Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 708 задач
Міжнародні олімпіади
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-001

Найбільше і найменше значення виразу з a²+b²=ac+bd

Нехай aa, bb, cc, dd — невід'ємні дійсні числа, для яких справджується рівність a2+b2=ac+bda^2+b^2=ac+bd, при цьому cc, dd не дорівнюють нулю одночасно. Знайдіть найбільше й найменше значення виразу: ad+bc−cdc2+d2\dfrac{ad+bc-cd}{c^2+d^2}.
10–11 класиНерівності та системи другого сте…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-002

Найбільший спільний дільник сусідніх членів послідовності

Нехай (an)(a_n) — така послідовність натуральних чисел, що для кожного натурального nn справджується рівність an+1=(n+1)(an−n+1)a_{n+1} = (n+1)(a_n - n + 1). Залежно від значення a1a_1 знайдіть найбільше натуральне число kk, для якого існує такий індекс i⩾2i \geqslant 2, що НСД(ai,ai+1)=k\text{НСД}(a_i, a_{i+1}) = k.
10–11 класиТеорема Вільсона
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-003

Гра з многочленом xy-1 і натуральні розв'язки рівняння

Мар'ям і Артур грають у гру на дошці: вони роблять ходи по черзі, починає Артур. Спочатку на дошці записано многочлен xy−1xy - 1. На кожному ході гравець замінює поточний многочлен P(x,y)P(x, y) на один із таких: - x⋅P(x,y)x \cdot P(x, y); - y⋅P(x,y)y \cdot P(x, y); - P(x,y)+aP(x, y) + a, де aa — довільне ціле число з проміжку (−∞,2025](-\infty, 2025]. Гра завершується після того, як кожен із гравців зробить по 20252025 ходів. Позначимо через Q(x,y)Q(x, y) многочлен, який залишився на дошці після завершення гри. Мар'ям виграє, якщо рівняння Q(x,y)=0Q(x, y) = 0 має скінченну й непарну кількість розв'язків у натуральних числах (x,y)(x, y). Доведіть, що Мар'ям завжди може виграти, незалежно від дій Артура.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-004

Цілі числа на сітці з умовою для діагональних сусідів

Площину розділили вертикальними та горизонтальними прямими на одиничні квадрати. Чи можна записати цілі числа в клітинки цієї нескінченної сітки на площині так, щоб виконувалися такі умови: а) у кожній клітинці записано рівно одне ціле число; б) кожне ціле число зустрічається рівно один раз; в) для будь-яких двох клітинок AA і BB, які мають лише одну спільну вершину, справджується умова: якщо в них записані числа aa і bb, то принаймні в одній із клітинок, що мають спільну сторону і з AA, і з BB, записане число, яке лежить у діапазоні між aa та bb?
10–11 класиКонструкція за індукцією
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-005

Коло через точки A, D, E, F трикутника

Нехай дано гострокутний трикутник ABCABC. Точка DD лежить у тій самій півплощині відносно прямої ABAB, що й точка CC, та задовольняє такі умови: DB⊥ABDB \perp AB та ∠ADB=45∘+12∠ACB\angle ADB=45^\circ + \dfrac{1}{2}\angle ACB. Аналогічно, точка EE належить тій самій півплощині відносно прямої ACAC, що й точка BB, та справджуються умови: AC⊥ECAC \perp EC та ∠AEC=45∘+12∠ABC\angle AEC=45^\circ + \dfrac{1}{2}\angle ABC. Нехай точка FF — це точка, симетрична точці AA відносно середини більшої дуги BACBAC. Доведіть, що точки AA, DD, EE, FF лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-006

Функціональне рівняння f(x + yf(x)) = f(x)f(x+y)

Знайдіть усі функції f:(0,∞)→[0,∞)f:(0, \infty) \to [0, \infty), для яких для всіх x,y∈(0,∞)x, y \in (0, \infty) справджується рівність f(x+yf(x))=f(x)f(x+y)f(x + yf(x)) = f(x)f(x+y).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-001

