Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

374 задачі
ГеометріяСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-027

Прямі X1Y1, X2Y2 та PQ у трикутнику

У трикутнику ABCABC на стороні BCBC вибрано точку PP, точки I1I_1 та I2I_2 — центри вписаних кіл трикутників ABPABP та APCAPC відповідно. Кола ω1\omega_1 та ω2\omega_2 мають центрами точки I1I_1 та I2I_2 відповідно та проходять через точку PP. Точка QQ — друга точка перетину кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2. X1X_1 та Y1Y_1 — точки перетину ω1\omega_1 із прямими ABAB та BCBC відповідно, які є ближчими до вершини BB. X2X_2 та Y2Y_2 — точки перетину ω2\omega_2 з прямими ACAC та BCBC відповідно, які є ближчими до вершини CC. Доведіть, що прямі X1Y1X_1Y_1, X2Y2X_2Y_2 та PQPQ перетинаються в одній точці.
10 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-073

Спільні точки кіл трикутників AA1A2, BB1B2 і CC1C2

Точка A1A_1 усередині гострокутного трикутника ABCABC така, що ∠ACB=2∠A1BC\angle ACB=2\angle A_1BC та ∠ABC=2∠A1CB\angle ABC=2\angle A_1CB. Точки AA і A2A_2 лежать по різні боки відносно прямої BCBC, причому AA2⊥BCAA_2 \perp BC та серединний перпендикуляр до AA2AA_2 дотикається описаного кола трикутника ABCABC. Визначимо точки B1B_1, B2B_2, C1C_1, C2C_2 аналогічно. Доведіть, що описані кола трикутників AA1A2AA_1A_2, BB1B2BB_1B_2 та CC1C2CC_1C_2 перетинаються рівно у двох спільних точках.
10 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-075

Відрізок на бісектрисі кута вписаного чотирикутника

У вписаного в коло чотирикутника ABCDABCD сторони AB=7AB=7, BC=18BC=18. Бісектриса кута CDACDA перетинає сторону BCBC у точці EE, точка FF на відрізку DEDE задовольняє умову ∠AED=∠FCD\angle AED=\angle FCD. Знайдіть довжину відрізка DFDF, якщо відомо, що BE=5BE=5 та EF=3EF=3.
10 класОзнаки подібності
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-098

Чотирикутник з двома прямими кутами і кут ANK

У чотирикутника ABCDABCD відомо, що ∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ. На промені ABAB за точку BB вибрали таку точку KK, що ∠AKD=∠ADB\angle AKD = \angle ADB. Точка LL — проєкція точки KK на пряму ADAD, а точка NN — проєкція точки DD на пряму CLCL. Знайдіть градусну міру кута ANKANK.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-023

Дотичні кола на діаметрах сторін і перетин діагоналей

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD коло з діаметром ABAB дотикається до сторони CDCD, а коло з діаметром CDCD дотикається до сторони ABAB. Доведіть, що пряма, яка проходить через дві точки перетину цих кіл, проходить також через точку перетину діагоналей чотирикутника.
10 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-026

Вписане коло, висота та добуток відрізків сторони

Коло ω\omega, вписане в гострокутний трикутник ABCABC, дотикається до сторін BCBC та CACA в точках DD та EE відповідно. На висоті AHAH вибрано таку точку XX, що коло ω′\omega' з діаметром AXAX дотикається до кола ω\omega. Позначимо через UU та VV другі точки перетину кола ω′\omega' зі сторонами ACAC та ABAB відповідно. Знаючи, що UV=12UV = 12, AX=15AX = 15 та AE=24AE = 24, знайдіть значення виразу BD⋅DCBD \cdot DC.
11 класКола, що дотикаються
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-040

Інцентр, середина дуги та дотична до кола IBC

У різносторонньому трикутнику ABCABC точка II — інцентр. Другу точку перетину бісектриси кута BACBAC з описаним колом трикутника ABCABC позначимо через DD. Пряма, яка перпендикулярна до прямої ADAD та яка проходить через точку II, перетинає пряму BCBC у точці FF. Середину дуги BCBC описаного кола трикутника ABCABC, що містить точку AA, позначимо через MM. Точка NN — друга точка перетину прямої MIMI та описаного кола трикутника IBCIBC. Доведіть, що пряма FNFN — дотична до описаного кола трикутника IBCIBC.
11 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-019

