Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-032

Хто переможе в грі з купками монет

Альберт і Барбара грають у таку гру: спочатку на столі лежить 40484048 купок монет, що містять відповідно 1,1,…,1⏟2024,2,3,4,…,2025\underbrace{1, 1, \ldots, 1}_{2024}, 2, 3, 4, \ldots, 2025 монет. Гравці роблять ходи по черзі, і розпочинає Альберт. Кожен гравець робить один з таких можливих ходів: - забирає 11 монету з будь-якої купки; - ділить довільну купку на дві купки, у кожній з яких має бути принаймні 11 монета. Перемагає той, хто забере зі стола останню монету. З'ясуйте, хто може перемогти в цій грі, якщо кожний прагне перемогти.
11 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-002

Гра з викладанням фішок у вершини восьмикутника

У Петрика та Даринки на двох є 88 фішок — по 22 червоні, чорні, блакитні та жовті. Вони їх по черзі викладають у вершини восьмикутника (рис. 1.1). Починає Петрик. Своїм ходом кожен може взяти будь-яку ще не викладену фішку і покласти в ще не зайняту вершину. Чи зможе Даринка домогтися того, щоб серед кожних чотирьох фішок, розташованих поспіль, обов'язково було по одній фішці кожного кольору?
6 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-021

Сума різниць цифр усіх двоцифрових чисел

Петрик для кожного двоцифрового числа записав різницю між першою та другою цифрою, наприклад, для числа 2121 записав 2−1=12-1=1, а для числа 3737 записав 3−7=−43-7=-4. Після цього всі записані числа він додав. Яку суму він отримав?
10 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-025

Сума різниць першої та третьої цифр трицифрових чисел

Петрик для кожного трицифрового числа записав різницю між першою та третьою цифрою, наприклад, для числа 261261 записав 2−1=12-1=1, а для числа 317317 записав 3−7=−43-7=-4. Після цього всі записані числа він додав. Яку суму він отримав?
11 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-034

Найбільша кількість сусідніх обмінів чисел від 1 до 10

Петрик записав у рядок у деякому порядку числа 1,2,…,101, 2, \ldots, 10. Василь має право поміняти місцями пару сусідніх чисел, якщо ліве число в цій парі більше за праве. Яку найбільшу кількість таких змін у парах може зробити Василь?
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-077

Гра зі стиранням чисел до суми-квадрата

На дошці виписано всі натуральні числа від 11 до 20252025. Михайло та Олексій грають у таку гру. Вони по черзі, починає Михайло, стирають із дошки одне із записаних на ній чисел. Гра закінчується, коли на дошці лишається рівно два числа. Якщо їх сума є точним квадратом цілого числа, то виграє Михайло, інакше — то Олексій. Хто виграє за правильної гри обох гравців?
11 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-036

Найбільша кількість комірок із сумою сусідів у трикутній сітці

Михайло нарисував трикутну сітку завбільшки nn для n⩾2n \geqslant 2. Вона утворюється з рівностороннього трикутника TT зі стороною nn розбиттям кожної сторони на nn рівних частин. Після цього проводяться відповідні відрізки, паралельні сторонам трикутника TT, які його розбивають на n2n^2 рівносторонніх трикутників зі стороною 11, які ми назвемо комірками. Далі Олексій вписує в кожну комірку деяке натуральне число. Михайло отримує 11 цукерку за кожну комірку, число в якій дорівнює сумі всіх чисел у сусідніх по сторонах комірках. Олексій хоче записати числа таким чином, щоб Михайло отримав якомога більше цукерок. Скільки за таких умов цукерок отримає Михайло? На рис. 2.2 показано приклад для n=4n=4 із 1616 комірок та розставлених у них чисел. За такої розстановки чисел Михайло отримав би 55 цукерок — за числа 22 (верхня комірка), 88, 1313, 1212 та 1111.
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-080

Найбільше N+K для сум перестановки 1 до 2ⁿ

Для деякого натурального числа nn Катя записала числа від 11 до 2n2^n у рядок у порядку зростання. Олексій переставив числа Каті та записав нову послідовність прямо під першим рядком. Далі вони порахували суму двох чисел у кожному стовпчику. Катя порахувала число NN, що дорівнює кількості степенів двійки серед отриманих результатів, а Олексій — число KK, що дорівнює кількості різних степенів двійки серед отриманих результатів. Яке найбільше можливе значення може мати N+KN+K?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-109

Два многочлени на дошці та їхня можлива рівність

На початку на дошці записано два константні многочлени: 00 і 11. На кожному кроці дозволяється до одного з многочленів додати 11, а інший домножити на многочлен 45x+202545x + 2025. Чи можуть у якийсь момент многочлени стати рівними?
11 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-010

Гра з 999 одиниць із заміною на суму

Петрик і Василь грають у гру на великому аркуші паперу. На початку гри на аркуші написано 999999 одиниць. Гравці роблять ходи по черзі, розпочинає Петрик. Під час свого ходу гравець має вибрати на аркуші такі два числа aa і bb, щоб (a,b)=1(a, b) = 1, стерти ці числа й написати замість них число a+ba + b. Перший гравець, який не зможе цього зробити, програє. Визначте, хто з гравців має виграшну стратегію.
8 класКласичні ігри
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-019