НСД числа N із сумами сусідніх взаємно простих чисел

Для натурального числа NN через c1<c2<…<cmc_1 < c_2 < \ldots < c_m позначимо всі натуральні числа, менші за NN, що взаємно прості із числом NN. Знайдіть усі такі N⩾3N \geqslant 3, що НСД(N,ci+ci+1)≠1\text{НСД}(N, c_i + c_{i+1}) \neq 1 для всіх 1⩽i⩽m−11 \leqslant i \leqslant m-1.
10–11 класиНСД та НСК
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-002

Послідовність зі спільними членами всіх центральних

Нескінченна зростаюча послідовність натуральних чисел a1<a2<a3<…a_1 < a_2 < a_3 < \ldots називається центральною, якщо для довільного натурального числа nn, середнє арифметичне перших ana_n членів послідовності дорівнює ana_n. Доведіть, що існує така нескінченна послідовність натуральних чисел b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots, що для довільної центральної послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots існує нескінченно багато таких натуральних чисел nn, що an=bna_n = b_n.
10–11 класиСуми послідовностей
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-003

Ортоцентр трикутника ADE і точки P, Q, M, N

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Точки BB, DD, EE та CC лежать на одній прямій у вказаному порядку і задовольняють умову BD=DE=ECBD = DE = EC. Нехай MM та NN — середини відрізків ADAD та AEAE відповідно. Припустимо, що трикутник ADEADE є гострокутним, і нехай точка HH — його ортоцентр. Нехай PP та QQ — такі точки на прямих BMBM та CNCN відповідно, що точки DD, HH, MM та PP лежать на одному колі та є попарно різними, і точки EE, HH, NN та QQ також лежать на одному колі та є попарно різними. Доведіть, що точки PP, QQ, NN та MM лежать на одному колі.
10–11 класиСиметрія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-004

Бісектриси трикутника, паралелограми і коло через чотири точки

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із центром вписаного кола в точці II і AB≠ACAB \neq AC. Прямі BIBI та CICI перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках P≠BP \neq B та Q≠CQ \neq C відповідно. Розглянемо такі точки RR та SS, що чотирикутники AQRBAQRB та ACSPACSP — паралелограми. Прямі RBRB та SCSC перетинаються в точці TT. Доведіть, що точки RR, SS, TT та II лежать на одному колі.
10–11 класиОзнаки подібності
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-005

Максимальна кількість гарних клітинок для равлика Турбо

Задано натуральне число n>1n > 1. У конфігурації дошки n×nn \times n кожна з n2n^2 клітинок містить стрілку, направлену вгору, вниз, ліворуч або праворуч. Для заданої конфігурації равлик Турбо починає свою подорож з однієї з клітинок дошки і подорожує клітинками. Під час кожного кроку Турбо рухається на одну клітинку в напрямку, вказаному стрілкою в її теперешній клітинці (можливо, виходячи за межі дошки). Після кожного кроку стрілки в усіх клітинках повертаються на 90∘90^\circ проти руху годинникової стрілки. Назвемо клітинку гарною, якщо, стартуючи з неї, Турбо відвідає кожну клітинку дошки рівно один раз, не виходячи за межі дошки, і в кінці повернеться до початкової клітинки. Визначте, у залежності від nn, максимальну кількість гарних клітинок серед усіх можливих початкових конфігурацій.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-006

Найбільше значення відношення сум максимумів рядків і стовпців

У кожній комірці дошки 2025×20252025 \times 2025 записано дійсне невід'ємне число так, що сума чисел у кожному рядку дорівнює 11, і сума чисел у кожному стовпчику також дорівнює 11. Через rir_i позначимо найбільше число в рядку ii, і нехай R=r1+r2+…+r2025R = r_1 + r_2 + \ldots + r_{2025}. Аналогічно, через cic_i позначимо найбільше число в стовпчику ii, і нехай C=c1+c2+…+c2025C = c_1 + c_2 + \ldots + c_{2025}. Якого найбільшого значення може набувати вираз RC\dfrac{R}{C}?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-001

n прямих, що покривають точки трикутника, і k сонячних

Пряму на координатній площині XOYXOY називатимемо сонячною, якщо вона не є паралельною ані осі OXOX, ані осі OYOY, ані прямій x+y=0x + y = 0. Нехай n⩾3n \geqslant 3 — деяке ціле число. Знайдіть усі невід'ємні цілі числа kk, для яких існують nn різних прямих на цій площині, що задовольняють такі дві умови: - для всіх натуральних чисел aa і bb таких, що a+b⩽n+1a + b \leqslant n + 1, точка з координатами (a,b)(a, b) лежить принаймні на одній із цих nn прямих; - рівно kk із цих nn прямих є сонячними.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-002

