Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

108 задач
ГеометріяПроєктивна геометрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-111

Бісектриси BK і BL та пряма OD

Задано трикутник ABCABC, на стороні ACAC якого вибрали довільну точку DD. У трикутниках ABDABD та CBDCBD провели бісектриси BKBK та BLBL відповідно. Точка OO — центр описаного кола трикутника KBLKBL. Доведіть, що друга точка перетину описаних кіл трикутників ABLABL та CBKCBK лежить на прямій ODOD.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-083

Рівність кутів BPA1 і HMC у трикутнику

Нехай у гострокутному трикутнику ABCABC точка OO — центр описаного кола, точка HH — ортоцентр, точка MM — середина сторони ACAC. Прямі AOAO та COCO перетинають сторони BCBC та ABAB у точках A1A_1 та C1C_1 відповідно. Точка PP — проєкція точки OO на пряму A1C1A_1C_1. Доведіть, що ∠BPA1=∠HMC\angle BPA_1 = \angle HMC.
11 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-102

Рівність відрізків TK і TL у гострокутному трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC провели висоти AHAAH_A, BHBBH_B та CHCCH_C, які перетинаються в точці HH, точка MM — середина сторони ACAC. Бісектриса BLBL трикутника ABCABC перетинає відрізок HAHCH_AH_C у точці KK. Пряма, що проходить через точку LL паралельно прямій HMHM, перетинає пряму BHBBH_B у точці TT. Доведіть, що TK=TLTK = TL.
10 класПроєктивна геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-044

Трапеція ABCD та колінеарність точок P, Q, D

Нехай ABCDABCD — трапеція з основами AB<CDAB < CD, AC∩BD=EAC \cap BD = E. Позначимо середину дуги BCBC описаного кола трикутника BCEBCE, що не містить точку EE, через FF, EF∩BC=GEF \cap BC = G. Описане коло трикутника BFDBFD перетинає промінь DADA у точці HH такій, що точка AA належить відрізку HDHD. Описане коло трикутника AHBAHB перетинає вдруге прямі ACAC та BDBD у точках MM та NN відповідно. Позначимо BM∩GH=PBM \cap GH = P, GN∩AC=QGN \cap AC = Q. Доведіть, що точки PP, QQ, DD — колінеарні.
11 класПроєктивна геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-035

Пряма AF і пряма Ейлера трикутника ABC

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, на сторонах ABAB та ACAC якого вибрано точки DD і EE відповідно таким чином, що описані кола трикутників ACDACD та ABEABE дотикаються до прямої BCBC. Нехай FF — точка перетину прямих BCBC та DEDE. Доведіть, що пряма AFAF перпендикулярна до прямої Ейлера трикутника ABCABC. Примітка. Пряму, що проходить через ортоцентр та центр описаного кола трикутника, називають прямою Ейлера.
10 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-059

Точка дотику вписаного кола, висота і бісектриса

У трикутнику ABCABC провели висоту BHBH і бісектрису BLBL, вписане коло ww дотикається до сторони ACAC у точці KK. Відомо, що ∠BKA=45∘\angle BKA = 45^\circ. Доведіть, що коло діаметром HLHL дотикається до кола ww.
11 класПроєктивна геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-032

Дотичні з точки кола і фіксована пряма

Два кола w1w_1 та w2w_2 із центрами O1O_1 та O2O_2 відповідно дотикаються зовнішнім чином у точці MM, при цьому радіус кола w2w_2 більший за радіус кола w1w_1. Розглянемо точку A∈w2A \in w_2 таку, що точки O1O_1, O2O_2 та AA не колінеарні. ABAB та ACAC — дотичні до кола w1w_1 (BB та CC є точками дотику). Лінії MBMB і MCMC перетинають вдруге коло w2w_2 у точках EE і FF відповідно. Точку перетину EFEF і дотичної в точці AA до кола w2w_2 позначимо через DD. Доведіть, що точка DD лежить на фіксованій прямій, коли точка AA рухається по колу w2w_2 таким чином, що точки O1O_1, O2O_2 та AA не колінеарні.
11 класПроєктивна геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-021

Точки на колі і прямі через A та B

Задано коло ω\omega та точки AA, BB на прямій, яка не перетинає коло ω\omega. На колі вибрано довільну точку X0X_0 і далі побудовано такі послідовності точок (Yn)(Y_n) та (Xn)(X_n): YnY_n — друга точка перетину прямої AXnAX_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0, а Xn+1X_{n+1} — друга точка перетину прямої BYnBY_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що коли для деякої точки X0X_0 та для деякого натурального kk точка Xk=X0X_k = X_0, то Xk=X0X_k = X_0 при довільному виборі точки X0X_0.
10 класІнверсія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-030