Послідовності від 1 до n і сума сталих чисел

Нехай nn — деяке натуральне число. Розглянемо послідовності чисел a0,a1,…,aka_0, a_1, \ldots, a_k та b0,b1,…,bkb_0, b_1, \ldots, b_k, що задовольняють такі умови: a0=b0=1a_0 = b_0 = 1, ak=bk=na_k = b_k = n, для кожного ii від 11 до kk пара чисел (ai,bi)(a_i, b_i) дорівнює або парі (1+ai−1,bi−1)\left(1 + a_{i-1}, b_{i-1}\right), або парі (ai−1,1+bi−1)\left(a_{i-1}, 1 + b_{i-1}\right). Розглянемо для кожного ii від 11 до kk послідовність ci={ai, якщо ai=ai−1;bi, якщо bi=bi−1.c_i = \begin{cases} a_i, \text{ якщо } a_i = a_{i-1}; \\ b_i, \text{ якщо } b_i = b_{i-1}. \end{cases} Чому дорівнює сума c1+c2+…+ckc_1 + c_2 + \ldots + c_k? У відповіді запишіть значення виразу при n=100n = 100.
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-031

Гра з добутком чисел від 1 до 2024

Петрик і Василько грають у таку гру. Вони роблять ходи по черзі, починає Петрик. За один хід гравець вибирає одне із чисел — від 11 до 20242024 — і записує його на дошці. Кожне число протягом гри можна вибрати не більше ніж один раз. Програє той, після чийого ходу добуток чисел на дошці ділитиметься на 20242024. Хто виграє за умови, що кожний гравець прагне перемогти?
7 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-055

Гра з добутком чисел на подільність на 2023

Петрик і Василь грають у таку гру. Ходять по черзі, починає Петрик. За один хід гравець вибирає одне із чисел — від 11 до 20232023 — і записує його на дошці. Кожне число протягом гри можна вибрати не більше ніж один раз. Програє той, після чийого ходу добуток чисел, записаних на дошці, ділитиметься на 20232023. Хто з гравців виграє, якщо кожен прагне перемогти?
9 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-067

Об'єднання і поділ купок монет на одиничні

Дано 315315 монет, що поділені на три купки з 8181, 115115 та 119119 монет. За один крок можна поєднати разом декілька існуючих купок або купку, що має парну кількість монет, поділити на дві рівні купки. Чи можна за скінченну кількість кроків утворити 315315 купок, у кожній з яких буде рівно одна монета?
10 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-077

Гра з добутком чисел і подільністю на n

Задано деяке натуральне число n>1n > 1. Петрик і Василь грають у таку гру. Вони роблять ходи по черзі, починає Петрик. За один хід гравець вибирає одне із чисел — від 11 до nn, і записує його на дошці. Кожне число протягом гри можна вибрати не більше ніж один раз. Програє той, після чийого ходу добуток чисел, записаних на дошці, ділитиметься на nn. Визначте для кожного n>1n > 1, хто з гравців виграє, якщо кожен прагне перемогти.
11 класКласичні ігри
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-072

Стіс зошитів і повернення на k-те місце

Дано n⩾1n \geqslant 1 зошитів, пронумерованих числами від 11 до nn. Їх склали у стіс. Після цього Захар навмання вибирає зошит, номер kk якого не відповідає номеру його місця розташування в цьому стосі, якщо рахувати зверху донизу, і повертає його на kk-ту позицію, рахуючи зверху та не міняючи місця розташування інших зошитів. Чи обов’язково Захар розставить усі зошити в порядку зростання номерів, якщо рахувати зверху донизу?
10 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-108

Гра з відмічанням точок сітки з натуральними відстанями

Нехай задано натуральні числа mm та nn, більші за 11. Василь і Петрик грають у таку гру: вони по черзі відмічають на координатній площині ще не відмічені точки (x,y)(x, y), де x,yx, y — координати, виражені натуральними числами, такими що 1⩽x⩽m1 \leqslant x \leqslant m, 1⩽y⩽n1 \leqslant y \leqslant n. Програє той гравець, після ходу якого знайдуться дві відмічені точки, відстань між якими не є натуральним числом. Хто переможе в цій грі, якщо Василь ходить першим і кожен із гравців прагне перемогти?
11 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-093

Гра із триклітинковими фігурками на дошці 6n x 6n

На квадратній дошці 6n×6n6n \times 6n, де nn — натуральне число, Олексій і Соломія грають у таку гру. Олексій кожним ходом ставить на дошку фігурку типу FF, що складається з трьох клітинок. Соломія так само після кожного ходу Олексія розставляє числа 00, 11 та 22 у клітинки фігурки, що виставив Олексій, використовуючи кожне із чисел рівно по одному разу. Якщо після чергового ходу Олексія дві виставлені фігурки мають спільну клітинку, то він одразу програє. Якщо квадрат виявився повністю заповненим числами, то гра зупиняється. У випадку, якщо сума чисел у кожному рядку та кожному стовпці квадратної дошки ділиться на 33, перемагає Соломія, а інакше — перемагає Олексій. Хто може забезпечити перемогу в цій грі, якщо фігурка типу FF, це: а) прямокутник 1×31 \times 3; б) куточок із трьох клітинок?
8 класГеометричні розфарбування
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-042

