Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

294 задачі
КомбінаторикаСиметрія та розбиття на пари
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-032

Хто переможе в грі з купками монет

Альберт і Барбара грають у таку гру: спочатку на столі лежить 40484048 купок монет, що містять відповідно 1,1,…,1⏟2024,2,3,4,…,2025\underbrace{1, 1, \ldots, 1}_{2024}, 2, 3, 4, \ldots, 2025 монет. Гравці роблять ходи по черзі, і розпочинає Альберт. Кожен гравець робить один з таких можливих ходів: - забирає 11 монету з будь-якої купки; - ділить довільну купку на дві купки, у кожній з яких має бути принаймні 11 монета. Перемагає той, хто забере зі стола останню монету. З'ясуйте, хто може перемогти в цій грі, якщо кожний прагне перемогти.
11 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-002

Гра з викладанням фішок у вершини восьмикутника

У Петрика та Даринки на двох є 88 фішок — по 22 червоні, чорні, блакитні та жовті. Вони їх по черзі викладають у вершини восьмикутника (рис. 1.1). Починає Петрик. Своїм ходом кожен може взяти будь-яку ще не викладену фішку і покласти в ще не зайняту вершину. Чи зможе Даринка домогтися того, щоб серед кожних чотирьох фішок, розташованих поспіль, обов'язково було по одній фішці кожного кольору?
6 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-021

Сума різниць цифр усіх двоцифрових чисел

Петрик для кожного двоцифрового числа записав різницю між першою та другою цифрою, наприклад, для числа 2121 записав 2−1=12-1=1, а для числа 3737 записав 3−7=−43-7=-4. Після цього всі записані числа він додав. Яку суму він отримав?
10 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-025

Сума різниць першої та третьої цифр трицифрових чисел

Петрик для кожного трицифрового числа записав різницю між першою та третьою цифрою, наприклад, для числа 261261 записав 2−1=12-1=1, а для числа 317317 записав 3−7=−43-7=-4. Після цього всі записані числа він додав. Яку суму він отримав?
11 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-077

Гра зі стиранням чисел до суми-квадрата

На дошці виписано всі натуральні числа від 11 до 20252025. Михайло та Олексій грають у таку гру. Вони по черзі, починає Михайло, стирають із дошки одне із записаних на ній чисел. Гра закінчується, коли на дошці лишається рівно два числа. Якщо їх сума є точним квадратом цілого числа, то виграє Михайло, інакше — то Олексій. Хто виграє за правильної гри обох гравців?
11 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-036

Найбільша кількість комірок із сумою сусідів у трикутній сітці

Михайло нарисував трикутну сітку завбільшки nn для n⩾2n \geqslant 2. Вона утворюється з рівностороннього трикутника TT зі стороною nn розбиттям кожної сторони на nn рівних частин. Після цього проводяться відповідні відрізки, паралельні сторонам трикутника TT, які його розбивають на n2n^2 рівносторонніх трикутників зі стороною 11, які ми назвемо комірками. Далі Олексій вписує в кожну комірку деяке натуральне число. Михайло отримує 11 цукерку за кожну комірку, число в якій дорівнює сумі всіх чисел у сусідніх по сторонах комірках. Олексій хоче записати числа таким чином, щоб Михайло отримав якомога більше цукерок. Скільки за таких умов цукерок отримає Михайло? На рис. 2.2 показано приклад для n=4n=4 із 1616 комірок та розставлених у них чисел. За такої розстановки чисел Михайло отримав би 55 цукерок — за числа 22 (верхня комірка), 88, 1313, 1212 та 1111.
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-080

Найбільше N+K для сум перестановки 1 до 2ⁿ

Для деякого натурального числа nn Катя записала числа від 11 до 2n2^n у рядок у порядку зростання. Олексій переставив числа Каті та записав нову послідовність прямо під першим рядком. Далі вони порахували суму двох чисел у кожному стовпчику. Катя порахувала число NN, що дорівнює кількості степенів двійки серед отриманих результатів, а Олексій — число KK, що дорівнює кількості різних степенів двійки серед отриманих результатів. Яке найбільше можливе значення може мати N+KN+K?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-031

