Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-024

Послідовність цілих чисел, задана рекурентно

Послідовність цілих чисел g(n)g(n), n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \ldots задається такими умовами: g(0)=0,g(n)=n−g(g(n−1)),n=1,2,…g(0) = 0, \quad g(n) = n - g(g(n-1)), \quad n = 1, 2, \ldots Доведіть, що: а) для кожного натурального kk справджується нерівність g(k)⩾g(k−1)g(k) \geqslant g(k-1); б) не існує такого натурального kk, для якого g(k+1)=g(k)=g(k−1)g(k+1) = g(k) = g(k-1).
10 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-029

Значення n для нерівності з циклічними добутками

З'ясуйте, для яких натуральних n⩾3n\geqslant3 нерівність (x1+x2+…+xn)2⩾4(x1x2+x2x3+…+xn−1xn+xnx1)(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2\geqslant4\left(x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_n+x_nx_1\right) справджується для довільних додатних чисел x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n.
11 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-058

Найбільший простий дільник дробу з факторіалами

На яке найбільше просте число ділиться натуральне число 2+2⋅2!+3⋅3!+4⋅4!+…+2023⋅2023!2022!?\frac{2+2\cdot2!+3\cdot3!+4\cdot4!+\ldots+2023\cdot2023!}{2022!}? Символом n!n! позначено добуток усіх натуральних чисел від 11 до nn.
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-070

Скорочення дробів у послідовності з додаванням

Послідовність (an)(a_n) будуємо таким чином: a1=1011a_1=\dfrac{10}{11}; якщо дріб an=pqa_n=\dfrac{p}{q} — нескоротний, то an+1a_{n+1} — це дріб p+2q+3\dfrac{p+2}{q+3} після того, як він стане нескоротним. Тобто ми маємо, що a2=10+211+3=1214=67a_2=\dfrac{10+2}{11+3}=\dfrac{12}{14}=\dfrac{6}{7}, a3=6+27+3=810=45a_3=\dfrac{6+2}{7+3}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}, …. Визначте, чи існує найбільший індекс nn, для якого член послідовності ana_n будується скороченням відповідного дробу p+2q+3\dfrac{p+2}{q+3}.
10 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-064

Кількість розташувань карток 1–10 з умовою на сусіда справа

Петрик має 1010 карток, пронумерованих числами 1,2,…,101, 2, \ldots, 10. Він хоче скласти їх у рядок зліва направо, дотримуючись таких умов: якщо картка з номером kk лежить на певній позиції, то праворуч від неї може бути розташована картка з номером, більшим за kk, або картка з номером k−1k-1. Скільки таких різних розташувань карток існує?
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-104

Рядок із чисел 2 і -1 з нульовими сумами

У рядок у деякому порядку виписані 10001000 чисел 22 та 20002000 чисел −1-1. Михайло порахував кількість груп сусідніх чисел, що складаються не менше ніж із двох чисел, сума чисел у яких дорівнює 00. а) Знайдіть найменше можливе значення цієї кількості. б) Знайдіть найбільше можливе значення цієї кількості.
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-003

Числа m взаємно прості з усіма членами послідовності

Послідовність натуральних чисел a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \ldots задовольняє такі умови: a0=3a_0 = 3 та an+1−an=n(an−1)a_{n+1} - a_n = n(a_n - 1) для всіх n⩾0n \geqslant 0. Знайдіть усі такі натуральні mm, для яких (m,an)=1(m, a_n) = 1 (тобто НСД) при всіх n⩾0n \geqslant 0.
8 класТеорема Вільсона
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-004

Множина цілих чисел і числа 3 та 2021

Множина MM, що складається з деяких цілих чисел, задовольняє такі умови: - 1∈M1 \in M; - якщо x,y∈Mx, y \in M (не обов’язково x≠yx \neq y), то 2x+3y∈M2x + 3y \in M; - якщо цілі числа xx, yy такі, що 4x−3y∈M4x - 3y \in M, то xy∈Mxy \in M (самі числа xx, yy не обов’язково мають належати множині MM). Чи обов’язково належить множині MM число: а) 33; б) 20212021?
8 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-019