Два кола, що перетинаються, і дотична через ортоцентр

Нехай Ω\Omega і Γ\Gamma — такі два кола із центрами в точках MM і NN відповідно, що радіус кола Ω\Omega менший, ніж радіус кола Γ\Gamma. Кола Ω\Omega і Γ\Gamma перетинаються в двох різних точках AA і BB. Пряма MNMN перетинає коло Ω\Omega в точці CC, а коло Γ\Gamma — у точці DD так, що точки CC, MM, NN та DD лежать на прямій MNMN саме в такому порядку. Нехай точка PP — центр описаного кола трикутника ACDACD. Пряма APAP перетинає коло Ω\Omega вдруге в точці E≠AE \neq A, а коло Γ\Gamma — удруге в точці F≠AF \neq A. Нехай HH — ортоцентр трикутника PMNPMN. Доведіть, що пряма, яка проходить через точку HH та паралельна прямій APAP, є дотичною до описаного кола трикутника BEFBEF.
10–11 класиТочка перетину висот
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-003

Дотепні функції та найменша стала c

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Функцію f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} називатимемо дотепною, якщо ba−f(b)f(a)b^a - f(b)^{f(a)} ділиться націло на f(a)f(a) для всіх натуральних чисел aa і bb. Знайдіть найменше значення такої дійсної сталої cc, що нерівність f(n)⩽cnf(n) \leqslant cn справджується для всіх дотепних функцій ff та для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиТеорема Діріхле про арифметичні п…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-004

Послідовність сум трьох найбільших власних дільників та перший член

Власним дільником натурального числа NN називають додатний дільник числа NN, що відмінний від NN. Нескінченна послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots складається з натуральних чисел, кожний член якої має щонайменше три власні дільники. Для кожного n⩾1n \geqslant 1 число an+1a_{n+1} є сумою трьох найбільших власних дільників числа ana_n. Знайдіть усі можливі значення першого члена послідовності a1a_1.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-005

Виграшна стратегія в грі з параметром λ

Аліна та Богдан грають у прикольну гру, правила якої залежать від дійсного додатного числа λ\lambda, що відоме обом гравцям до початку гри. На nn-му кроці гри, що починається з n=1n = 1, відбувається таке: - якщо число nn непарне, то Аліна вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x1+x2+…+xn⩽λn;x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leqslant \lambda n; - якщо число nn парне, то Богдан вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x12+x22+…+xn2⩽n.x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant n. Усі вибрані числа відомі обом гравцям. Якщо хтось із гравців не може вибрати належне число xnx_n, то гра зупиняється, а інший гравець визнається переможцем. Якщо гра триває нескінченно довго, то жоден із гравців не визнається переможцем. Знайдіть усі значення λ\lambda, для яких Аліна має виграшну стратегію, а також усі значення λ\lambda, для яких виграшну стратегію має Богдан.
10–11 класиКласичні ігри
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-006

Плитки з однією вільною клітинкою в рядках і стовпцях

Клітчаста дошка має розміри 2025×20252025 \times 2025. Настя розкладає на дошці прямокутні плитки, можливо різних розмірів, у такий спосіб, щоб сторони кожної плитки лежали на лініях дошки і кожна комірка 1×11 \times 1 була накрита щонайбільше однією плиткою. Знайдіть найменшу кількість плиток, які має покласти Настя, щоб у кожному рядку і кожному стовпчику непокритою залишилася рівно одна комірка.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-001

Сума дробів (a²+bc)²/(b+c) для додатних a, b, c

Для додатних дійсних чисел a,b,ca, b, c доведіть, що справджується нерівність: (a2+bc)2b+c+(b2+ca)2c+a+(c2+ab)2a+b⩾2abc(a+b+c)2ab+bc+ca.\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c} + \dfrac{(b^2+ca)^2}{c+a} + \dfrac{(c^2+ab)^2}{a+b} \geqslant \dfrac{2abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}.
7–9 класиНерівність Коші-Буняковського
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-002