Кола через C і L та бісектриса кута

Точку LL вибрано на стороні ABAB трикутника ABCABC. Позначимо описане коло трикутника ABCABC через kk. Коло, що проходить через точки CC та LL, перетинає пряму ABAB і коло kk удруге в точках MM та NN відповідно таким чином, що точка AA лежить на відрізку MLML, а точка NN — на дузі ABAB кола kk, яка не містить точку CC. Інше коло, що проходить через точки CC та LL, перетинає пряму ABAB та коло kk удруге в точках PP та QQ відповідно таким чином, що точка BB лежить на відрізку PLPL, а точка QQ — на дузі ABAB кола kk, яка не містить точку CC. Доведіть, що точки MM, NN, QQ та PP лежать на одному колі тоді й тільки тоді, коли промінь CLCL — бісектриса кута ACBACB.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-058

Цілочислові точки X, Y для вписаного чотирикутника AXBY

Розглянемо на декартовій площині всі пари різних точок (A,B)(A, B), кожна з яких має обидві цілі координати. Серед цих пар точок знайдіть усі різні точки (X,Y)(X, Y) з обома цілими координатами такі, щоб чотирикутник AXBYAXBY був опуклий та вписаний. Примітка. Чотирикутник називають опуклим, якщо обидві його діагоналі лежать усередині чотирикутника.
10 класГеометричні приклади і контрприкл…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-085

Перетин прямих BC, EF і PQ у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC з описаним колом ω\omega. Точки FF на стороні ACAC, EE на стороні ABAB і PP, QQ на колі ω\omega такі, що ∠AFB=∠AEC=∠APE=∠AQF=90∘\angle AFB = \angle AEC = \angle APE = \angle AQF = 90^\circ. Доведіть, що прямі BCBC, EFEF і PQPQ перетинаються в одній точці.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-102

Середина медіани та чотири точки на одному колі

Нехай точка KK — середина медіани AMAM трикутника ABCABC. На стороні ABAB знайшлася така точка XX, що ∠KXM=∠ACB\angle KXM = \angle ACB та AX>BXAX > BX, а на стороні ACAC знайшлася така точка YY, що ∠KYM=∠ABC\angle KYM = \angle ABC та AY>CYAY > CY. Доведіть, що точки BB, XX, CC, YY лежать на одному колі.
11 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-098

Кут BAC при рівних відрізках на прямій HO

У гострокутному трикутнику ABCABC точки HH та OO є точкою перетину висот і центром описаного кола відповідно. Пряма HOHO перетинає сторони ABAB та ACAC в точках XX і YY відповідно, причому точка HH належить відрізку OXOX. Виявилося, що XH=HO=OYXH = HO = OY. Знайдіть градусну міру кута BACBAC.
11 класТочка перетину висот
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-026

Трикутник ADM і точка, симетрична центру кола

Нехай kk — коло із центром у точці OO. Нехай ABAB — хорда кола, точка MM — середина цієї хорди. Дотичні до кола kk у точках AA і BB перетинаються в точці TT. Пряма ll проходить через точку TT, перетинає коротшу дугу ABAB у точці CC, а довшу дугу ABAB — у точці DD так, що BC=BMBC = BM. Доведіть, що центр описаного кола трикутника ADMADM є точкою, яка симетрична точці OO відносно прямої ADAD.
10 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-058

Спільна точка кіл DXX' для точок X на AC

Нехай точка DD лежить на дузі ACAC описаного кола трикутника ABCABC (AB<BC)(AB < BC), що не містить точку BB. На стороні ACAC вибрано довільну точку XX та точку X′X', для якої ∠ABX=∠CBX′\angle ABX = \angle CBX'. Доведіть, що незалежно від вибору точки XX коло, описане навколо трикутника DXX′DXX', проходить через фіксовану точку, що відмінна від точки DD.
9 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-030

Коло з діаметром AB і точки на перпендикулярній прямій

Розглянемо коло Γ\Gamma з діаметром ABAB. Пряму ll проведено поза колом перпендикулярно до діаметра ABAB. Точки XX, YY вибрано на цій прямій, що не лежить на прямій ABAB. Нехай точки X′X', Y′Y' вибрано на прямій ll таким чином, що AX∩BX′∈ΓAX \cap BX' \in \Gamma та AY∩BY′∈ΓAY \cap BY' \in \Gamma. Доведіть, що описані кола трикутників AXYAXY та AX′Y′AX'Y' або перетинаються на колі Γ\Gamma у точці, відмінній від точки AA, або в точці AA всі три побудованих кола дотикаються одне до одного.
11 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-018

Прямі AB, CD, XY для точок M і N

Опуклий чотирикутник ABCDABCD вписаний у коло. Прямі ADAD і BCBC перетинаються в точці EE. Точки MM, NN вибрано на сторонах ADAD, BCBC відповідно таким чином, що AM:MD=BN:NCAM : MD = BN : NC. Описані кола трикутника EMNEMN і чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точках XX, YY. Доведіть, що прямі ABAB, CDCD та XYXY перетинаються в одній точці або паралельні.
9 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-15-16-025

