Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

58 задач
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-001

Найменший добуток зсунутих квадратів дійсних коренів

Нехай aa, bb, cc, dd — дійсні числа, для яких b−d≥5b - d \ge 5 і всі корені x1x_1, x2x_2, x3x_3, x4x_4 многочлена P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d є дійсними. Знайдіть найменше значення, яке може набувати добуток (x12+1)(x22+1)(x32+1)(x42+1)(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)(x_3^2 + 1)(x_4^2 + 1).
10–11 класиТеорема Вієта2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-002

Колінеарні точки з умовою на суму індексів

Доведіть, що існує нескінченна множина точок …,P−3,P−2,P−1,P0,P1,P2,P3,…\dots, P_{-3}, P_{-2}, P_{-1}, P_0, P_1, P_2, P_3, \dots на площині з такою властивістю: для будь-яких трьох різних цілих чисел a,ba, b і cc точки Pa,PbP_a, P_b і PcP_c лежать на одній прямій тоді і лише тоді, коли a+b+c=2014a + b + c = 2014.
10–11 класиМетод координат2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-003

Гра на шестикутній сітці з видаленням та лінією

Нехай kk — додатне ціле число. Два гравці AA і BB грають у гру на нескінченній сітці з правильних шестикутників. Спочатку всі клітинки сітки порожні. Потім гравці по черзі роблять ходи, причому AA ходить першим. Своїм ходом AA може вибрати два сусідні порожні шестикутники в сітці та помістити в обидва фішку. Своїм ходом BB може вибрати будь-яку фішку на дошці та видалити її. Якщо в будь-який момент є kk послідовних клітинок сітки в ряд, усі з яких містять фішку, AA виграє. Знайдіть мінімальне значення kk, для якого AA не може виграти за скінченну кількість ходів, або доведіть, що такого мінімального значення не існує.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-004

Відстань між центром описаного кола та ортоцентром у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з ортоцентром HH, і нехай PP — друга точка перетину описаного кола трикутника AHCAHC з внутрішньою бісектрисою кута ∠BAC\angle BAC. Нехай XX — центр описаного кола трикутника APBAPB, а YY — ортоцентр трикутника APCAPC. Доведіть, що довжина відрізка XYXY дорівнює радіусу описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-005

Нижня оцінка для ґратки без взаємно простих пар

Доведіть, що існує стала c>0c > 0 з такою властивістю: якщо a,b,na, b, n — натуральні числа такі, що НСД(a+i,b+j)>1\text{НСД}(a + i, b + j) > 1 для всіх i,j∈{0,1,…,n}i, j \in \{0, 1, \dots, n\}, то min⁡{a,b}>cn⋅nn2.\min\{a, b\} > c^n \cdot n^{\frac{n}{2}}.
10–11 класиЧислові нерівності
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-001

Точки на сторонах трикутника і відношення відрізків на чевіані

У трикутнику ABCABC точки P,Q,RP, Q, R лежать на сторонах BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Нехай ωA,ωB,ωC\omega_A, \omega_B, \omega_C позначають описані кола трикутників AQR,BRP,CPQAQR, BRP, CPQ відповідно. Відомо, що відрізок APAP вдруге перетинає ωA,ωB,ωC\omega_A, \omega_B, \omega_C у точках X,Y,ZX, Y, Z відповідно, доведіть, що YX/XZ=BP/PCYX/XZ = BP/PC. (Задачу запропонував Зумін Фен.)
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…3 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-002

Обходи кола із забороненими ходами

Для натурального числа n≥3n \ge 3 позначимо nn рівновіддалених точок навколо кола. Позначимо одну з них AA і поставимо фішку в AA. Фішку можна рухати вперед за годинниковою стрілкою або до наступної точки, або через одну. Отже, загалом є 2n2n різних ходів; по два з кожної точки. Нехай ana_n позначає кількість способів пройти навколо кола рівно двічі, починаючи і закінчуючи в AA, не повторюючи жодного ходу. Доведіть, що an−1+an=2na_{n-1} + a_n = 2^n для всіх n≥4n \ge 4.
10–11 класиРекурентний підрахунок4 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-003

Максимальна кількість перевертань у трикутній решітці

Нехай nn — натуральне число. Є n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} фішок, у кожної з яких один бік чорний, а другий білий; вони розкладені у рівносторонній трикутник, причому найбільший ряд містить nn фішок. Спочатку кожна фішка лежить чорним боком угору. Операція полягає у виборі прямої, паралельної одній зі сторін трикутника, та перевертанні всіх фішок на цій прямій. Конфігурацію називають допустимою, якщо її можна одержати з початкової конфігурації, виконавши скінченну кількість операцій. Для кожної допустимої конфігурації CC нехай f(C)f(C) позначає найменшу кількість операцій, потрібну для одержання CC з початкової конфігурації. Знайдіть найбільше значення f(C)f(C), де CC пробігає всі допустимі конфігурації.
10–11 класиПарність і непарність
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-004