Вписане коло, дотична та прямий кут

Вписане в трикутник ABCABC коло ω\omega дотикається до його сторін BCBC, CACA та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Пряма, що проходить через точку AA та не проходить через точку DD, перетинає дугу EFEF у точці TT. Дотична до кола ω\omega у точці TT перетинає EFEF у точці PP, а пряма, що проходить через точку PP паралельно ABAB, перетинає ATAT у точці HH. Доведіть, що ∠HEF=90∘\angle HEF = 90^\circ.
11 класПроєктивна геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-029

Перетин прямих B0C0 і B1C1 в трикутнику з бісектрисами

У трикутнику ABCABC проведено бісектриси BB0BB_0 та CC0CC_0. Продовження цих бісектрис перетинають коло, описане навколо трикутника ABCABC, у точках B1B_1 та C1C_1 відповідно. Прямі B0C0B_0C_0 та B1C1B_1C_1 перетинаються в точці XX. Нехай також I=BB0∩CC0I = BB_0 \cap CC_0. Покажіть, що X≠IX \neq I, та доведіть, що XI∥BCXI \parallel BC.
11 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-113

Перетин прямих CI, FG і AD у трапеції

Дано трапецію ABCDABCD з основами ADAD і BCBC. На бічній стороні CDCD довільно відмітили точку FF, EE — точка перетину прямих AFAF і BDBD. На бічній стороні ABAB відмітили точку GG так, що EG∥ADEG \parallel AD. Позначимо через HH точку перетину прямих CGCG і BDBD, через II — точку перетину прямих FHFH і ABAB. Доведіть, що прямі CICI, FGFG і ADAD перетинаються в одній точці.
11 класПроєктивна геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-032

Геометричне місце точки P за центрами описаних кіл

Нехай ABCABC – гострокутний трикутник, для деякої внутрішньої точки трикутника PP позначимо через Oa,Ob,OcO_a, O_b, O_c центри описаних кіл трикутників PBC,PCA,PABPBC, PCA, PAB відповідно а) Знайти геометричне місце таких точок PP, для яких справджується рівність: OaObAB=ObOcBC=OcOaCA\dfrac{O_aO_b}{AB} = \dfrac{O_bO_c}{BC} = \dfrac{O_cO_a}{CA}. б) Для кожної точки PP, що належить ГМТ з пункту а), довести, що прямі AOa,BOb,COcAO_a, BO_b, CO_c перетинаються в одній точці.
10 класТочка перетину висот
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-098

Опуклий чотирикутник і дотична до описаного кола

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, коло ω\omega дотикається до прямих ABAB та BCBC у точках AA та CC відповідно та перетинає відрізки ADAD та CDCD у точках EE та FF відповідно, жодна з яких не збігається з DD. Нехай AF∩CE=GAF \cap CE = G. Відомо, що ∠ACB=∠GDC+∠ACE\angle ACB = \angle GDC + \angle ACE. Доведіть, що пряма ADAD дотикається до описаного кола трикутника AGBAGB.
9 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-139

Рівність відношень на дотичних і ортоцентр трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, точка PP розташована на висоті AXAX. Прямі BPBP та CPCP перетинають сторони ACAC та ABAB у точках DD та EE відповідно. Дотичні, проведені з точок DD та EE до описаного кола трикутника BPCBPC, мають точки дотику KK та LL відповідно, що розташовані всередині трикутника ABCABC. Пряма KDKD перетинає описане коло трикутника AKCAKC удруге в точці MM, а пряма LELE перетинає описане коло трикутника ALBALB удруге в точці NN. Доведіть, що KDMD=LENE⇔P\dfrac{KD}{MD} = \dfrac{LE}{NE} \Leftrightarrow P — ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-129

Рівнобедрений трикутник і точки M, N на бічних сторонах

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною в точці AA та висотою ADAD. Пряма, що проходить через точку DD, перетинає прямі ABAB та ACAC у точках KK та LL відповідно. Нехай точка E≠DE \ne D на стороні BCBC і точка PP на промені AEAE лежать так, що AP>AEAP > AE та ∠KPL=90∘−12∠KAL\angle KPL = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle KAL. Описане коло трикутника PDEPDE перетинає прямі PKPK і PLPL удруге в точках XX та YY відповідно, DX∩AB=MDX \cap AB = M, DY∩AC=NDY \cap AC = N. Доведіть, що точки PP, MM, AA, NN циклічні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-105

Вписаний чотирикутник і кут між перетинами сторін

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло із центром OO, прямі BCBC та ADAD перетинаються в точці EE, а прямі ABAB та CDCD перетинаються в точці FF. Усередині чотирикутника ABCDABCD вибрано точку PP так, що ∠EPD=∠FPD=∠BAD\angle EPD = \angle FPD = \angle BAD. Пряма FOFO перетинає прямі ADAD, EPEP і BCBC у точках XX, QQ та YY відповідно, і ∠DQX=∠CQY\angle DQX = \angle CQY. Доведіть, що ∠AEB=90∘\angle AEB = 90^\circ.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-080