Середина дуги BC і центр зовнівписаного кола

Для трикутника ABCABC позначимо через IbI_b — центр зовнівписаного кола, а через MM — середину дуги BCBC описаного кола, що не містить вершини AA. Пряма MIbMI_b удруге перетинає описане коло в точці TT. Доведіть, що має місце рівність TIb2=TB⋅TCTI_b^2 = TB \cdot TC.
10 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-15-16-036

Точки на висотах і дотичні до кола дев'яти точок

У гострокутному трикутнику ABCABC на висоті, опущеній з вершини AA, усередині трикутника вибрали таку точку ZZ, для якої ∠BZC=90∘\angle BZC = 90^\circ. На продовженнях висот, проведених із вершин BB і CC за трикутник ABCABC, вибрали точки XX та YY відповідно таким чином, що ∠AYB=∠CXA=90∘\angle AYB = \angle CXA = 90^\circ. Доведіть, що точки XX, YY, ZZ лежать на одній прямій тоді й тільки тоді, коли довжина дотичної, проведеної з точки AA до кола дев’яти точок, дорівнює сумі дотичних до цього кола, проведених із вершин BB та CC.
11 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-021

Ортоцентри трикутників з фіксованою вершиною і діаметрами кола

Дано коло kk і точка AA зовні цього кола. Знайдіть ГМТ ортоцентрів трикутника ABCABC, де відрізки BCBC пробігають усі діаметри кола kk.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-107

Точка K у чотирикутнику з кутами 120° і 60°

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD з кутами ABCABC та BCDBCD, що дорівнюють 120∘120^\circ, OO — точка перетину діагоналей, MM — середина сторони BCBC, KK — точка перетину прямих MOMO та ADAD. Відомо, що ∠BKC=60∘\angle BKC = 60^\circ. Доведіть, що ∠BKA=∠CKD=60∘\angle BKA = \angle CKD = 60^\circ.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-015

Рівні відрізки від вершин до кола навколо ортоцентра

У гострокутному трикутнику ABCABC точки DD, EE, FF — середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Побудуємо коло ω\omega із центром в ортоцентрі трикутника ABCABC таке, щоб трикутник ABCABC був усередині цього кола. Нехай промені EFEF, FDFD і DEDE перетинають коло ω\omega у точках PP, QQ і RR відповідно. Доведіть, що AP=BQ=CRAP = BQ = CR.
9 класТочка перетину висот
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-032

Прямі AP та IM у трикутнику з вписаним колом

У трикутнику ABCABC сторона AB≠ACAB \neq AC, точка MM — середина дуги BCBC описаного кола трикутника ABCABC, що містить точку AA. Вписане в трикутник ABCABC коло із центром у точці II дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма, яка паралельна AIAI та проходить через точку DD, перетинає вписане коло вдруге в точці PP. Доведіть, що прямі APAP та IMIM перетинаються в точці, яка лежить на описаному колі.
11 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-030

Нерівність з медіанами, продовженими до описаного кола

У трикутнику ABCABC проведено медіани AMAM, BNBN, CPCP, продовження яких перетинає описане коло в точках DD, EE, FF відповідно, GG — точка перетину медіан. Доведіть, що справджується нерівність 3(1a+1b+1c)⩾1GD+1GE+1GF⩾3R,\sqrt{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geqslant\frac{1}{GD}+\frac{1}{GE}+\frac{1}{GF}\geqslant\frac{3}{R}, де aa, bb, cc — сторони трикутника ABCABC, а RR — радіус описаного кола.
11 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-065

Два дотичні кола і середина відрізка BC

Два кола w1w_1, w2w_2 дотикаються зовнішнім чином у точці QQ. Спільна зовнішня дотична до цих кіл дотикається w1w_1 у точці BB, BABA — діаметр цього кола. Через точку AA проведено дотичну до кола w2w_2, що дотикається до цього кола в точці CC такій, що точки BB і CC лежать в одній півплощині відносно прямої AQAQ. Доведіть, що коло w1w_1 ділить навпіл відрізок BCBC.
9 класКола, що дотикаються
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-018

Вписані кола трикутників ABC і ADE та прямокутник MNPQ

Коло γ1\gamma_1 вписане у трикутник ABCABC і дотикається до сторін ABAB й ACAC в точках DD та EE відповідно. Коло γ2\gamma_2 вписане у трикутник ADEADE і дотикається до прямих ABAB й ACAC в точках PP та QQ відповідно. Нехай MM та NN — точки перетину кіл γ1\gamma_1 і γ2\gamma_2. Позначимо радіуси кіл γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2 через r1r_1 та r2r_2 відповідно. Доведіть, що точки MM, NN, PP і QQ утворюють прямокутник тоді й лише тоді, коли справджується рівність 2r1=3r22r_1 = 3r_2.
9 класСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.