Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-003

Шість вершин трикутників, утворених прямими з рівними кутами

Задано гострокутний трикутник ABCABC. На стороні BCBC вибрано точку A1A_1 та точку A2A_2 — на відрізку A1CA_1C; на стороні ACAC вибрано точку B1B_1 та точку B2B_2 — на відрізку B1AB_1A; на стороні ABAB вибрано точку C1C_1 та точку C2C_2 — на відрізку C1BC_1B, таким чином, що справджується рівність: ∠AA1A2=∠AA2A1=∠BB1B2=∠BB2B1=∠CC1C2=∠CC2C1.\angle AA_1A_2 = \angle AA_2A_1 = \angle BB_1B_2 = \angle BB_2B_1 = \angle CC_1C_2 = \angle CC_2C_1. Прямі AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1 утворюють перший трикутник, а прямі AA2AA_2, BB2BB_2 та CC2CC_2 — другий. Доведіть, що всі 66 вершин цих трикутників лежать на одному колі.
8 класТочка перетину висот
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-019

Два кола, що перетинаються, та дуга EF

Нехай γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2 — два кола на площині із центрами в точках AA і BB відповідно, а CC і DD — їхні точки перетину. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає γ1\gamma_1 у точці EE та γ2\gamma_2 у точці FF, і дуга EFEF, що не містить точку CC, лежить за межами області, обмеженої колами γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2. Доведіть, що ця дуга ділиться навпіл прямою CDCD.
9 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-027

Прямі X1Y1, X2Y2 та PQ у трикутнику

У трикутнику ABCABC на стороні BCBC вибрано точку PP, точки I1I_1 та I2I_2 — центри вписаних кіл трикутників ABPABP та APCAPC відповідно. Кола ω1\omega_1 та ω2\omega_2 мають центрами точки I1I_1 та I2I_2 відповідно та проходять через точку PP. Точка QQ — друга точка перетину кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2. X1X_1 та Y1Y_1 — точки перетину ω1\omega_1 із прямими ABAB та BCBC відповідно, які є ближчими до вершини BB. X2X_2 та Y2Y_2 — точки перетину ω2\omega_2 з прямими ACAC та BCBC відповідно, які є ближчими до вершини CC. Доведіть, що прямі X1Y1X_1Y_1, X2Y2X_2Y_2 та PQPQ перетинаються в одній точці.
10 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-015

Рівність для відрізків KA, KD і KE у трикутнику

У трикутнику ABCABC, у якого ∠ABC<∠BCA\angle ABC < \angle BCA, визначимо точку KK як перетин внутрішньої бісектриси кута BB та зовнішніх бісектрис кутів AA та CC у трикутнику ABCABC. Прямі AKAK та BCBC перетинаються в точці DD. Нехай точка EE — центр описаного кола трикутника BKCBKC. Доведіть, що справджується рівність: 1KA=1KD+1KE.\frac{1}{KA} = \frac{1}{KD} + \frac{1}{KE}.
8 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-022

Сума квадратів частин хорди кола квадрата

Навколо квадрата ABCDABCD із довжиною сторони 1010 описане коло kk. Через довільну точку MM на діагоналі ACAC проведемо пряму, паралельну стороні ABAB, яка перетинає коло kk у точках KK та LL. Знайдіть значення виразу KM2+ML2KM^2+ML^2.
10 класСиметрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-055

Відрізок HD і вписане коло трикутника BCP

Точка HH — точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC, ADAD — його висота. До кола із центром у точці AA та радіусом ADAD проведено дотичні з точок BB і CC, які не збігаються з прямою BCBC. Ці дотичні перетинаються в точці PP. Доведіть, що радіус вписаного кола трикутника BCPBCP дорівнює HDHD.
9 класДотична кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-067

Діаметр описаного кола, симетрія і перпендикуляри

Діаметр ADAD описаного кола трикутника ABCABC перетинає пряму BCBC у точці KK. Точку DD симетрично відобразили відносно точки KK і отримали точку LL. На прямій ABAB обрана така точка FF, що FL⊥ACFL \perp AC. Доведіть, що FK⊥ADFK \perp AD.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-051

Кут CDP для точки з кутами 30° у чотирикутнику

Усередині опуклого чотирикутника ABCDABCD обрано точку PP так, що ∠PAD=∠PAB=∠PBC=∠PCB=∠PDA=30∘\angle PAD=\angle PAB=\angle PBC=\angle PCB=\angle PDA=30^\circ. Доведіть, що ∠CDP=30∘\angle CDP=30^\circ.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-073

