Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

85 задач
ГеометріяІнверсія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-023

Перетин прямих AO та IT на описаному колі

Нехай дано коло Ω\Omega, описане навколо чотирикутника ABCDABCD, із центром у точці OO та коло ω\omega, що вписане в чотирикутник ABCDABCD, із центром у точці II. Діагоналі чотирикутника ACAC і BDBD перетинаються в точці EE. Коло ω\omega дотикається до сторін ADAD і ABAB у точках PP і QQ відповідно. Точка TT — це ортогональна проєкція точки EE на пряму PQPQ. Доведіть, що прямі AOAO та ITIT перетинаються в точці, що належить колу Ω\Omega.
9 класІнверсія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-021

Точки на колі і прямі через A та B

Задано коло ω\omega та точки AA, BB на прямій, яка не перетинає коло ω\omega. На колі вибрано довільну точку X0X_0 і далі побудовано такі послідовності точок (Yn)(Y_n) та (Xn)(X_n): YnY_n — друга точка перетину прямої AXnAX_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0, а Xn+1X_{n+1} — друга точка перетину прямої BYnBY_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що коли для деякої точки X0X_0 та для деякого натурального kk точка Xk=X0X_k = X_0, то Xk=X0X_k = X_0 при довільному виборі точки X0X_0.
10 класІнверсія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-026

Дотичне коло в півколі та бісектриса кута

Нехай PQPQ — діаметр півкола Γ\Gamma. Коло ω\omega внутрішнім чином дотикається до півкола Γ\Gamma, а також дотикається до PQPQ у точці CC. Нехай точки A∈ΓA \in \Gamma та B∈PQB \in PQ такі, що AB⊥PQAB \perp PQ і дотикається до кола ω\omega. Доведіть, що ACAC — бісектриса кута PABPAB.
10 класІнверсія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-134

Точка на дузі BC, інцентр і рівність кутів

Точка II — інцентр трикутника ABCABC, XX — така точка на дузі BCBC описаного кола трикутника ABCABC, для якої справджується така умова: якщо EE та FF — основи перпендикулярів із точки XX на BIBI та CICI відповідно, MM — середина відрізка EFEF, то MB=MCMB = MC. Нехай DD — основа перпендикуляра з точки II на сторону BCBC, доведіть, що ∠BAD=∠CAX\angle BAD = \angle CAX.
10–11 класиІнверсія
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-102

Коло навколо двох кіл з дотиками через точку перетину

Задано два кола ΩP\Omega_P та ΩQ\Omega_Q, які перетинаються у двох різних точках AA та BB. Побудуйте коло, яке містить усередині кола ΩP\Omega_P та ΩQ\Omega_Q та яке дотикається до них внутрішнім чином відповідно в точках PP і QQ, таких що точки AA, PP та QQ є колінеарними.
9 класІнверсія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-114

Центр описаного кола трикутника ATI на BC

Точка II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма, яка перпендикулярна до прямої AIAI та проходить через точку II, перетинає сторони ACAC та ABAB у точках B′B' та C′C' відповідно. Точки B1B_1 та C1C_1 розташовані відповідно на променях BCBC та CBCB так, що AB=BB1AB = BB_1 та AC=CC1AC = CC_1. Нехай TT — друга точка перетину описаних кіл трикутників AB1C′AB_1C' та AC1B′AC_1B'. Доведіть, що центр описаного кола трикутника ATIATI лежить на прямій BCBC.
10–11 класиІнверсія
Київський турнір математичних боївKMB-15-16-156

Три кола, пов’язані з вписано-описаним чотирикутником

Чотирикутник ABCDABCD одночасно вписаний і описаний із центром описаного кола OO. Позначимо такі точки перетину прямих: E=AD∩BCE = AD \cap BC, F=AB∩CDF = AB \cap CD, S=AC∩BDS = AC \cap BD. Точки E′E', F′F' вибрано на сторонах ABAB, ADAD відповідно таким чином, що ∠BEE′=∠AEE′\angle BEE' = \angle AEE', ∠AFF′=∠DFF′\angle AFF' = \angle DFF'. Нехай MM — середина дуги BADBAD описаного кола, точка XX на прямій OE′OE' така, що XAXB=EAEB\frac{XA}{XB} = \frac{EA}{EB}, аналогічно точка YY на прямій OF′OF' така, що YAYD=FAFD\frac{YA}{YD} = \frac{FA}{FD}. Довести, що коло діаметра OSOS, коло, описане навколо трикутника OAMOAM, та коло, описане навколо трикутника OXYOXY, мають спільну радикальну вісь.
10–11 класиІнверсія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-175

