Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

80 задач
ГеометріяТеорема Менелая
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-108

Поділ відрізка AT симедіаною трикутника PBC

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC з основою ACAC, PP — довільна точка на цій основі, TT — проєкція точки PP на сторону BCBC. У якому відношенні симедіана трикутника PBCPBC, проведена з вершини CC, ділить відрізок ATAT? Примітка. Симедіаною трикутника PBCPBC назвемо відрізок CSCS, S∈BPS \in BP, такий, що промінь CSCS є симетричним променеві медіани CFCF відносно променю бісектриси CLCL.
10 класАнтипаралельні прямі
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-122

Дотичні кола трикутника та колінеарність трьох точок

Задано трикутник ABCABC. Коло ww із центром у точці QQ дотикається до сторони BCBC, а також дотикається внутрішнім чином до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA. Нехай MM — середина сторони BCBC, а NN — середина дуги BACBAC описаного кола трикутника ABCABC. На відрізку BCBC вибрано таку точку SS, що ∠BAM=∠SAC\angle BAM = \angle SAC. Доведіть, що точки NN, QQ та SS лежать на одній прямій.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-079

Пряма через центр правильного трикутника та симетричні точки

Пряма, що проходить через центр правильного трикутника ABCABC, перетинає прямі ABAB, BCBC і CACA в точках C1C_1, A1A_1 і B1B_1 відповідно. Нехай A2A_2 — точка, що симетрична A1A_1 відносно середини BCBC; точки B2B_2 і C2C_2 визначаються аналогічно. Доведіть, що точки A2A_2, B2B_2 і C2C_2 лежать на одній прямій, яка дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC.
11 класТеорема Менелая
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-030

Вписане коло, дотична та прямий кут

Вписане в трикутник ABCABC коло ω\omega дотикається до його сторін BCBC, CACA та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Пряма, що проходить через точку AA та не проходить через точку DD, перетинає дугу EFEF у точці TT. Дотична до кола ω\omega у точці TT перетинає EFEF у точці PP, а пряма, що проходить через точку PP паралельно ABAB, перетинає ATAT у точці HH. Доведіть, що ∠HEF=90∘\angle HEF = 90^\circ.
11 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-101

Бісектриси кутів трикутника і точки на прямій NK

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до його сторін ABAB, BCBC і ACAC у точках NN, KK, PP відповідно. Відомо, що AB>BCAB > BC, а бісектриси кутів AA і CC перетинають пряму NKNK у точках QQ і TT відповідно. Позначимо через SS точку перетину прямих AQAQ і TPTP, а через FF — точку перетину прямих CTCT і PQPQ. Доведіть, що прямі NKNK, SFSF і ACAC перетинаються в одній точці.
10 класТеорема Менелая
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-026

Бісектриса кута KJH і інцентр трикутника OCB

Задано рівнобедрений трикутник OCBOCB з вершиною OO, коло w=S(O,OB)w = S(O, OB). Дотичні до цього кола в точках BB і CC перетинаються в точці AA. Розглянемо коло w1w_1, що розташоване всередині трикутника ABCABC і дотикається до кола ww та сторони ACAC у точці HH. Коло w2w_2 також розташоване всередині трикутника ABCABC і дотикається до кола ww та кола w1w_1 у точці JJ та до сторони ABAB у точці KK. Доведіть, що бісектриса кута KJHKJH проходить через інцентр трикутника OCBOCB.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-106

Дотична, січна, бісектриса і сторони трикутника ABC

Через точку FF, що розташована поза колом kk, провели до цього кола дотичну FAFA та січну FBFB, яка перетинає kk в точках BB і CC (CC лежить між FF і BB). Через точку CC провели дотичну до кола kk, яка перетнула відрізок FAFA в точці EE. Відрізок FXFX — бісектриса трикутника AFCAFC. Виявилось, що точки EE, XX та BB лежать на одній прямій. Доведіть, що добуток довжин двох сторін трикутника ABCABC дорівнює квадрату довжини третьої сторони.
10 класТеорема Менелая
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-113

Перетин прямих CI, FG і AD у трапеції

Дано трапецію ABCDABCD з основами ADAD і BCBC. На бічній стороні CDCD довільно відмітили точку FF, EE — точка перетину прямих AFAF і BDBD. На бічній стороні ABAB відмітили точку GG так, що EG∥ADEG \parallel AD. Позначимо через HH точку перетину прямих CGCG і BDBD, через II — точку перетину прямих FHFH і ABAB. Доведіть, що прямі CICI, FGFG і ADAD перетинаються в одній точці.
11 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-109