Спільні точки кіл трикутників AA1A2, BB1B2 і CC1C2

Точка A1A_1 усередині гострокутного трикутника ABCABC така, що ∠ACB=2∠A1BC\angle ACB=2\angle A_1BC та ∠ABC=2∠A1CB\angle ABC=2\angle A_1CB. Точки AA і A2A_2 лежать по різні боки відносно прямої BCBC, причому AA2⊥BCAA_2 \perp BC та серединний перпендикуляр до AA2AA_2 дотикається описаного кола трикутника ABCABC. Визначимо точки B1B_1, B2B_2, C1C_1, C2C_2 аналогічно. Доведіть, що описані кола трикутників AA1A2AA_1A_2, BB1B2BB_1B_2 та CC1C2CC_1C_2 перетинаються рівно у двох спільних точках.
10 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-075

Відрізок на бісектрисі кута вписаного чотирикутника

У вписаного в коло чотирикутника ABCDABCD сторони AB=7AB=7, BC=18BC=18. Бісектриса кута CDACDA перетинає сторону BCBC у точці EE, точка FF на відрізку DEDE задовольняє умову ∠AED=∠FCD\angle AED=\angle FCD. Знайдіть довжину відрізка DFDF, якщо відомо, що BE=5BE=5 та EF=3EF=3.
10 класОзнаки подібності
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-086

Середина сторони чотирикутника, прямий кут і рівність сторін

Задано чотирикутник ABCDABCD, у якому точка MM — середина сторони CDCD. Виявилось, що ∠BMA=90∘\angle BMA = 90^\circ і ∠MAB=∠CBD\angle MAB = \angle CBD. Доведіть, що AC=ABAC = AB.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-094

Рівність відрізків OD і OE в гострокутному трикутнику

На стороні ACAC гострокутного трикутника ABCABC вибрано довільні точки DD та EE. Описані кола трикутників BDCBDC та BEABEA перетинають сторони BABA та BCBC відповідно вдруге в точках FF та GG. Точка OO — центр описаного кола трикутника BFGBFG. Доведіть, що OD=OEOD = OE.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-106

Точка в трапеції з рівними кутами та два кола

Прямі ABAB та CDCD, що містять протилежні бічні сторони трапеції ABCDABCD, перетинаються в точці QQ. Усередині трапеції ABCDABCD вибрана така точка PP, що ∠APB=∠CPD\angle APB = \angle CPD. Доведіть, що описані кола трикутників BPDBPD та APCAPC вдруге перетинаються на прямій PQPQ.
11 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-092

Описані кола трикутників BCK і ABH

У рівнобедреному трикутнику ABCABC з AB=ACAB = AC провели висоту BKBK і відмітили точку перетину висот HH. На стороні ABAB вибрано точку, для якої AN=HNAN = HN. Доведіть, що описані кола трикутників BCKBCK і ABHABH мають спільну точку на прямій KNKN.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-098

Чотирикутник з двома прямими кутами і кут ANK

У чотирикутника ABCDABCD відомо, що ∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ. На промені ABAB за точку BB вибрали таку точку KK, що ∠AKD=∠ADB\angle AKD = \angle ADB. Точка LL — проєкція точки KK на пряму ADAD, а точка NN — проєкція точки DD на пряму CLCL. Знайдіть градусну міру кута ANKANK.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-105

Точка P в трикутнику і відрізки BH та PD

У гострокутному трикутнику ABCABC (AC>BCAC > BC) із висотою ADAD позначили такі точки: HH — ортоцентр, OO — центр описаного кола, KK — середина сторони ABAB. Усередині трикутника ADCADC є така точка PP, для якої справджується рівність: ∠KPD+∠ACB=2∠OPH=180∘\angle KPD + \angle ACB = 2\angle OPH = 180^\circ. Доведіть, що BH=2PDBH = 2PD.
10 класКоло Ейлера (коло 9 точок)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-111

Бісектриси BK і BL та пряма OD

Задано трикутник ABCABC, на стороні ACAC якого вибрали довільну точку DD. У трикутниках ABDABD та CBDCBD провели бісектриси BKBK та BLBL відповідно. Точка OO — центр описаного кола трикутника KBLKBL. Доведіть, що друга точка перетину описаних кіл трикутників ABLABL та CBKCBK лежить на прямій ODOD.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-013

