонгджараст

Зумін Фенг

Мілан Хайман
Ґанмай Ханда

Донг’яо Цзян

Еван Чен
Шентонг Чжан
Фредді Чжао
Джой Чжен
Деніел Чжу

Тревіс Шедлер
Ерік Шен
Карл Шилдкраут
Бенджамін Шимабукуро

Кевін Янг
Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.