Три кола і перетин прямих CS, MZ, BT

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точках BB і CC. Коло ω3\omega_3 дотикається до BCBC у точці AA, до кола ω1\omega_1 — у точці NN і перетинає коло ω2\omega_2 в точках SS і TT. Пряма NANA перетинає STST і коло ω1\omega_1 у точках MM і QQ відповідно. PP — точка на колі ω1\omega_1, яка діаметрально протилежна точці QQ. Пряма PAPA перетинає коло ω1\omega_1 у точці RR, прямі RNRN і BCBC перетинаються в точці ZZ. Доведіть, що прямі CSCS, MZMZ і BTBT перетинаються в одній точці.
10–11 класиІнверсія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-213

Нерівність із сумою відстаней у правильному тетраедрі

Нехай ABCDABCD — правильний тетраедр, а EE — точка на описаній сфері тетраедра, діаметрально протилежна точці AA. Покажіть, що для довільної точки PP простору справджується нерівність PB+PC+2 PE⩾3 PD.PB + PC + \sqrt{2}\,PE \geqslant \sqrt{3}\,PD.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-128

Геометричне місце ортоцентрів трикутників ABP з діаметром AB

Нехай ω\omega — коло та PP — фіксована точка, що не належить ω\omega. Знайдіть геометричне місце ортоцентрів трикутників ABPABP, де ABAB — діаметр кола ω\omega.
9 класІнверсія
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-042

Точка на прямій із сумою відстаней до A, B

Задана пряма ll і дві точки A,BA,B по один бік від неї. Знайти на прямій таку точку XX, щоб сума AX+XBAX + XB мала задану довжину aa.
8–9 класиІнверсія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-114

Два кола в куті POQ і рівність кутів

Дано кут POQPOQ (OPOP і OQOQ є променями). Нехай точки MM і NN — точки всередині кута POQPOQ такі, що ∠POM=∠QON\angle POM = \angle QON та ∠POM<∠PON\angle POM < \angle PON. Розглянемо два кола: одне дотикається до променів OPOP та ONON, інше — до променів OMOM і OQOQ. Позначимо літерами BB і CC точки їхнього перетину. Доведіть, що ∠POC=∠QOB\angle POC = \angle QOB.
11 класІнверсія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-115

Нерівність для точки всередині опуклого чотирикутника

Усередині опуклого чотирикутника ABCDABCD знайшлася така точка MM, що ∠AMB=∠ADM+∠BCM\angle AMB = \angle ADM + \angle BCM та ∠AMD=∠ABM+∠DCM\angle AMD = \angle ABM + \angle DCM. Доведіть, що AM⋅CM+BM⋅DM⩾AB⋅BC⋅CD⋅DAAM \cdot CM + BM \cdot DM \geqslant \sqrt{AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA}.
11 класІнверсія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-008

Два кола, хорди-дотичні та коло ABZ до PQ

Нехай кола γ\gamma та ω\omega перетинаються в точках AA та BB і нехай DD — довільна точка на колі γ\gamma. Точки PP та QQ лежать на колі γ\gamma так, що хорди DPDP і DQDQ дотикаються до кола ω\omega в точках XX та YY відповідно. Пряма XYXY перетинає пряму PQPQ в точці ZZ. Доведіть, що описане коло трикутника ABZABZ дотикається до прямої PQPQ.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-002

Перетин прямих DT і HS на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром у точці HH та описаним колом Γ\Gamma. Нехай DD — точка, діаметрально протилежна точці AA на колі Γ\Gamma. Пряма, що проходить через точку HH паралельно прямій BCBC, перетинає прямі ABAB та ACAC у точках XX та YY відповідно. Нехай пряма ADAD вдруге перетинає описане коло трикутника DXYDXY у точці S≠DS \ne D. Нехай дотична до кола Γ\Gamma у точці AA перетинає пряму XYXY у точці TT. Доведіть, що прямі DTDT і HSHS перетинаються на колі Γ\Gamma.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-009

Точка дотику вписаного кола і три точки на колі

Вписане коло трикутника ABCABC із центром у точці II дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма, що проходить через точку AA, перетинає прямі BCBC, BIBI, CICI в точках XX, YY, ZZ відповідно. Описане коло трикутника ABCABC перетинає вдруге описані кола трикутників AIYAIY та AIZAIZ у точках UU та VV відповідно. Доведіть, що точки DD, UU, VV, XX лежать на одному колі.
10–11 класиІнверсія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-15-16-012

Паралелограм BPTQ і відношення BT до BM

Точка MM — середина сторони ACAC гострокутного трикутника ABCABC. Коло ω\omega проходить через точки BB і MM та вдруге перетинає сторони ABAB і BCBC у точках PP і QQ відповідно. Нехай точка TT така, що чотирикутник BPTQBPTQ — паралелограм. Припустимо, що TT лежить на описаному колі трикутника ABCABC. Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати відношення BT/BMBT/BM.
10–11 класиКоло і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-003