Послідовності від 1 до n і сума сталих чисел

Нехай nn — деяке натуральне число. Розглянемо послідовності чисел a0,a1,…,aka_0, a_1, \ldots, a_k та b0,b1,…,bkb_0, b_1, \ldots, b_k, що задовольняють такі умови: a0=b0=1a_0 = b_0 = 1, ak=bk=na_k = b_k = n, для кожного ii від 11 до kk пара чисел (ai,bi)(a_i, b_i) дорівнює або парі (1+ai−1,bi−1)\left(1 + a_{i-1}, b_{i-1}\right), або парі (ai−1,1+bi−1)\left(a_{i-1}, 1 + b_{i-1}\right). Розглянемо для кожного ii від 11 до kk послідовність ci={ai, якщо ai=ai−1;bi, якщо bi=bi−1.c_i = \begin{cases} a_i, \text{ якщо } a_i = a_{i-1}; \\ b_i, \text{ якщо } b_i = b_{i-1}. \end{cases} Чому дорівнює сума c1+c2+…+ckc_1 + c_2 + \ldots + c_k? У відповіді запишіть значення виразу при n=100n = 100.
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-028

Функція з рівністю через простий дільник та значення виразу

Функція f:N→Rf : \mathbb{N} \to \mathbb{R} задовольняє таку умову: для кожного натурального n>1n > 1 існує такий простий дільник pp числа nn, що справджується рівність f(n)=f(np)−f(p)f(n) = f\left(\dfrac{n}{p}\right) - f(p). Відомо також, що f(22014)+f(32015)+f(52016)=2013f(2^{2014}) + f(3^{2015}) + f(5^{2016}) = 2013. Чому може дорівнювати значення виразу 3(f(20142)+f(20153)+f(20165))?3\bigl(f(2014^2) + f(2015^3) + f(2016^5)\bigr)?
11 класБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-072

Стіс зошитів і повернення на k-те місце

Дано n⩾1n \geqslant 1 зошитів, пронумерованих числами від 11 до nn. Їх склали у стіс. Після цього Захар навмання вибирає зошит, номер kk якого не відповідає номеру його місця розташування в цьому стосі, якщо рахувати зверху донизу, і повертає його на kk-ту позицію, рахуючи зверху та не міняючи місця розташування інших зошитів. Чи обов’язково Захар розставить усі зошити в порядку зростання номерів, якщо рахувати зверху донизу?
10 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-084

Пари для танців за списками з першим номером

У табір приїхали nn хлопців та nn дівчат. Для танців треба сформувати nn пар з одного хлопця та однієї дівчини. Кожна дівчина складає список, який містить першим номером того хлопця, з ким ця дівчина найбільше б хотіла танцювати, а далі йдуть імена тих, з ким вона була б не проти танцювати. Загалом у кожному списку був принаймні один хлопець. Виявилося, що вдалося сформувати пари таким чином, що кожна дівчина танцює із хлопцем зі свого списку. Покажіть, що можна сформувати nn пар для танців таким чином, щоб кожна дівчина танцювала із хлопцем зі свого списку та принаймні одна з них танцювала б із тим, з ким вона хотіла танцювати найбільше.
11 класМетод математичної індукції
Відбір команди Закарпатської області до Всеукраїнської олімпіадиZSEL-23-24-010

Найбільший дільник суми n-х степенів трьох послідовних чисел

Для натурального числа nn позначимо через DnD_n найбільше ціле число, що є дільником числа an+(a+1)n+(a+2)na^n+(a+1)^n+(a+2)^n, де aa — довільне натуральне число. Покажіть, що для довільного цілого невід’ємного kk існує натуральне nn, для якого справджується рівність Dn=3kD_n=3^k.
11 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-039

Різниці членів послідовності з квадратними сумами сусідів

Нехай для цілого числа n⩾0n \geqslant 0 послідовність цілих чисел a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \ldots визначається таким чином: a0=na_0 = n та ∀k∈N\forall k \in \mathbb{N} aka_k — це найменше ціле число, яке більше за число ak−1a_{k-1} та для якого сума ak+ak−1a_k + a_{k-1} є квадратом цілого числа. Доведіть, що існує рівно [2n]\left[\sqrt{2n}\right] натуральних чисел, які не можна записати у вигляді різниці ak−ala_k - a_l, де k>l⩾0k > l \geqslant 0. Примітка. Тут через [a][a] позначено цілу частину дійсного числа aa, тобто найбільше ціле число, що не перевищує числа aa.
11 класПослідовності (інші властивості)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-034

Зв’язний граф з 2016 міст та незалежна роз’єднувальна множина

У країні є 20162016 міст, між kk парами міст установлено авіарейси в обох напрямках таким чином, що від будь-якого міста можна дістатися до будь-якого іншого, можливо, через декілька проміжних міст. Для якого максимального значення kk ми завжди зможемо вибрати деяку кількість міст, жодні два з яких не мають прямого сполучення, та прибрати всі рейси, що проходять через ці міста, при цьому виявиться, що існують деякі два міста, такі що не були вибраними та від одного не має можливості дістатися до іншого?
10 класЗв’язність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-045

