Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

143 задачі
Міжнародна математична олімпіада
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-001

n прямих, що покривають точки трикутника, і k сонячних

Пряму на координатній площині XOYXOY називатимемо сонячною, якщо вона не є паралельною ані осі OXOX, ані осі OYOY, ані прямій x+y=0x + y = 0. Нехай n⩾3n \geqslant 3 — деяке ціле число. Знайдіть усі невід'ємні цілі числа kk, для яких існують nn різних прямих на цій площині, що задовольняють такі дві умови: - для всіх натуральних чисел aa і bb таких, що a+b⩽n+1a + b \leqslant n + 1, точка з координатами (a,b)(a, b) лежить принаймні на одній із цих nn прямих; - рівно kk із цих nn прямих є сонячними.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-002

Два кола, що перетинаються, і дотична через ортоцентр

Нехай Ω\Omega і Γ\Gamma — такі два кола із центрами в точках MM і NN відповідно, що радіус кола Ω\Omega менший, ніж радіус кола Γ\Gamma. Кола Ω\Omega і Γ\Gamma перетинаються в двох різних точках AA і BB. Пряма MNMN перетинає коло Ω\Omega в точці CC, а коло Γ\Gamma — у точці DD так, що точки CC, MM, NN та DD лежать на прямій MNMN саме в такому порядку. Нехай точка PP — центр описаного кола трикутника ACDACD. Пряма APAP перетинає коло Ω\Omega вдруге в точці E≠AE \neq A, а коло Γ\Gamma — удруге в точці F≠AF \neq A. Нехай HH — ортоцентр трикутника PMNPMN. Доведіть, що пряма, яка проходить через точку HH та паралельна прямій APAP, є дотичною до описаного кола трикутника BEFBEF.
10–11 класиТочка перетину висот
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-003

Дотепні функції та найменша стала c

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Функцію f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} називатимемо дотепною, якщо ba−f(b)f(a)b^a - f(b)^{f(a)} ділиться націло на f(a)f(a) для всіх натуральних чисел aa і bb. Знайдіть найменше значення такої дійсної сталої cc, що нерівність f(n)⩽cnf(n) \leqslant cn справджується для всіх дотепних функцій ff та для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиТеорема Діріхле про арифметичні п…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-004

Послідовність сум трьох найбільших власних дільників та перший член

Власним дільником натурального числа NN називають додатний дільник числа NN, що відмінний від NN. Нескінченна послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots складається з натуральних чисел, кожний член якої має щонайменше три власні дільники. Для кожного n⩾1n \geqslant 1 число an+1a_{n+1} є сумою трьох найбільших власних дільників числа ana_n. Знайдіть усі можливі значення першого члена послідовності a1a_1.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-005

Виграшна стратегія в грі з параметром λ

Аліна та Богдан грають у прикольну гру, правила якої залежать від дійсного додатного числа λ\lambda, що відоме обом гравцям до початку гри. На nn-му кроці гри, що починається з n=1n = 1, відбувається таке: - якщо число nn непарне, то Аліна вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x1+x2+…+xn⩽λn;x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leqslant \lambda n; - якщо число nn парне, то Богдан вибирає таке невід'ємне дійсне число xnx_n, що x12+x22+…+xn2⩽n.x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant n. Усі вибрані числа відомі обом гравцям. Якщо хтось із гравців не може вибрати належне число xnx_n, то гра зупиняється, а інший гравець визнається переможцем. Якщо гра триває нескінченно довго, то жоден із гравців не визнається переможцем. Знайдіть усі значення λ\lambda, для яких Аліна має виграшну стратегію, а також усі значення λ\lambda, для яких виграшну стратегію має Богдан.
10–11 класиКласичні ігри
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-006

Плитки з однією вільною клітинкою в рядках і стовпцях

Клітчаста дошка має розміри 2025×20252025 \times 2025. Настя розкладає на дошці прямокутні плитки, можливо різних розмірів, у такий спосіб, щоб сторони кожної плитки лежали на лініях дошки і кожна комірка 1×11 \times 1 була накрита щонайбільше однією плиткою. Знайдіть найменшу кількість плиток, які має покласти Настя, щоб у кожному рядку і кожному стовпчику непокритою залишилася рівно одна комірка.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-001