Середини сторін трикутника, коло і симетричні точки

Задано трикутник ABCABC, у якому CA≠CBCA \neq CB. Нехай точки DD, FF і GG — середини сторін ABAB, ACAC і BCBC відповідно. Коло Γ\Gamma, що проходить через точку CC і дотикається до сторони ABAB у точці DD, перетинає відрізки AFAF і BGBG у точках HH та II відповідно. Точки H′H' і I′I' симетричні HH та II відносно FF і GG відповідно. Пряма H′I′H'I' перетинає CDCD і FGFG у точках QQ і MM відповідно. Пряма CMCM вдруге перетинає коло Γ\Gamma у точці PP. Доведіть, що CQ=QPCQ = QP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-009

Точка у вписаному чотирикутнику і дотичне коло

Усередині вписаного чотирикутника ABCDABCD відмічено точку PP таку, що ∠PBC=∠PDA\angle PBC = \angle PDA, ∠PCB=∠PAD\angle PCB = \angle PAD. Доведіть, що існує коло, яке дотикається до прямих ABAB і CDCD, а також до кіл, описаних навколо трикутників ABPABP і CDPCDP.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-008

Два кола, пряма AB і фіксована точка

Задані два кола γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2 з центрами у точках O1O_1 та O2O_2 відповідно. На колі γ2\gamma_2 вибрали деяку точку KK і побудували два кола – γ3\gamma_3, яке дотикається до кола γ2\gamma_2 у точці KK і кола γ1\gamma_1 у точці AA, та γ4\gamma_4, яке дотикається до кола γ2\gamma_2 у точці KK і кола γ1\gamma_1 у точці BB. Довести, що незалежно від вибору точки KK на колі γ2\gamma_2, усі прямі ABAB проходять через фіксовану точку площини.
10–11 класиІнверсія
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-005

Три кола, пов'язані з точками A', F, H

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC, а HH і OO — його ортоцентр та центр описаного кола відповідно. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника BOCBOC. Коло Γ\Gamma перетинає пряму AOAO в точках OO та A′A', а також перетинає коло радіуса AOAO із центром у точці AA в точках OO і FF. Доведіть, що коло, яке має діаметр AA′AA', описане коло трикутника AFHAFH та коло Γ\Gamma проходять через спільну точку.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Балтійський шляхBW-2024-015

Множина точок на площині та балтійські трикутники

Нехай задано множину з N⩾3N \geqslant 3 точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Три точки AA, BB, CC із цієї множини називаються балтійським трикутником, якщо жодна інша точка із цієї множини не лежить на описаному колі трикутника ABCABC. Припустимо, що існує хоча б один балтійський трикутник. Доведіть, що існує щонайменше N3\dfrac{N}{3} балтійських трикутників.
10–11 класиІнверсія
Європейський математичний кубокEMC-2024-007

Півколо, паралелограм і середина відрізка PQ

Нехай ω\omega — півколо з діаметром ABAB і точка MM — середина відрізка ABAB. Нехай XX та YY — точки в тій самій півплощині, що й ω\omega відносно прямої ABAB, так що AMXYAMXY — паралелограм. Нехай II — центр вписаного кола трикутника MXYMXY. Прямі MXMX та MYMY перетинають півколо ω\omega у точках CC та DD відповідно. Нехай T=AC∩BDT = AC \cap BD, E=MT∩XYE = MT \cap XY, P=EI∩ABP = EI \cap AB, а точка QQ є проєкцією точки EE на пряму ABAB. Доведіть, що точка MM є серединою відрізка PQPQ.
10–11 класиІнверсія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-003

Внутрішня точка трикутника та прямі BC, EF, O1O2

Точка DD — внутрішня точка гострокутного трикутника ABCABC, у якому AB>ACAB > AC і ∠DAB=∠CAD\angle DAB = \angle CAD. Точка EE на відрізку ACAC задовольняє умову ∠ADE=∠BCD\angle ADE = \angle BCD, точка FF на відрізку ABAB задовольняє умову ∠FDA=∠DBC\angle FDA = \angle DBC, точка XX на прямій ACAC задовольняє умову CX=BXCX = BX. Нехай точки O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників ADCADC і EXDEXD відповідно. Доведіть, що прямі BCBC, EFEF і O1O2O_1O_2 — конкурентні, тобто перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2021-010

Перпендикуляр з перетину дотичних

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCA B C, а ΩA\Omega_{A} — його зовнівписане коло, яке дотикається до відрізка BCB C. Нехай XX і YY — точки перетину кіл ω\omega і ΩA\Omega_{A}. Нехай PP і QQ — проєкції AA на дотичні до кола ΩA\Omega_{A} у точках XX і YY відповідно. Дотична в точці PP до описаного кола трикутника APXA P X перетинає дотичну в точці QQ до описаного кола трикутника AQYA Q Y у точці RR. Доведіть, що AR⊥BCA R \perp B C.
10–11 класиПроєктивна геометрія2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.