Вписаний п'ятикутник і паралельність PQ та AD

Нехай ABCDEABCDE — п'ятикутник, вписаний у коло, у якому AB=BDAB = BD. Точки P=AC∩BEP = AC \cap BE, Q=BC∩DEQ = BC \cap DE. Доведіть, що PQ∥ADPQ \parallel AD.
9 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-119

Перпендикулярні чевіани трикутника і кут FDE

Нехай PP — точка всередині трикутника ABCABC, прямі APAP, BPBP і CPCP перетинають сторони BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках DD, EE і FF. Нехай QQ — точка на промені BEBE така, що E∈BQE \in BQ і ∠EDQ=∠FDB\angle EDQ = \angle FDB. Нехай BE⊥ADBE \perp AD і DQ=2BDDQ = 2BD. Доведіть, що ∠FDE=60∘\angle FDE = 60^\circ.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-094

Рівнобедрений трикутник, симетрія і дотична до кола

Нехай трикутник ABCABC — рівнобедрений з основою BCBC. Нехай DD — це точка, що належить меншій дузі ACAC кола, описаного навколо трикутника ABCABC. Точка EE — образ точки BB відносно прямої ADAD. Пряма BEBE перетинає коло, описане навколо трикутника ABCABC, у точці FF. Дотична, проведена до описаного кола трикутника ABCABC у точці FF, перетинає пряму ACAC у точці KK. Прямі ABAB і DFDF перетинаються в точці LL. Доведіть, що точки KK, LL, EE лежать на одній прямій.
9 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-174

Відношення відрізків на прямій MN у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло із центром OO. Позначимо через EE точку перетину діагоналей ACAC і BDBD. Точки MM та NN — середини дуг ABAB та CDCD, які не містять інших вершин чотирикутника ABCDABCD. Нехай прямі EOEO та MNMN перетинаються в точці PP. Доведіть, що MPNP=ABCD\dfrac{MP}{NP}=\dfrac{AB}{CD}.
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-118

Спільні дотичні двох кіл трикутника і рівність кутів

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC, ωa\omega_a — зовнівписане коло, що відповідає вершині AA. Дві спільні дотичні до кіл kk та kak_a перетинають пряму BCBC у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що ∠PAB=∠QAC\angle PAB = \angle QAC.
9 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-153

Вписане коло трикутника та перетин прямих BC1 і CB1

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до його сторін у точках A0A_0, B0B_0, C0C_0. Пряма AA0AA_0 перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC у точці PP, а прямі PB0PB_0 та PC0PC_0 — у точках B1B_1 та C1C_1 відповідно. Для яких трикутників ABCABC прямі BC1BC_1 і CB1CB_1 перетинаються на прямій AA0AA_0?
10–11 класиПроєктивна геометрія
Київський турнір математичних боївKMB-14-15-212

Прямі PQ для точки на прямій через вершину X

У трикутнику XYZXYZ змінна точка LL рухається вздовж деякої прямої, що проходить через вершину XX. Позначимо перетини прямих P=LZ∩XYP = LZ \cap XY, Q=LY∩XZQ = LY \cap XZ. Доведіть, що всі прямі PQPQ проходять через деяку фіксовану точку на прямій YZYZ.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-137

Гострокутний трикутник, центр описаного кола і колінеарні точки

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника A0A1A2A_0A_1A_2. Позначимо точку перетину прямої AiOA_iO зі стороною Ai+1Ai+2A_{i+1}A_{i+2} через BiB_i, а точку перетину Bi+1Bi+2B_{i+1}B_{i+2} з дотичною до описаного кола трикутника A0A1A2A_0A_1A_2, проведеною в точці AiA_i, — через CiC_i при i=0,1,2i = 0, 1, 2 (усі індекси розглядаємо за модулем 33). Доведіть, що точки C0C_0, C1C_1 і C2C_2 колінеарні.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-175

Три кола і перетин прямих CS, MZ, BT

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точках BB і CC. Коло ω3\omega_3 дотикається до BCBC у точці AA, до кола ω1\omega_1 — у точці NN і перетинає коло ω2\omega_2 в точках SS і TT. Пряма NANA перетинає STST і коло ω1\omega_1 у точках MM і QQ відповідно. PP — точка на колі ω1\omega_1, яка діаметрально протилежна точці QQ. Пряма PAPA перетинає коло ω1\omega_1 у точці RR, прямі RNRN і BCBC перетинаються в точці ZZ. Доведіть, що прямі CSCS, MZMZ і BTBT перетинаються в одній точці.
10–11 класиІнверсія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.