Кут BAC у трикутнику з серединами відрізків

У трикутнику ABCABC, у якого AC>BC>ABAC > BC > AB, на сторонах BCBC та ACAC вибрали точки DD і KK відповідно так, що CD=ABCD = AB, AK=BCAK = BC. Точки FF та LL — середини відрізків BDBD та KCKC відповідно. Точки RR і SS — середини сторін ACAC та ABAB відповідно. Відрізки SLSL та FRFR перетинаються в точці OO, при цьому ∠SOF=55∘\angle SOF = 55^\circ. Знайдіть градусну міру кута BACBAC.
10 класТеорема Менелая
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-030

Перпендикуляр до бісектриси через точку на медіані

Нехай у трикутнику ABCABC AB>ACAB > AC, AMAM — медіана, AKAK — бісектриса. Точка LL на прямій AMAM така, що KL∥ACKL \parallel AC. Доведіть, що CL⊥AKCL \perp AK.
10 класТеорема Менелая
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-037

Основи перпендикулярів з точки на BC до PT

В трикутнику ABCABC на стороні BCBC взята точка X∉{B,C}X \notin \{B, C\}. На відрізку AXAX взята точка MM та проведені прямі BMBM і CMCM до перетину із сторонами ABAB і ACAC в точках PP і TT відповідно. З точки XX на TPTP опустили перпендикуляр. Знайти геометричне місце точок, основ цих перпендикулярів.
10 класТеорема Чеви
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-059

Основи перпендикулярів з точки X до прямих PT

В трикутнику ABCABC на стороні BCBC взята точка X∉{B,C}X \notin \{B, C\}. На відрізку AXAX взята точка MM та проведені прямі BMBM і CMCM до перетину із сторонами ABAB і ACAC в точках PP і TT відповідно. З точки XX на TPTP опустили перпендикуляр. Знайти геометричне місце точок, основ цих перпендикулярів.
11 класТеорема Менелая
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-03-04-103

Трикутник із вписаним колом та площі многокутників

Коло, вписане в трикутник ABCABC, дотикається до його сторін ABAB, BCBC і CACA в точках LL, NN і EE відповідно. Пряма LELE перетинає пряму BCBC в точці HH, пряма LNLN перетинає пряму ACAC в точці JJ (точки HH, JJ, NN, EE лежать в одній півплощині відносно прямої ABAB). Через OO і PP позначимо середини відрізків EJEJ і NHNH відповідно. Відомо, що S(ABOP)=u2S(ABOP)=u^2 та S(COP)=v2S(COP)=v^2. Знайдіть S(HJNE)S(HJNE). (Тут S(F)S(F) позначає площу многокутника FF.)
11 класТеорема Менелая
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-094

Рухома точка X на стороні BC і прямі YZ

На стороні BCBC трикутника ABCABC вибрано деяку рухому точку XX. Точки B′B' та C′C' вибрано на променях XBXB та XCXC відповідно таким чином, що B′X=BC=C′XB'X = BC = C'X. Пряма, що проходить через точку XX паралельно прямій AB′AB', перетинає пряму ACAC у точці YY, а пряма, що проходить через точку XX паралельно прямій AC′AC', перетинає пряму ABAB у точці ZZ. Доведіть, що всі прямі YZYZ проходять через деяку фіксовану точку під час руху точки XX уздовж сторони BCBC.
9 класТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-083

Трикутник, дотичне коло і перетин трьох прямих

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому AC>ABAC > AB. Коло ω\omega дотикається до сторін ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно, а також перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках KK та LL. Точки XX та YY вибрано на сторонах ABAB та ACAC відповідно таким чином, що AXAB=CEBD+CE,AYAC=BDBD+CE.\frac{AX}{AB} = \frac{CE}{BD + CE}, \quad \frac{AY}{AC} = \frac{BD}{BD + CE}. Доведіть, що прямі XYXY, BCBC та KLKL перетинаються в одній точці.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-004

Подвоєні сторони трикутника та відношення AC : CP

У даному трикутнику ABCABC на променях ABAB і BCBC вибрано такі точки KK і LL відповідно, що AB=BKAB = BK і BC=CLBC = CL. Нехай PP — точка перетину прямих KLKL і ACAC. Знайдіть відношення AC:CPAC : CP.
7–8 класиТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-119

Перпендикулярні чевіани трикутника і кут FDE

Нехай PP — точка всередині трикутника ABCABC, прямі APAP, BPBP і CPCP перетинають сторони BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках DD, EE і FF. Нехай QQ — точка на промені BEBE така, що E∈BQE \in BQ і ∠EDQ=∠FDB\angle EDQ = \angle FDB. Нехай BE⊥ADBE \perp AD і DQ=2BDDQ = 2BD. Доведіть, що ∠FDE=60∘\angle FDE = 60^\circ.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Київський турнір математичних боївKMB-19-20-088