Повні квадрати з повторених блоків 2025

Знайдіть усі числа вигляду 20252025…202520252025\ldots2025 (числа складаються з одного або більше послідовних блоків 20252025), які є повними квадратами натуральних чисел.
7–9 класиМетод факторизації (розкладання н…
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-003

Рівність відрізків XD і XC у прямокутному трикутнику

У прямокутному трикутнику ABCABC з прямим кутом AA проведено висоту ADAD. Нехай EE — середина відрізка DCDC. Описане коло трикутника ABDABD удруге перетинає пряму AEAE в точці FF, а прямі ABAB та DFDF перетинаються в точці XX. Доведіть, що справджується рівність XD=XCXD = XC.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-004

Найбільша сума спадних пар у таблиці n×n

Дано натуральне число nn. Натуральні числа від 11 до nn вписані в комірки таблички n×nn \times n (по одному числу в кожній комірці), причому кожне число міститься рівно один раз у кожному рядку і рівно один раз у кожному стовпчику. Позначимо через rir_i кількість пар (a,b)(a, b) чисел в ii-ому рядку (1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n) таких, що a>ba > b, при цьому число aa розташовано ліворуч від числа bb (не обов'язково в сусідній комірці). Аналогічно позначимо через cjc_j кількість пар чисел (a,b)(a, b) в jj-ому стовпчику (1⩽j⩽n)(1 \leqslant j \leqslant n) таких, що a>ba > b, але aa розташовано згори від bb (необов'язково в сусідній комірці). Знайдіть найбільше можливе значення виразу r1+…+rn+c1+…+cnr_1 + \ldots + r_n + c_1 + \ldots + c_n.
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-001

Десята найменша відстань між точками площини

Нехай n>10n>10 — ціле число, і нехай A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n — різні точки на площині такі, що відстані між ними попарно різні. Визначимо f10(j,k)f_{10}(j,k) як 10-ту найменшу за величиною відстань від AjA_j до A1,A2,…,AkA_1, A_2, \ldots, A_k, не включаючи AjA_j, якщо k⩾jk \geqslant j. Припустимо, що для всіх jj і kk, які задовольняють 11⩽j⩽k⩽n11 \leqslant j \leqslant k \leqslant n, виконується нерівність: f10(j,j−1)⩾f10(k,j−1)f_{10}(j, j-1) \geqslant f_{10}(k, j-1). Доведіть, що f10(j,n)⩾12f10(n,n)f_{10}(j, n) \geqslant \frac{1}{2} f_{10}(n, n) для всіх jj у діапазоні 1⩽j⩽n−11 \leqslant j \leqslant n-1.
10–11 класиНерівність трикутника
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-002

Послідовність з повним квадратом добутку і рівні члени

Розглянемо нескінченну послідовність додатних цілих чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots таку, що a1>1a_1 > 1 і для всіх додатних цілих nn, вираз (2an−1)an+1\left(2^{a_n}-1\right)a_{n+1} є повним квадратом. Чи можливо, щоб два члени цієї послідовності були рівними?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-003

Найменший степінь многочлена для дерева і чисел

Зафіксуємо ціле число n⩾3n \geqslant 3. Знайдіть найменше додатне ціле число kk, яке задовольняє таку умову: для будь-якого дерева TT із вершинами v1,v2,…,vnv_1, v_2, \ldots, v_n і будь-яких попарно різних комплексних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, існує многочлен P(X,Y)P(X, Y) з комплексними коефіцієнтами степеня, не більшими за kk, такий, що для всіх i≠ji \neq j, які задовольняють 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n, виконується: P(zi,zj)=0P(z_i, z_j) = 0, тоді й тільки тоді, коли в TT є ребро, що з'єднує viv_i з vjv_j. Примітка. Наприклад, степінь многочлена 9X3Y4+XY5+X6−29X^3Y^4+XY^5+X^6-2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47=3+4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.