Поява четвірки у послідовності з цілими частинами

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє умову an+2=[2an+1an]+[2anan+1].a_{n+2} = \left[\frac{2a_{n+1}}{a_n}\right] + \left[\frac{2a_n}{a_{n+1}}\right]. Доведіть, що існує такий індекс mm, для якого am=4a_m = 4 та am+1∈{3,4}a_{m+1} \in \{3, 4\}. Примітка. Для дійсного числа aa через [a][a] позначено цілу частину числа aa, тобто найбільше ціле число, що не перевищує aa.
11 класПослідовності (інші властивості)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-023

Перетворення ряду з мільйона чисел до зупинки

У ряд виписано мільйон чисел: перше число дорівнює 123 456 789123\,456\,789, а решта 999 999999\,999 чисел — нулі. За один хід дозволено вибрати одне число, яке принаймні на 1010 менше від сусіднього ліворуч, збільшити його на 11, а всі числа ліворуч за вибране число зменшити на 99. Такі ходи роблять доти, доки це можливо. Який набір чисел може утворитися врешті-решт? Укажіть усі можливі відповіді.
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-041

Діти по колу зі зміною табличок

По колу стоять n⩾3n \geqslant 3 дітей, кожна дитина тримає дві таблички: одну із цифрою 00, другу — із цифрою 11. У певний момент кожна дитина піднімає на свій розсуд одну з табличок. Далі щохвилини кожна дитина, у якої число на табличці відрізняється від чисел на табличках обох її сусідів (ліворуч та праворуч), міняє свою табличку. Чи може тривати нескінченно довго ситуація, коли принаймні одна дитина міняє табличку?
8 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-031

Найменша вартість трьох рюкзаків зі знижками

Три брати — Петрик, Василь та Грицько — пішли в крамницю купляти собі рюкзаки. Мама дала їм купони на знижку: Петрику — на 40 %40\ \%, Василю — на 30 %30\ \% та Грицькові — на 20 %20\ \%. Їм сподобалися три рюкзаки: жовто-блакитний коштував 10001000 грн, червоний — 900900 грн, а чорний — 800800 грн. Яку найменшу суму можуть витратити брати, щоб придбати ці три рюкзаки?
7 класІнші класичні нерівності
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-076

Вгадування переможців матчів тенісного турніру

У деякій країні пройшов тенісний турнір по одноколовій системі, коли кожна команда зустрічається з кожною іншою принаймні один раз. За перемогу в матчі учасники отримували 11 очко, за поразку — 00 очок, нічиїх у тенісі не буває. Після закінчення турніру Олексій побачив кількість очок, що набрав кожний учасник, а також розклад усіх матчів цього турніру, де були вказані пари гравців, але не вказані переможці. Він по черзі в довільному порядку вибирає матч та намагається вгадати переможця, після чого йому кажуть, чи має він рацію. Доведіть, що Олексій може діяти так, щоб гарантовано вгадати переможців більше ніж половини матчів.
8 класЖадібний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-091

Зафарбовування дошки 100 на 300 і найдовша жовта послідовність

На прямокутній дошці розміром 100×300100 \times 300 клітинок двоє гравців по черзі зафарбовують ще не зафарбовані клітинки: перший гравець фарбує в жовтий колір, другий — у синій. Фарбування завершиться, коли буде зафарбована кожна клітинка дошки. Послідовністю клітинок назвемо сукупність клітинок, у якій дві послідовні клітинки мають спільну сторону (усі клітинки в послідовності різні). Розглядаємо всі можливі послідовності жовтих клітинок. Результатом першого гравця назвемо кількість клітинок у послідовності жовтих клітинок найбільшої довжини. Мета першого гравця — отримати максимальний результат, а мета другого гравця — зробити результат першого гравця якомога меншим. Доведіть, що коли кожний прагне досягти своєї мети, то результат першого гравця буде не більше ніж 200200 клітинок.
10 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-051

Найбільша кількість підмножин із сумою 1

Задано множину з nn не обов’язково різних чисел {a1,a2,…,an}\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}, тобто таку, у якій окремі елементи можуть збігатися. Розглянемо всі 2n−12^n-1 непорожні підмножини цієї множини, для кожної такої підмножини обчислимо суму її елементів. Яка найбільша кількість з обчислених сум може дорівнювати 11? Наприклад, для множини {−1;2;2}\{-1; 2; 2\} маємо сім непорожніх підмножин: {−1}\{-1\}, {2}\{2\}, {2}\{2\}, {−1;2}\{-1; 2\}, {−1;2}\{-1; 2\}, {2;2}\{2; 2\}, {−1;2;2}\{-1; 2; 2\}, з яких суму елементів, що дорівнює 11, мають рівно дві.
7 класСиметрія та розбиття на пари

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.