Гра з добутком чисел від 1 до 2024

Петрик і Василько грають у таку гру. Вони роблять ходи по черзі, починає Петрик. За один хід гравець вибирає одне із чисел — від 11 до 20242024 — і записує його на дошці. Кожне число протягом гри можна вибрати не більше ніж один раз. Програє той, після чийого ходу добуток чисел на дошці ділитиметься на 20242024. Хто виграє за умови, що кожний гравець прагне перемогти?
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-108

Гра з відмічанням точок сітки з натуральними відстанями

Нехай задано натуральні числа mm та nn, більші за 11. Василь і Петрик грають у таку гру: вони по черзі відмічають на координатній площині ще не відмічені точки (x,y)(x, y), де x,yx, y — координати, виражені натуральними числами, такими що 1⩽x⩽m1 \leqslant x \leqslant m, 1⩽y⩽n1 \leqslant y \leqslant n. Програє той гравець, після ходу якого знайдуться дві відмічені точки, відстань між якими не є натуральним числом. Хто переможе в цій грі, якщо Василь ходить першим і кожен із гравців прагне перемогти?
11 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-091

Зафарбовування дошки 100 на 300 і найдовша жовта послідовність

На прямокутній дошці розміром 100×300100 \times 300 клітинок двоє гравців по черзі зафарбовують ще не зафарбовані клітинки: перший гравець фарбує в жовтий колір, другий — у синій. Фарбування завершиться, коли буде зафарбована кожна клітинка дошки. Послідовністю клітинок назвемо сукупність клітинок, у якій дві послідовні клітинки мають спільну сторону (усі клітинки в послідовності різні). Розглядаємо всі можливі послідовності жовтих клітинок. Результатом першого гравця назвемо кількість клітинок у послідовності жовтих клітинок найбільшої довжини. Мета першого гравця — отримати максимальний результат, а мета другого гравця — зробити результат першого гравця якомога меншим. Доведіть, що коли кожний прагне досягти своєї мети, то результат першого гравця буде не більше ніж 200200 клітинок.
10 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-051

Найбільша кількість підмножин із сумою 1

Задано множину з nn не обов’язково різних чисел {a1,a2,…,an}\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}, тобто таку, у якій окремі елементи можуть збігатися. Розглянемо всі 2n−12^n-1 непорожні підмножини цієї множини, для кожної такої підмножини обчислимо суму її елементів. Яка найбільша кількість з обчислених сум може дорівнювати 11? Наприклад, для множини {−1;2;2}\{-1; 2; 2\} маємо сім непорожніх підмножин: {−1}\{-1\}, {2}\{2\}, {2}\{2\}, {−1;2}\{-1; 2\}, {−1;2}\{-1; 2\}, {2;2}\{2; 2\}, {−1;2;2}\{-1; 2; 2\}, з яких суму елементів, що дорівнює 11, мають рівно дві.
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-079

Хто має виграшну стратегію на дошці m × n

Петрик і Василь грають у гру на дошці розміром m×nm \times n. Вони роблять ходи почергово, розпочинає Петрик. Він ставить пішака в будь-яку вільну клітинку дошки. Василь на своєму ході має поставити пішака на вільну клітинку, що є сусідньою по стороні з клітинкою, у яку Петрик поставив пішака останнім ходом. Василь ви́грає, якщо вся дошка буде заповнена пішаками. Петрик ви́грає, якщо після його ходу Василь не зможе зробити хід за зазначеними правилами та на дошці ще будуть вільні клітинки. Якщо кожен прагне перемогти, то хто має виграшну стратегію залежно від значень mm, nn?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-005

Числа 7 і 2020 та гарне фарбування многокутника

Натуральне число nn називають гарним, якщо всі сторони та діагоналі правильного nn-кутника можна пофарбувати в декілька кольорів так, щоб для кожної пари вершин AA і BB існувала рівно одна вершина CC, відмінна від точок AA і BB і така, що всі сторони трикутника ABCABC були пофарбовані в однаковий колір. З’ясуйте, яке із чисел — n=7n = 7 чи n=2020n = 2020 — є гарним.
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-002