Подільність на n сум цілих частин кратних α

Знайдіть усі такі дійсні числа α\alpha, що для кожного натурального nn число Sn=[α]+[2α]+…+[nα]S_n = [\alpha] + [2\alpha] + \ldots + [n\alpha] ділиться націло на число nn. Примітка. Тут через [z][z] позначено найбільше ціле число, що не перевищує zz. Наприклад, [−π]=−4[-\pi] = -4 та [2]=[2,9]=2[2] = [2{,}9] = 2.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-002

Сталий НСД чисел aⁿ + b, bⁿ + a

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких існують такі натуральні числа gg та NN, що рівність НСД(an+b,bn+a)=g\text{НСД}(a^n + b, b^n + a) = g справджується при всіх натуральних числах n⩾Nn \geqslant N. Примітка. Тут через НСД (x,y)(x, y) позначено найбільший спільний дільник натуральних чисел xx та yy.
10–11 класиМала теорема Ферма
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-003

Нескінченна послідовність з умовою на кількість повторень

Нехай a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел та нехай NN — деяке натуральне число. Відомо, що для кожного натурального числа n>Nn > N число an−1a_{n-1} трапляється поміж чисел a1,a2,…,an−1a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} рівно ana_n разів. Доведіть, що принаймні одна з послідовностей — a1,a3,a5,…a_1, a_3, a_5, \ldots або a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \ldots — стає періодичною, починаючи з деякого номера. Примітка. Нескінченну послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots називають періодичною, починаючи з деякого номера, якщо існують такі натуральні числа pp та MM, коли рівність bm+p=bmb_{m+p} = b_m справджується при всіх натуральних числах m⩾Mm \geqslant M.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-004

Кути KIL і YPX у трикутнику з вписаним колом

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<AC<BCAB < AC < BC. Точка II — центр вписаного кола ω\omega трикутника ABCABC. Нехай XX, де X≠CX \neq C, — така точка на прямій BCBC, що пряма, яка проходить через точку XX паралельно прямій ACAC, дотикається до кола ω\omega. Аналогічно нехай YY, де Y≠BY \neq B, — така точка на прямій BCBC, що пряма, яка проходить через точку YY паралельно прямій ABAB, дотикається до кола ω\omega. Нехай пряма AIAI вдруге перетинає описане коло ω\omega трикутника ABCABC у точці P≠AP \neq A. Точки KK та LL — середини сторін ACAC та ABAB відповідно. Доведіть, що ∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL + \angle YPX = 180^\circ.
10–11 класиСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-005

Гарантований прохід равлика повз монстрів до останнього рядка

Равлик Богдан грає на дошці, що має 20242024 рядки та 20232023 стовпці. У клітинках дошки ховаються 20222022 монстри, кожен з яких займає рівно одну клітинку. Спочатку Богдан не знає розташування жодного монстра, але знає, що в кожному рядку, крім першого й останнього, ховається рівно один монстр. Богдан також знає, що в кожному стовпчику ховається не більше ніж один монстр. У декілька спроб Богдан намагається перейти з першого рядка в останній. Кожна спроба починається з того, що Богдан вибирає будь-яку початкову клітинку в першому рядку. Далі він рухається клітинками, послідовно переходячи з одної клітинки на сусідню, що має спільну сторону з попередньою. Під час однієї спроби Богдан може повертатися до клітинок, на яких він вже бував раніше. Якщо Богдан потрапляє на клітинку з монстром, спроба завершується, і він переноситься в перший рядок для нової спроби. Монстри не рухаються дошкою, і Богдан пам’ятає, чи є монстри в клітинках, у яких він бував раніше. Якщо Богдан потрапляє в будь-яку клітинку останнього рядка, спроба та гра завершуються. Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого Богдан має таку стратегію, щоб гарантовано потрапити в останній рядок на nn-й спробі або раніше, незалежно від розташування монстрів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-006

