Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

85 задач
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-001

НСД числа N із сумами сусідніх взаємно простих чисел

Для натурального числа NN через c1<c2<…<cmc_1 < c_2 < \ldots < c_m позначимо всі натуральні числа, менші за NN, що взаємно прості із числом NN. Знайдіть усі такі N⩾3N \geqslant 3, що НСД(N,ci+ci+1)≠1\text{НСД}(N, c_i + c_{i+1}) \neq 1 для всіх 1⩽i⩽m−11 \leqslant i \leqslant m-1.
10–11 класиНСД та НСК
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-002

Послідовність зі спільними членами всіх центральних

Нескінченна зростаюча послідовність натуральних чисел a1<a2<a3<…a_1 < a_2 < a_3 < \ldots називається центральною, якщо для довільного натурального числа nn, середнє арифметичне перших ana_n членів послідовності дорівнює ana_n. Доведіть, що існує така нескінченна послідовність натуральних чисел b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots, що для довільної центральної послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots існує нескінченно багато таких натуральних чисел nn, що an=bna_n = b_n.
10–11 класиСуми послідовностей
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-003

Ортоцентр трикутника ADE і точки P, Q, M, N

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Точки BB, DD, EE та CC лежать на одній прямій у вказаному порядку і задовольняють умову BD=DE=ECBD = DE = EC. Нехай MM та NN — середини відрізків ADAD та AEAE відповідно. Припустимо, що трикутник ADEADE є гострокутним, і нехай точка HH — його ортоцентр. Нехай PP та QQ — такі точки на прямих BMBM та CNCN відповідно, що точки DD, HH, MM та PP лежать на одному колі та є попарно різними, і точки EE, HH, NN та QQ також лежать на одному колі та є попарно різними. Доведіть, що точки PP, QQ, NN та MM лежать на одному колі.
10–11 класиСиметрія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-004

Бісектриси трикутника, паралелограми і коло через чотири точки

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із центром вписаного кола в точці II і AB≠ACAB \neq AC. Прямі BIBI та CICI перетинають описане коло трикутника ABCABC у точках P≠BP \neq B та Q≠CQ \neq C відповідно. Розглянемо такі точки RR та SS, що чотирикутники AQRBAQRB та ACSPACSP — паралелограми. Прямі RBRB та SCSC перетинаються в точці TT. Доведіть, що точки RR, SS, TT та II лежать на одному колі.
10–11 класиОзнаки подібності
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-005

Максимальна кількість гарних клітинок для равлика Турбо

Задано натуральне число n>1n > 1. У конфігурації дошки n×nn \times n кожна з n2n^2 клітинок містить стрілку, направлену вгору, вниз, ліворуч або праворуч. Для заданої конфігурації равлик Турбо починає свою подорож з однієї з клітинок дошки і подорожує клітинками. Під час кожного кроку Турбо рухається на одну клітинку в напрямку, вказаному стрілкою в її теперешній клітинці (можливо, виходячи за межі дошки). Після кожного кроку стрілки в усіх клітинках повертаються на 90∘90^\circ проти руху годинникової стрілки. Назвемо клітинку гарною, якщо, стартуючи з неї, Турбо відвідає кожну клітинку дошки рівно один раз, не виходячи за межі дошки, і в кінці повернеться до початкової клітинки. Визначте, у залежності від nn, максимальну кількість гарних клітинок серед усіх можливих початкових конфігурацій.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-006

Найбільше значення відношення сум максимумів рядків і стовпців

У кожній комірці дошки 2025×20252025 \times 2025 записано дійсне невід'ємне число так, що сума чисел у кожному рядку дорівнює 11, і сума чисел у кожному стовпчику також дорівнює 11. Через rir_i позначимо найбільше число в рядку ii, і нехай R=r1+r2+…+r2025R = r_1 + r_2 + \ldots + r_{2025}. Аналогічно, через cic_i позначимо найбільше число в стовпчику ii, і нехай C=c1+c2+…+c2025C = c_1 + c_2 + \ldots + c_{2025}. Якого найбільшого значення може набувати вираз RC\dfrac{R}{C}?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-001