Гра з периметром прямокутників у прямокутнику 2 на 1

Андрій та Олеся по черзі (починає Андрій) у прямокутнику розміром 2×12 \times 1 проводять горизонтальні відрізки довжиною 22 чи вертикальні довжиною 11, як показано на рис. 2.1. Після кожного ходу вони підраховують сумарний периметр PP усіх малих прямокутників, що при цьому утворилися (тобто таких, усередині яких не проходить жодний інший відрізок). Перемагає той із них, після чийого ходу значення PP ділиться націло на 20212021. Хто переможе, якщо кожен із гравців прагне перемогти?
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-020

Гра з діленням числа 2021! на добуток простих

На дошці записано число 2021!=1⋅2⋅3⋅…⋅20212021! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2021. Олеся та Андрій грають у гру, роблячи ходи по черзі (розпочинає Олеся). Хід полягає в тому, що гравець має поділити записане на дошці число на довільне число вигляду P=p1p2…pkP = p_1 p_2 \ldots p_k, яке складається з добутку декількох попарно різних простих чисел, і записати одержане число на дошці замість попереднього. Програє той, після чийого ходу на дошці буде записане неціле число. Хто виграє в цій грі, якщо кожен прагне перемогти?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-071

Гра з двома купами камінців починає Богдан

Олексій і Богдан грають у гру з двома купами камінців. На початку одна з куп містить 20212021 камінець, а друга — порожня. За один хід кожен із хлопців має забрати парну кількість камінців (більшу за нуль) з довільної купи, після чого перекласти половину з узятих камінців до іншої купи, а другу половину вилучити з гри. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто переможе в цій грі, якщо обидва гравці прагнуть перемогти, а починає Богдан?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-069

Почергова розстановка чисел від 1 до n у таблиці

Андрій і Богдан по черзі розставляють числа від 11 до nn у клітинках таблиці n×nn \times n так, щоб у жодному рядку та стовпці не було двох рівних чисел. Андрій ходить першим, а програє той, хто не зможе зробити хід. Хто, залежно від nn, має виграшну стратегію?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-053

Гра зі стиранням взаємно простих чисел на дошці

Петрик та Василь грають у гру із записаними на дошці числами. Розпочинає Петрик. За один хід гравець вибирає два взаємно простих числа, витирає їх та записує замість них їхню суму. Той, хто не зможе зробити хід, програє. Хто переможе за правильної гри, якщо із самого початку на дошці записано: а) 20192019 цифр 11; б) 20202020 цифр 11?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-095

Гра у фарбування комірок дошки 2020×2020

На дошці, що складається з 2020×20202020 \times 2020 комірок (клітинок), Андрій та Олеся грають у гру за такими правилами. Спочатку Олеся вибирає «фінальну комірку», після цього Андрій вибирає «початкову комірку», що не має спільних точок з фінальною. Далі Андрій та Олеся по черзі (розпочинає Андрій з вибраної ним початкової комірки) фарбують комірки дошки в блакитний (Андрій) та жовтий (Олеся) кольори за такими правилами. Кожен своїм черговим ходом має фарбувати клітинку, яка має спільну сторону чи вершину з клітинкою, зафарбованою супротивником на попередньому ході, та яка не була раніше зафарбована в жодний з кольорів. Перемагає той, хто зафарбує своїм ходом фінальну комірку, або той, чий супротивник не зможе зробити за правилами черговий хід. а) Які комірки може вибрати Олеся як фінальні, щоб напевно перемогти, незалежно від того, яку комірку як початкову вибере Андрій? б) Для яких комірок, що їх може вибрати Олеся як фінальні, в Андрія існує можливість вибрати початкову комірку таким чином, щоб перемогти самому?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-003

Монети в перетинах кіл і перемога Другого

Для натурального n⩾2n \geqslant 2 на площині є nn попарно різних кіл таких, що кожні два кола перетинаються у двох точках, а жодні три кола не мають спільної точки перетину. Із самого початку ми маємо по монеті в кожній точці перетину кіл. Два гравці, Перший та Другий, здійснюють ходи по черзі (розпочинає Перший). Вони беруть монету зі стола з такими обмеженнями: не можна взяти монету, що лежить на тому самому колі, з якого останню монету взяв супротивник. Хто не може зробити хід, той програє (це стосується і варіанта, коли монет просто не залишилося). Для яких nn Другий має виграшну стратегію?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-033