Кратні з однаковою кількістю кожної цифри

Дано натуральні числа mm і nn. Доведіть, що існує натуральне число cc таке, що числа cmcm і cncn містять однакову кількість входжень кожної ненульової цифри в десятковому записі.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-005

Кратні cm і cn з однаковою кількістю ненульових цифр

Дано додатні цілі числа mm і nn. Доведіть, що існує додатне ціле число cc таке, що числа cmcm і cncn мають однакову кількість входжень кожної ненульової цифри при записі в десятковій системі числення.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-006

Точка на відрізку з відношенням дотичних

Нехай ABCABC — трикутник. Знайдіть усі точки PP на відрізку BCBC, що задовольняють таку властивість: якщо XX і YY — точки перетину прямої PAPA зі спільними зовнішніми дотичними до описаних кіл трикутників PABPAB і PACPAC, то (PAXY)2+PB⋅PCAB⋅AC=1.\left( \frac{PA}{XY} \right)^2 + \frac{PB \cdot PC}{AB \cdot AC} = 1.
10–11 класиДотична кола
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-001

Гострокутний трикутник серед обмежених відношень

Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких серед будь-яких nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що задовольняють умову max⁡(a1,a2,…,an)≤n⋅min⁡(a1,a2,…,an),\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \le n \cdot \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), знайдуться три, які є довжинами сторін гострокутного трикутника.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-002

Конгруентні трикутники на розфарбованому колі

Коло поділено на 432432 рівні дуги 432432 точками. Точки пофарбовано у чотири кольори так, що 108108 точок пофарбовано в червоний колір, 108108 точок — у зелений, 108108 точок — у синій, а решта 108108 точок — у жовтий. Доведіть, що можна вибрати по три точки кожного кольору так, щоб чотири трикутники, утворені вибраними точками одного кольору, були конгруентними.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-003

Цілі числа зі зникаючою зваженою сумою

Визначте, які цілі числа n>1n > 1 мають властивість, що існує нескінченна послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots ненульових цілих чисел така, що рівність ak+2a2k+⋯+nank=0a_k + 2a_{2k} + \dots + n a_{nk} = 0 виконується для кожного натурального числа kk.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-004

Відбиття і колінеарність у трикутнику

Нехай PP — точка в площині трикутника ABCABC, а γ\gamma — пряма, що проходить через PP. Нехай A′A', B′B', C′C' — точки, в яких образи прямих PAPA, PBPB, PCPC при відбитті відносно прямої γ\gamma перетинають прямі BCBC, ACAC, ABAB відповідно. Доведіть, що точки A′A', B′B', C′C' лежать на одній прямій.
10–11 класиТеорема Менелая2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-005

Симетричні чевіани та колінеарність

Нехай PP — точка в площині трикутника ABCABC, а γ\gamma — пряма, що проходить через PP. Нехай A′A', B′B', C′C' — точки, в яких відбиття прямих PAPA, PBPB, PCPC відносно прямої γ\gamma перетинають прямі BCBC, ACAC, ABAB відповідно. Доведіть, що точки A′A', B′B', C′C' колінеарні.
10–11 класиТеорема Менелая
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-006

Суми по підмножинах, що перевищують поріг

Для цілого n≥2n \ge 2 нехай x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n — дійсні числа, що задовольняють x1+x2+⋯+xn=0,іx12+x22+⋯+xn2=1.x_1 + x_2 + \dots + x_n = 0, \quad \text{і} \quad x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = 1. Для кожної підмножини A⊆{1,2,…,n}A \subseteq \{1, 2, \dots, n\} означимо SA=∑i∈Axi.S_A = \sum_{i \in A} x_i. (Якщо AA — порожня множина, то SA=0S_A = 0.) Доведіть, що для будь-якого додатного числа λ\lambda кількість множин AA, для яких SA≥λS_A \ge \lambda, не перевищує 2n−3λ2\frac{2^{n-3}}{\lambda^2}. Для яких наборів x1,x2,…,xn,λx_1, x_2, \dots, x_n, \lambda досягається рівність?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-001