Два початкові числа на дошці та всі цілі числа

На дошці написано два різних цілих числа uu та vv. Ми виконуємо послідовність кроків. На кожному кроці робимо одну з таких двох операцій: - якщо aa та bb — різні цілі числа, написані на дошці, то ми можемо дописати число a+ba + b, якщо його там ще немає; - якщо aa, bb та cc — три попарно різних цілих числа на дошці та ціле число xx є коренем рівняння ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, то ми можемо дописати число xx, якщо його там ще немає. Знайдіть усі пари початкових чисел (u,v)(u, v), що для них будь-яке ціле число може бути написане на дошці після скінченної кількості кроків.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-002

Трикутник з точками дотику та перетин на описаному колі

У трикутнику ABCABC відомо, що AC>ABAC > AB. Нехай Ω\Omega — його описане коло, а точка II — центр вписаного кола. Нехай вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Позначимо через XX і YY відповідно дві точки на менших дугах DF⌢\overset{\frown}{DF} та DE⌢\overset{\frown}{DE} вписаного кола так, що ∠BXD=∠DYC\angle BXD = \angle DYC. Прямі XYXY і BCBC перетинаються в точці KK. Нехай TT — точка на колі Ω\Omega така, що пряма KTKT є дотичною до кола Ω\Omega, а точки TT та AA лежать по один бік від прямої BCBC. Доведіть, що прямі TDTD та AIAI перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-003

Найбільший спільний дільник чотирьох різних дивних чисел

Назвемо натуральне число nn дивним, якщо для будь-якого натурального дільника dd числа nn число d (d+1)d\,(d+1) є дільником числа n (n+1)n\,(n+1). Доведіть, що для будь-яких чотирьох попарно різних дивних чисел AA, BB, CC, DD справджується рівність НСД (A,B,C,D)=1.\text{НСД}\,(A, B, C, D) = 1. Примітка. Тут через НСД (A,B,C,D)\text{НСД}\,(A, B, C, D) позначено найбільший спільний дільник чисел, тобто найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне із чисел AA, BB, CC і DD.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-004

Найбільша кількість цікавих пар у послідовності

У послідовності цілих чисел a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n пару чисел (ai,aj)(a_i, a_j), де 1⩽i<j⩽n1 \leqslant i < j \leqslant n, називають цікавою, якщо існує така пара чисел (ak,al)(a_k, a_l), де 1⩽k<l⩽n1 \leqslant k < l \leqslant n, що справджується рівність al−akaj−ai=2.\frac{a_l - a_k}{a_j - a_i} = 2. Знайдіть найбільшу можливу кількість цікавих пар у послідовності цілих чисел довжини nn, якщо n⩾3n \geqslant 3.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-005

Функції з однаковою кількістю дільників і умовою на НСД

Дано множину натуральних чисел N\mathbb{N}. Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, для яких для довільної пари натуральних чисел (x,y)(x, y) справджуються такі умови: - xx та f(x)f(x) мають однакову кількість натуральних дільників; - якщо xx не ділиться націло на yy, а yy не ділиться націло на xx, то НСД(f(x),f(y))>f(НСД(x,y)).\text{НСД}(f(x), f(y)) > f(\text{НСД}(x, y)). Примітка. Тут через НСД(m,n)\text{НСД}(m, n) позначено найбільший спільний дільник чисел, тобто найбільше натуральне число, що ділить числа mm та nn одночасно.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-006

Поліном степеня d з не більше ніж d значень

Знайдіть усі натуральні числа dd, для яких існує такий поліном PP степеня dd з дійсними коефіцієнтами, що серед чисел P(0),P(1),…,P(d2−d)P(0), P(1), \ldots, P(d^2-d) є не більше ніж dd різних.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-001