Гра з чорними клітинками на дошці 6 × 2019

Дано білу дошку розміром 6×20196 \times 2019. Андрій та Арсеній грають у таку гру: вони по черзі (розпочинає Андрій) перефарбовують одну білу клітинку 1×11 \times 1 у чорний колір. При цьому не можна фарбувати в чорний колір клітинку, якщо після того утворюється квадрат 3×33 \times 3, у якому будуть дві чорні клітинки. Програє той, хто не може зробити свій хід. Хто переможе за правильної гри обох?
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-104

Вирізання квадратів з прямокутника 4000 на 2019

Андрій та Олеся по черзі вирізають по лініях сітки з прямокутника 4000×20194000 \times 2019 квадрати якихось розмірів. Після ходу кожного з гравців обов'язково має залишитися зв'язна фігура. Програє той, хто не може зробити хід. Хто виграє за правильної гри обох гравців, якщо розпочинає Олеся? Примітка. Фігуру називають зв'язною, якщо з будь-якої її клітинки, тобто квадратика 1×11 \times 1, можна дістатися до будь-якої іншої, роблячи хід через сторони інших клітинок фігури.
10 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-112

Гра з відрізанням квадратів від прямокутника 2×2n

На початку гри ігрове поле — це прямокутник 2×2n2 \times 2n. Олеся та Андрій по черзі (розпочинає Олеся) роблять такі ходи: кожен із них від поточного ігрового поля відрізає квадрат розміром 1×11 \times 1 або 2×22 \times 2 за умови, що його можна вирізати на цей момент і після цього ігрове поле залишиться зв’язним по стороні (це означає, що з будь-якого поля на будь-яке інше можна буде дістатися ходами шахової тури). Виграє той, хто відріже останній квадрат ігрового поля. Хто переможе в цій грі, якщо кожен хоче виграти?
11 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-094

Гра Андрія та Олесі з обміном карток

У кожного з гравців — Андрія та Олесі — є набір з 20192019 карток, на яких записано числа 1,2,…,20191, 2, \ldots, 2019 (кожне число рівно один раз у кожного з них). Гра відбувається за такими правилами. На початку гри на столі лежить деяка картка з числом k∈{1,2,…,2019}k \in \{1, 2, \ldots, 2019\}. Гравці по черзі (розпочинає Андрій) міняють одну зі своїх карток на ту, що лежить у даний момент на столі. При цьому Андрій може поміняти свою картку з більшим записаним числом, ніж число на картці на столі, а Олеся, навпаки, свою картку з меншим записаним числом, ніж число на картці на столі. Той, хто не зможе зробити хід, програє. Хто переможе в цій грі, якщо кожен прагне перемогти?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-115

Гра з трикутниками на вершинах правильного 2019-кутника

На колі розставлено 20192019 точок A1,A2,…,A2019A_1, A_2, \ldots, A_{2019}, що утворюють правильний 20192019-кутник A1A2…A2019A_1A_2\ldots A_{2019}. Олеся та Андрій по черзі роблять ходи (першою ходить Олеся). Вона своїм ходом утворює тупокутний трикутник, тоді як Андрій — гострокутний. Правила утворення трикутників такі. На початку відміченими вважають вершини A1A_1 та A2A_2. На першому кроці Олеся відмічає невідмічену вершину AiA_i таким чином, щоб утворився тупокутний трикутник A1A2AiA_1A_2A_i, і вершина AiA_i стає відміченою. Нехай надалі своїм черговим ходом Олеся (Андрій) відмічає не відмічену раніше вершину AjA_j — утворюється тупокутний (гострокутний) трикутник AkAlAjA_kA_lA_j. Тоді наступним ходом Андрій (Олеся) може відмітити таку не відмічену вершину AmA_m, що утворюється гострокутний (тупокутний) трикутник AnAjAmA_nA_jA_m, де n=kn = k або n=ln = l. Програє той, хто не зможе за правилами зробити черговий хід, тобто відмітити вершину, щоб утворився трикутник належного виду. Хто переможе за правильної гри обох учасників?
11 класСиметрія та розбиття на пари

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.