Послідовність з умовою на суми та її 2015-й член

Нехай послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задано таким чином: a1=1a_1 = 1; для всіх n⩾1n \geqslant 1 an+1a_{n+1} — найменше натуральне число, більше за число ana_n і таке, що для довільних значень індексів ii, jj, kk від 11 до n+1n + 1 сума ai+aj≠3aka_i + a_j \ne 3a_k. Знайдіть член послідовності a2015a_{2015}.
11 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-052

Послідовні числа x + 3^y і y + 3^x

Знайдіть усі пари цілих невід’ємних чисел x⩾yx \geqslant y, для яких числа x+3yx + 3^y та y+3xy + 3^x є двома послідовними цілими числами.
9 класМетод оцінок, що веде до малого п…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-088

Найбільша кількість витончених пар n чисел

Дано n⩾2n \geqslant 2 попарно різних натуральних чисел. Назвемо пару чисел витонченою, якщо їх сума є натуральним степенем двійки. Знайдіть для кожного nn найбільшу можливу кількість витончених пар чисел.
9 класДерева
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-095

Найбільша кількість різних степенів двійки в різницях

Дано n⩾2n \geqslant 2 попарно різних натуральних чисел. Для кожної пари a<ba < b цих чисел розглядається різниця b−ab - a. Для кожної із цих різниць Влада записує степінь входження двійки в неї. Яку найбільшу кількість різних чисел могла виписати Влада?
10 класФункція vₚ(n) та її властивості
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-031

Числа 1–3000 по колу і число напроти 2023

Числа 1,2,3,…,30001, 2, 3, \ldots, 3000 рівномірно записано по колу в деякому порядку так, що вони парами стоять одне напроти іншого. Відомо, що для кожного числа nn серед 14991499 чисел, які йдуть одразу за ним за рухом годинникової стрілки, та серед 14991499 чисел, які йдуть одразу за ним проти руху годинникової стрілки, однакова кількість чисел, менших від nn. Яке число стоїть напроти числа 20232023?
9 класПарність і непарність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-033

Зростаючі кортежі натуральних чисел з цілою часткою

Для заданого натурального nn знайдіть усі кортежі натуральних чисел (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n), де a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n, такі, що для довільного натурального dd є цілим число (a1+d)(a2+d)…(an+d)a1a2…an.\frac{(a_1+d)(a_2+d)\ldots(a_n+d)}{a_1a_2\ldots a_n}.
11 класАрифметика остач (базові властиво…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-021

Мультиплікативна функція на сумах квадратів

Нехай функція f:N→Nf:\mathbb{N}\to\mathbb{N} задовольняє такі умови: - f(mn)=f(m)f(n)f(mn)=f(m)f(n) для взаємно простих чисел mm, nn; - f(4)=4f(4)=4 і f(m2+n2)=f(m2)+f(n2)f(m^2+n^2)=f(m^2)+f(n^2) для довільних натуральних чисел mm, nn. Доведіть, що для кожного натурального mm справджується рівність f(m2)=m2f(m^2)=m^2.
9 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-028

Найбільша кількість подільних пар за циклічної неподільності

Нехай mm, nn — натуральні числа, множини A1,A2,…,AmA_1, A_2, \ldots, A_m — nn-елементні та містять попарно різні натуральні числа такі, що не існує числа в множині AiA_i, яке ділиться націло на число з множини Ai+1A_{i+1} (Am+1≡A1)(A_{m+1} \equiv A_1). Знайдіть найбільшу можливу кількість упорядкованих пар чисел (a,b)(a, b), де aa, bb належать до різних множин AiA_i, i=1,m‾i = \overline{1, m}, та b⋮ab \vdots a.
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-018

1010 коробок з половиною червоних і синіх м’ячів

У 20192019 прозорих коробках лежать червоні та сині м’ячі. Необхідно вибрати 10101010 коробок таким чином, щоб разом вони містили щонайменше половину червоних і половину синіх м’ячів, що знаходяться в 20192019 коробках. Чи можна зробити такий вибір незалежно від кількості м’ячів та їхнього розподілу по коробках?
9 класКонструкція за індукцією
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-111

Дільники чисел, перегруповані в набори дільників

Нехай a1<a2<…<aka_1 < a_2 < \ldots < a_k — деякі натуральні числа. Для кожного aia_i Заріна виписала в зошит усі натуральні дільники aia_i (деякі числа можуть повторюватися). Далі Маруся розбила всі виписані Заріною числа на декілька груп. Виявилося, що числа в кожній із груп утворюють повний набір дільників деякого числа, які Маруся вирішила потім виписати на дошку. Доведіть, що на дошці виписано числа a1,a2,…,aka_1, a_2, \ldots, a_k.
11 класМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.