Вписаний чотирикутник, бісектриси і пряма перетину кіл

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло ω\omega, BLBL і CNCN — бісектриси трикутників ABDABD та ACDACD відповідно. Кола, описані навколо трикутників ABLABL і CDNCDN, перетинаються в точках PP та QQ. Доведіть, що пряма PQPQ проходить через середину дуги ADAD кола ω\omega, що не містить точку BB.
9 класРадикальна вісь
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-025

Рівні хорди на колі та відрізки FD і FM

На заданому колі із центром у точці MM вибрано різні точки AA, BB, CC, що задовольняють умову AB=BCAB = BC. Точка DD лежить усередині кола так, що трикутник BCDBCD — рівносторонній. Другу точку перетину заданого кола та прямої ADAD позначимо через FF. Доведіть, що FD=FMFD = FM.
11 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-006

Вписаний чотирикутник та центри вписаних кіл

Для вписаного чотирикутника ABCDABCD позначимо через LL, MM центри вписаних кіл трикутників ABCABC, BCDBCD відповідно. Нехай RR — точка перетину перпендикулярів, проведених із точок LL, MM на діагоналях ACAC та BDBD відповідно. Доведіть, що трикутник LMRLMR рівнобедрений.
8 класТеорема про тризуб
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-021

Інцентр, ортоцентр та перетин кіл на вписаному колі

Точка II — інцентр нерівнобедреного трикутника ABCABC, DD, EE — точки дотику вписаного кола до сторін BCBC, CACA відповідно. Нехай точка HH — ортоцентр трикутника ABIABI, K=AI∩BHK = AI \cap BH та L=AH∩BIL = AH \cap BI. Покажіть, що описані кола трикутників DKHDKH та ELHELH перетинаються на вписаному колі трикутника ABCABC.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-011

Трикутник, два кола та діаметр описаного кола

У різносторонньому трикутнику ABCABC сторони AB<AC<BCAB < AC < BC, його описане коло позначено буквою Γ\Gamma. Нехай коло ω1\omega_1, що має центр у точці BB та радіус, який дорівнює довжині відрізка ACAC, і коло ω2\omega_2, що має центр у точці CC та радіус, який дорівнює довжині відрізка ABAB, перетинаються в точках DD та EE, котрі розташовані по різні боки від прямої BCBC. Точка DD лежить по той самий бік відносно сторони BCBC, що й точка AA. Точка FF — одна з точок перетину кіл Γ\Gamma та ω1\omega_1, що лежить по другий бік відносно прямої BCBC, ніж точка AA. Аналогічно точка GG — одна з точок перетину кіл Γ\Gamma та ω2\omega_2, що лежить по другий бік відносно прямої BCBC, ніж точка AA. Доведіть, що в разі, коли AKAK — діаметр кола Γ\Gamma, то точка KK — центр описаного кола трикутника EFGEFG.
8 класТочка перетину серединних перпенд…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-023

Дотичні кола на діаметрах сторін і перетин діагоналей

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD коло з діаметром ABAB дотикається до сторони CDCD, а коло з діаметром CDCD дотикається до сторони ABAB. Доведіть, що пряма, яка проходить через дві точки перетину цих кіл, проходить також через точку перетину діагоналей чотирикутника.
10 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-022

Точки дотику вписаного і зовнівписаного кіл та відрізок DE

Нехай PP, QQ, RR — точки дотику вписаного кола трикутника ABCABC до сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Зовнівписане коло трикутника ABCABC, що відповідає вершині AA, дотикається до сторони BCBC та до продовжень сторін ACAC та ABAB у точках SS, TT, UU відповідно. Точка II — інцентр трикутника ABCABC, D=PQ∩STD = PQ \cap ST, E=PR∩SUE = PR \cap SU. Знайдіть значення добутку 62⋅DE6\sqrt{2} \cdot DE, якщо AI=3AI = 3, IP=1IP = 1 та PS=2PS = 2.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-026

Вписане коло, висота та добуток відрізків сторони

Коло ω\omega, вписане в гострокутний трикутник ABCABC, дотикається до сторін BCBC та CACA в точках DD та EE відповідно. На висоті AHAH вибрано таку точку XX, що коло ω′\omega' з діаметром AXAX дотикається до кола ω\omega. Позначимо через UU та VV другі точки перетину кола ω′\omega' зі сторонами ACAC та ABAB відповідно. Знаючи, що UV=12UV = 12, AX=15AX = 15 та AE=24AE = 24, знайдіть значення виразу BD⋅DCBD \cdot DC.
11 класКола, що дотикаються

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.