Солітерне перетворення на вершинах п'ятикутника

Кожній вершині правильного п'ятикутника приписано ціле число так, що сума п'яти чисел дорівнює 20112011. Хід пасьянсу полягає у відніманні цілого числа mm від чисел у двох сусідніх вершинах і додаванні 2m2m до протилежної вершини, яка не є сусідньою з жодною з перших двох вершин. (Величина mm і вибрані вершини можуть змінюватися від ходу до ходу.) Кажуть, що гру виграно у певній вершині, якщо після деякої кількості ходів ця вершина має число 20112011, а інші чотири вершини мають число 00. Доведіть, що для будь-якого вибору початкових цілих чисел існує рівно одна вершина, в якій гру можна виграти.
10–11 класиОстача від ділення
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-002

Конкурентність діагоналей неопуклого шестикутника

У шестикутнику ABCDEFABCDEF, який є неопуклим, але без самоперетинів, жодна пара протилежних сторін не паралельна. Внутрішні кути задовольняють ∠A=3∠D\angle A = 3\angle D, ∠C=3∠F\angle C = 3\angle F і ∠E=3∠B\angle E = 3\angle B. Крім того, AB=DEAB = DE, BC=EFBC = EF і CD=FACD = FA. Доведіть, що діагоналі AD‾\overline{AD}, BE‾\overline{BE} і CF‾\overline{CF} перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-003

Остача від ділення 2^{2n} на 2^n - 1

Розглянемо твердження про те, що для кожного натурального числа n≥2n \ge 2 остача від ділення 22n2^{2n} на 2n−12^n - 1 є степенем числа 4. Або доведіть твердження, або знайдіть (з доведенням) контрприклад.
10–11 класиОстачі від великих степенів
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-004

Паралельність відрізка Q1Q2 у чотирикутнику з кутовими умовами

Нехай PP — задана точка всередині чотирикутника ABCDABCD. Точки Q1Q_1 і Q2Q_2 розташовані всередині ABCDABCD так, що ∠Q1BC=∠ABP,∠Q1CB=∠DCP,∠Q2AD=∠BAP,∠Q2DA=∠CDP.\angle Q_1 BC = \angle ABP, \quad \angle Q_1 CB = \angle DCP, \quad \angle Q_2 AD = \angle BAP, \quad \angle Q_2 DA = \angle CDP. Доведіть, що Q1Q2‾∥AB‾\overline{Q_1Q_2} \parallel \overline{AB} тоді й лише тоді, коли Q1Q2‾∥CD‾\overline{Q_1Q_2} \parallel \overline{CD}.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-005

Підмножини з фіксованими перетинами

Нехай AA — множина з ∣A∣=225|A| = 225, тобто AA має 225225 елементів. Припустимо далі, що існує одинадцять підмножин A1,…,A11A_1, \dots, A_{11} множини AA таких, що ∣Ai∣=45|A_i| = 45 для 1≤i≤111 \le i \le 11 і ∣Ai∩Aj∣=9|A_i \cap A_j| = 9 для 1≤i<j≤111 \le i < j \le 11. Доведіть, що ∣A1∪A2∪⋯∪A11∣≥165|A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{11}| \ge 165, і наведіть приклад, для якого досягається рівність.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-001

Основи перпендикулярів і вписаний п'ятикутник

Нехай AXYZBAXYZB — опуклий п'ятикутник, вписаний у півколо з діаметром ABAB. Позначимо через P,Q,R,SP, Q, R, S основи перпендикулярів, опущених із точки YY на прямі AXAX, BXBX, AZAZ, BZBZ відповідно. Доведіть, що гострий кут, утворений прямими PQPQ та RSRS, дорівнює половині величини ∠XOZ\angle XOZ, де OO — середина відрізка ABAB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-002

Обміни в колі з упорядкованим зростом

Є nn учнів, які стоять у колі один за одним. Учні мають зрости h1<h2<⋯<hnh_1 < h_2 < \dots < h_n. Якщо учень зі зростом hkh_k стоїть безпосередньо за учнем зі зростом hk−2h_{k-2} чи менше, то ці двоє учнів можуть помінятися місцями. Доведіть, що неможливо зробити більше ніж (n3)\binom{n}{3} таких обмінів, доки не буде досягнуто розташування, у якому жодні подальші обміни неможливі.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-003

Максимізація добутку за попарної нерівності

Додатні числа a1,a2,…,a2010a_1, a_2, \dots, a_{2010} задовольняють нерівність aiaj≤i+ja_i a_j \le i + j для всіх різних індексів i,ji, j. Визначте з доведенням найбільше можливе значення добутку a1a2⋯a2010a_1 a_2 \cdots a_{2010}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.