Додатні числа і вирази з тим самим упорядкуванням

Задано n⩾3n \geqslant 3 додатних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Для кожного 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n покладемо bi=ai−1+ai+1aib_i = \dfrac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i} (тут уважаємо, що a0=ana_0 = a_n та a1=an+1a_1 = a_{n+1}). Припустимо, що для всіх ii та jj від 11 до nn справджується твердження ai⩽aja_i \leqslant a_j тоді й тільки тоді, коли bi⩽bjb_i \leqslant b_j.
10–11 класиНерівність Коші
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-002

Пряма KL через ортоцентр гострокутного трикутника

Задано гострокутний трикутник ABCABC. Позначимо таку точку DD на його описаному колі, у якому ADAD — діаметр. Припустимо, що точки KK та LL належать відрізкам ABAB та ACAC відповідно, а прямі DKDK та DLDL дотикаються до описаного кола трикутника AKLAKL. Доведіть, що пряма KLKL проходить через ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-003

Найменша кількість слів для заповнення таблиці k × k

Нехай kk — натуральне число. Гуска Стефанія має словник DD, що складається з кількох слів завдовжки kk, кожне з яких містить лише літери AA та BB. Стефанія хоче записати в кожну клітинку таблиці k×kk \times k літеру AA або BB так, щоб кожний стовпець містив слово зі словника DD при читанні згори донизу, а кожний рядок містив слово зі словника DD при читанні зліва направо. Якщо словник містить хоча б mm різних слів, то Стефанія може заповнити таблицю в описаний спосіб, незалежно від того, які слова містяться в ньому. Яким може бути при цьому найменше ціле число mm?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-004

Равлик на колі та ніколи не пройдена точка

Равлик Степан сидить у деякій точці кола завдовжки 11. Задано нескінченну послідовність додатних дійсних чисел c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots. Равлик Степан послідовно проповзає відстані c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots вздовж кола, щоразу вибираючи, повзти йому за рухом годинникової стрілки чи проти руху годинникової стрілки. Наприклад, якщо послідовність c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots задано як числа 0,40{,}4, 0,60{,}6, 0,30{,}3, …\ldots, то Степан може повзти таким чином, як це показано на рис. 9.1. Визначте найбільшу сталу C>0C > 0 з такою властивістю: для довільної послідовності додатних дійсних чисел c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots такої, що ci<Cc_i < C для всіх натуральних ii, Степан може (після дослідження послідовності) гарантувати, що на колі знайдеться точка, у якій він ніколи не зупинявся та не проповзав над нею.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-005

Великодні числа та поява одиниці в послідовності

Задано натуральне число s⩾2s \geqslant 2. Для кожного натурального kk його Великодним числом назвемо число k′k', яке визначається в такий спосіб: запишемо kk як суму as+bas + b, де aa, bb — цілі невід’ємні числа, а b<sb < s, тоді k′=bs+ak' = bs + a. Для натурального числа nn розглянемо нескінченну послідовність d1,d2,d3,…d_1, d_2, d_3, \ldots, де di+1d_{i+1} є Великодним числом числа did_i для кожного натурального ii. Доведіть, що ця послідовність містить 11 тоді й тільки тоді, коли остача від ділення числа nn на s2−1s^2 - 1 дорівнює 11 або ss.
10–11 класиОстача від ділення
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-006

Пряма INa і спільна пряма двох дотичних кіл

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC. Через SbS_b та ScS_c позначимо середини дуг ACAC та ABAB відповідно, що не містять третю вершину трикутника ABCABC, а через NaN_a позначимо середину дуги BACBAC (дуга BCBC, що містить вершину AA). Нехай ωb\omega_b — коло, що дотикається до прямої ABAB та внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці SbS_b. Нехай ωc\omega_c — коло, що дотикається до прямої ACAC та внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці ScS_c. Доведіть, що пряма INaIN_a та пряма, яка проходить через точку перетину кіл ωb\omega_b та ωc\omega_c, перетинаються на колі Ω\Omega, де через II позначено центр вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-001