Чарівні функції та суми значень у протилежних точках

Нехай Q\mathbb{Q} — множина раціональних чисел. Функцію f:Q→Qf : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} назвемо чарівною, якщо справджується така властивість: для будь-яких чисел x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} має місце рівність f(x+f(y))=f(x)+yабоf(f(x)+y)=x+f(y).f(x + f(y)) = f(x) + y \quad \text{або} \quad f(f(x) + y) = x + f(y). Доведіть, що існує таке ціле число cc, коли для будь-якої чарівної функції ff існують не більше ніж cc різних раціональних чисел вигляду f(r)+f(−r)f(r) + f(-r), де r∈Qr \in \mathbb{Q}, та знайдіть найменше значення числа cc.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-001

Складені числа з умовою подільності сусідніх дільників

Знайдіть усі складені натуральні числа n>1n > 1, які задовольняють таку умову: якщо d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k — це всі натуральні дільники числа nn, причому 1=d1<d2<…<dk=n1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n, то число di+1+di+2d_{i+1} + d_{i+2} ділиться націло на did_i для всіх 1⩽i⩽k−21 \leqslant i \leqslant k - 2.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-002

Нескінченні послідовності з многочленом і добутком членів

Для кожного натурального k⩾2k \geqslant 2 знайдіть усі нескінченні послідовності натуральних чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots, для яких існує многочлен вигляду P(x)=xk+ck−1xk−1+…+c1x+c0,P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + \ldots + c_1x + c_0, де c0,c1,…,ck−1c_0, c_1, \ldots, c_{k-1} — цілі невід’ємні числа, такий що P(an)=an+1an+2…an+kP(a_n) = a_{n+1}a_{n+2}\ldots a_{n+k} для n⩾1n \geqslant 1.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-003

Різні додатні числа та цілі значення коренів сум

Нехай x1,x2,…,x2023x_1, x_2, \ldots, x_{2023} — це попарно різні додатні дійсні числа, такі що число an=(x1+x2+…+xn)(1x1+…+1xn)a_n = \sqrt{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n)\left(\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}\right)} є цілим для всіх n=1,2023‾n = \overline{1, 2023}. Доведіть, що a2023⩾3034a_{2023} \geqslant 3034.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-004

Шлях ніндзя з найменшою кількістю сірих кружків

Дано натуральне число nn. Японський трикутник складається з 1+2+…+n1 + 2 + \ldots + n кружків, розташованих у формі рівностороннього трикутника так, що для кожного i=1,n‾i = \overline{1, n} ii-й рядок містить ii кружків та рівно один із них пофарбовано сірим кольором. Шляхом ніндзя в японському трикутнику назвемо довільну послідовність із nn кружків, яку отримано в такий спосіб: починаємо з єдиного кружка у верхньому рядку та послідовно спускаємося з нього до одного з двох кружків, що знаходяться одразу під даним, та закінчуємо кружком у нижньому рядку. На рис. 6.1 зображено приклад японського трикутника для n=6n = 6 разом із прикладом шляху ніндзя для цього трикутника, який містить два сірих кружки. Знайдіть залежно від nn найбільше натуральне kk таке, щоб у довільному японському трикутнику існував шлях ніндзя, який містить найменшу кількість kk сірих кружків.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2023-005

Перетин описаних кіл трикутників AA1A2, BB1B2 і CC1C2

Дано рівносторонній трикутник ABCABC. Точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 — внутрішні точки трикутника ABCABC такі, що BA1=A1CBA_1 = A_1C, CB1=B1ACB_1 = B_1A, AC1=C1BAC_1 = C_1B та ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C + \angle CB_1A + \angle AC_1B = 480^\circ. Нехай прямі BC1BC_1 та CB1CB_1 перетинаються в точці A2A_2, прямі CA1CA_1 та AC1AC_1 перетинаються в точці B2B_2, а прямі AB1AB_1 та BA1BA_1 перетинаються в точці C2C_2. Доведіть, що коли трикутник A1B1C1A_1B_1C_1 різносторонній, то перетином описаних кіл трикутників AA1A2AA_1A_2, BB1B2BB_1B_2 та CC1C2CC_1C_2 є рівно дві точки.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-001