L і M на основі трапеції та бісектриса кута

Діагоналі трапеції ABCDABCD з основами AD∥BCAD \parallel BC перетинаються в точці KK. На прямій ADAD відмічено точки LL, MM так, що вони йдуть у порядку LL, AA, DD, MM, а також AL=AKAL = AK, DM=DKDM = DK. Доведіть, що прямі CLCL та BMBM перетинаються на бісектрисі кута BKCBKC.
9 класТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-116

Дотики вписаного кола, пряма DE і середина AB

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Коло, що проходить через вершини AA і BB та містить усередині трикутник ABCABC, перетинає пряму DEDE в точках PP та QQ. Доведіть, що середина відрізка ABAB лежить на описаному колі трикутника PQFPQF.
9 класТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-118

Чотирикутник з рівними сторонами та пряма через середини діагоналей

У чотирикутнику ABCDABCD сторони ADAD та BCBC рівні. Точка NN — середина діагоналі ACAC, точка MM — середина діагоналі BDBD. Пряма MNMN перетинає сторони ADAD і BCBC у точках KK та HH відповідно. Доведіть, що KA=HCKA = HC.
9 класТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-237

Січна, перпендикулярна до OA, і кола трикутників MNP

Нерівнобедрений трикутник ABCABC вписано в коло із центром у точці OO. Пряма ll, що перпендикулярна до OAOA, перетинає промені ABAB і ACAC у точках MM і NN відповідно. Прямі BNBN і CMCM перетинаються в точці KK, а прямі AKAK і BCBC — у точці PP. Доведіть, що при довільному виборі прямої ll описані кола трикутників MNPMNP проходять через фіксовану точку.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-12-13-189

Прямі через вершини, точки Фейєрбаха та інцентр

Нехай FF, FAF_A, FBF_B і FCF_C — точки Фейєрбаха нерівностороннього трикутника ABCABC, а точка II — його інцентр. Доведіть, що прямі AFAAF_A, BFBBF_B, CFCCF_C та IFIF проходять через одну точку. Точки Фейєрбаха — це місця дотику кола дев’яти точок до вписаного (дотик внутрішнім чином) і трьох зовнівписаних (дотик зовнішнім чином) кіл трикутника: FF — точка дотику до вписаного кола, FAF_A — точка дотику до зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BCBC, FBF_B — точка дотику до зовнівписаного кола, що дотикається до ACAC, FCF_C — точка дотику до зовнівписаного кола, яке дотикається до ABAB. Коло дев’яти точок — це коло, що проходить через середини сторін трикутника.
10–11 класиТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-201

Дотичні кола в трикутнику і прямі AD, BE, CF

У трикутнику ABCABC містяться три кола ωA\omega_A, ωB\omega_B та ωC\omega_C, що попарно дотикаються зовнішнім чином: ωB\omega_B та ωC\omega_C дотикаються в точці DD, ωC\omega_C та ωA\omega_A дотикаються в точці EE, а ωA\omega_A та ωB\omega_B — у точці FF. При цьому коло ωA\omega_A дотикається до сторін ABAB й ACAC, коло ωB\omega_B дотикається до сторін BABA й BCBC, а коло ωC\omega_C — до сторін CACA й CBCB трикутника. Доведіть, що прямі ADAD, BEBE та CFCF перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-209

Бісектриса, чевіани і кут LMN

У трикутнику ABCABC LL, MM та NN — внутрішні точки сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Відомо, що ALAL — бісектриса трикутника, ∠AMN=∠ALB\angle AMN = \angle ALB, а прямі ALAL, BMBM і CNCN перетинаються в одній точці. Доведіть, що ∠LMN=90∘\angle LMN = 90^\circ.
10–11 класиТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-220

Дотична до вписаного кола через середину і точку перетину

Уписане коло ω\omega трикутника ABCABC дотикається до сторін ABAB і ACAC трикутника в точках C′C' і B′B' відповідно. Прямі B′C′B'C' і BCBC перетинаються в деякій точці TT. PP та QQ — такі внутрішні точки сторін ABAB та ACAC відповідно, що відрізок PQPQ паралельний до BCBC і дотикається до кола ω\omega. Точка MM — середина PQPQ. Доведіть, що відрізок MTMT також дотикається до ω\omega.
10–11 класиВписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.