Ортоцентр, описане коло APQ і перетин BQ з CP

У гострокутному трикутнику ABCABC відомо, що BC<ABBC < AB та BC<CABC < CA. Точки PP і QQ вибрано на відрізках ABAB та ACAC відповідно так, що P≠BP \neq B, Q≠CQ \neq C і BQ=BC=CPBQ = BC = CP. Через TT позначили центр описаного кола трикутника APQAPQ, через HH — ортоцентр трикутника ABCABC, через SS — точку перетину прямих BQBQ та CPCP. Доведіть, що точки TT, HH та SS лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-002

Функції з умовами на добуток, суму і рівність

Знайдіть усі такі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, що для всіх натуральних чисел aa та bb виконуються дві умови: 1) f(ab)=f(a)f(b)f(ab) = f(a)f(b); 2) серед чисел f(a)f(a), f(b)f(b) та f(a+b)f(a + b) є хоча б два однакових.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-003

Квадратна послідовність із сумами у вигляді квадратів

Нескінченну послідовність натуральних чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots назвемо квадратною, якщо: 1) a1a_1 є точним квадратом; 2) для всіх натуральних n⩾2n \geqslant 2 ana_n є найменшим натуральним числом, для якого na1+(n−1)a2+…+2an−1+anna_1 + (n-1)a_2 + \ldots + 2a_{n-1} + a_n є точним квадратом. Доведіть, що для будь-якої квадратної послідовності a1,a2,…a_1, a_2, \ldots існує таке натуральне число kk, що рівність an=aka_n = a_k виконується для всіх натуральних n⩾kn \geqslant k.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-004

Найдовша послідовність дійсних чисел з двома умовами

Для кожного натурального n⩾2n \geqslant 2 знайдіть таке найбільше натуральне NN, що існують N+1N + 1 дійсне число a0,a1,…,aNa_0, a_1, \ldots, a_N, для яких: 1) a0+a1=−1na_0 + a_1 = -\frac{1}{n}; 2) (ak+ak−1)(ak+ak+1)=ak−1−ak+1(a_k + a_{k-1})(a_k + a_{k+1}) = a_{k-1} - a_{k+1}, де 1⩽k⩽N−11 \leqslant k \leqslant N - 1.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-005

Непарність кількості розбиттів дошки n × 2k на доміно

Для всіх натуральних nn та kk через f(n,2k)f(n, 2k) позначимо кількість способів розбити дошку розміром n×2kn \times 2k клітинки на nknk кісточок доміно розміром 2×12 \times 1 клітинку (наприклад, f(2,2)=2f(2, 2) = 2 та f(3,2)=3f(3, 2) = 3). Знайдіть усі такі натуральні nn, що для кожного натурального kk число f(n,2k)f(n, 2k) є непарним.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-006

Бісектриси кутів вписаного чотирикутника та два кола

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло із центром OO. Бісектриси кутів AA та BB перетинаються в точці XX, бісектриси кутів BB і CC — у точці YY, бісектриси кутів CC і DD — у точці ZZ, бісектриси кутів DD та AA — у точці WW. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. При цьому точки XX, YY, ZZ, WW, OO, PP попарно різні. Доведіть, що точки OO, XX, YY, ZZ, WW лежать на одному колі тоді й тільки тоді, коли точки PP, XX, YY, ZZ, WW лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2021-001

Фантастичність степеня 2021²⁰²¹ за трійками m, 2m+1, 3m

Відомо, що число 20212021 є фантастичним. Для кожного натурального mm справджується таке твердження: якщо хоча б один елемент множини {m, 2m+1, 3m}\{m,\ 2m+1,\ 3m\} є фантастичним, то й усі інші елементи множини є фантастичними. Чи правильно, що число 202120212021^{2021} є фантастичним?
10–11 класиЗв’язність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.