Ряд монет двох типів і перші n монет

Ощадбанк Осло випускає монети двох типів: алюмінієві (їх позначають як AA) та бронзові (їх позначають як BB). У Михайлини є nn алюмінієвих та nn бронзових монет, які деяким чином викладено в рядок. Ланцюжком назвемо будь-яку послідовну групу монет одного типу. Для фіксованого натурального числа k⩽2nk \leqslant 2n Михайлина повторює таку операцію: вона вибирає найдовший ланцюжок, що містить kk-ту монету зліва, і переміщує всі монети із цього ланцюжка до лівого краю рядка. Наприклад, процес для n=k=4n = k = 4, починаючи з рядка AABBBABA, мав би вигляд AABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA. Знайдіть усі такі пари натуральних чисел (n,k)(n, k) з 1⩽k⩽2n1 \leqslant k \leqslant 2n, що для довільного можливого початкового розташування монет у рядок, у деякий момент перші nn монет будуть одного типу.
10–11 класиНапівінваріанти
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-002

Функції з єдиним y для нерівності

Нехай R+=(0,+∞)\mathbb{R}^{+} = (0, +\infty). Знайдіть усі такі функції f:R+→R+f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}, що для всіх чисел x∈R+x \in \mathbb{R}^{+} існує єдине число y∈R+y \in \mathbb{R}^{+}, для якого справджується нерівність xf(y)+yf(x)⩽2.xf(y) + yf(x) \leqslant 2.
10–11 класиНерівність Коші
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-003

Розставлення непарних простих чисел по колу

Задано натуральне число kk та скінченну множину SS, що складається з непарних простих чисел. Доведіть, що існує не більше ніж один спосіб (з точністю до поворотів та симетрій) розставити всі елементи множини SS по колу таким чином, щоб добуток довільних двох сусідніх чисел можна було подати у вигляді x2+x+kx^2 + x + k для деякого натурального числа xx.
10–11 класиМетод математичної індукції
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-004

Чотири точки перетину в опуклому п’ятикутнику на колі

Дано опуклий п’ятикутник ABCDEABCDE, у якому BC=DEBC = DE. Нехай усередині п’ятикутника ABCDEABCDE знайшлася така точка TT, що TB=TDTB = TD, TC=TETC = TE та ∠ABT=∠TEA\angle ABT = \angle TEA. Нехай пряма ABAB перетинає прямі CDCD і CTCT у точках PP та QQ відповідно. Припустимо, що точки PP, BB, AA, QQ лежать на прямій ABAB у вказаному порядку. Нехай пряма AEAE перетинає прямі CDCD і DTDT у точках RR та SS відповідно. Припустимо, що точки RR, EE, AA, SS лежать на прямій AEAE в цьому порядку. Доведіть, що точки PP, SS, QQ, RR лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-005

Трійки зі степенем, факторіалом і простим числом

Знайдіть усі трійки (a,b,p)(a, b, p) натуральних чисел, де pp є простим числом і справджується рівність ap=b!+p.a^p = b! + p.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-006

Мінімальна кількість зльотів у байрактарському квадраті

Дано натуральне число nn. Дошку розміром n×nn \times n, у клітинках якої записано по одному числу, назвемо байрактарським квадратом, якщо вона містить усі натуральні числа від 11 до n2n^2. Дві різні клітинки вважатимемо сусідніми, якщо у них є спільна сторона. Назвемо клітинку днищем, якщо число в кожній сусідній до неї клітинці більше за число в цій клітинці. Назвемо зльотом таку послідовність з однієї чи більшої кількості клітинок, у якій: а) перша клітинка послідовності є днищем; б) кожна наступна клітинка послідовності є сусідньою до попередньої; в) числа в клітинках послідовності йдуть у порядку зростання. Знайдіть як функцію від nn мінімальну можливу кількість зльотів у байрактарському квадраті.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-001

Поділ чисел від n до 2n на дві купки

Нехай дано натуральне число n⩾100n \geqslant 100. Іван записав на окремих картках числа nn, n+1n + 1, n+2n + 2, …\ldots, 2n2n. Він тасує ці n+1n + 1 картку та ділить їх на дві купки. Доведіть, що принаймні одна з тих купок містить дві картки такі, що сума чисел на цих картках є квадратом цілого числа.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-002

Нерівність з сумами коренів з модулів сум і різниць

Доведіть, що нерівність ∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣⩽∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|} справджується для довільних дійсних x1,…,xnx_1, \ldots, x_n.
10–11 класиІнші класичні нерівності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.