Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

293 задачі
КомбінаторикаБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-062

Існування послідовності чисел 1–100 з рівністю

Чи існує така послідовність натуральних чисел a1,a2,…,a100a_1, a_2, \ldots, a_{100}, що в ній кожне число від 11 до 100100 зустрічається рівно один раз та для кожного 1⩽i⩽1001 \leqslant i \leqslant 100 має місце рівність: aai+i=ia_{a_i+i}=i? Тут вважаємо, що ak+100=aka_{k+100}=a_k для кожного 1⩽k⩽1001 \leqslant k \leqslant 100.
9 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-027

Два набори слів з однаковою кількістю T і O

Петрик порахував кількість усіх можливих слів, що складаються з mm букв, у записі яких можна використовувати лише чотири букви TT, OO, WW і NN, при цьому в кожному слові букв TT і OO порівну. Василь порахував кількість усіх можливих слів, що складаються з 2m2m букв, у записі яких можуть бути використані лише дві букви TT і OO, при цьому в кожному слові букв TT і OO порівну. У кого із хлопців слів вийшло більше?
9 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-037

Заповнення числами ±1 таблиці 2007×2007 з умовою на квадрати

Знайдіть кількість способів заповнення числами ±1\pm 1 комірок таблиці 2007×20072007 \times 2007, коли модуль суми всіх чисел довільного квадрата цієї таблиці не перевищує 11.
10 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-001

Можливі суми на ста кубиках з 1 і 2

Петрик має 100100 гральних кубиків, які промарковані таким чином: на чотирьох гранях кожного кубика написано число 11, на двох інших гранях — число 22. Він одночасно кидає всі 100100 кубиків та рахує суму чисел на верхніх гранях усіх кубиків. Скільком різним значенням може дорівнювати сума?
6 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-097

П'ять чисел та однакові набори сум пар і трійок

Учитель написав на дошці п’ять попарно різних чисел. Після цього Петрик порахував суми кожних двох із цих чисел і виписав їх на лівій половині дошки, Василь зробив те саме для сум кожної трійки чисел та записав їх на правій половині дошки (сума записується Петриком і Василем стільки разів, скільки разів вона була отримана). Чи міг учитель записати такі числа, щоб на лівій та правій половинах дошки були записані однакові набори чисел, з урахуванням кількості разів, скільки вони там записані?
11 класКонструкція через симетрією
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-102

Максимальне розміщення доміно на дошці m × n

На прямокутну дошку розміром m×nm \times n клітинок, де m,n⩾3m, n \geqslant 3, поклали декілька кісточок доміно (прямокутники розміром 1×21 \times 2 клітинки або 2×12 \times 1 клітинку) таким чином, що кісточки доміно не накладаються одна на одну, не виходять за межі дошки m×nm \times n, принаймні одне кутове поле дошки покрите кісточкою доміно та більше жодної кісточки доміно не можна докласти на дошку без порушення цих правил. Доведіть, що принаймні 23\dfrac{2}{3} усіх полів дошки заповнено.
11 класБієкції
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-20-21-020

Кількість послідовностей довжини 10 з трійкою і близькими сусідами

Петрик хоче виписати всі можливі послідовності з 1010 натуральних чисел, у кожній з яких хоча б один раз траплялося число 33, а будь-які два її сусідніх члени відрізнялися не більше ніж на 11. Скільки послідовностей доведеться виписати?
9 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-023

Заповнення квадратів 2n×2n та 3n×3n фігурками 1×2 та 1×3

Нехай натуральне n⩾2n \geqslant 2. Покажіть, що кількість різних заповнень квадрата 2n×2n2n \times 2n фігурками 1×21 \times 2 менша від кількості заповнень квадрата 3n×3n3n \times 3n фігурками 1×31 \times 3. Примітка. Заповнення потрібно робити щільно та без накладань.
10 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-031

Компанія з 2017 людей та різниця кількості знайомих

Відомо, що в компанії з 20172017 людей деякі знайомі між собою. Відомо також, що для кожної пари є рівно одна людина, знайома обом членам пари (самих членів цієї пари не враховують). Якою може бути найбільша різниця між кількістю знайомих у людини, що має максимум знайомих, та кількістю знайомих у людини, що має мінімум знайомих у цій компанії?
11 класСтепені вершин
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-025

Дивовижні точки з поділом на 27 трикутників

Назвемо точку PP всередині трикутника ABCABC дивовижною, якщо із цієї точки можна провести рівно 2727 променів, які перетинають сторони трикутника ABCABC таким чином, що він поділяється рівно на 2727 трикутників рівної площі. Скільки може бути дивовижних точок усередині трикутника ABCABC?
10 класВідношення площ трикутників
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-080

Трикутники з цілими сторонами і периметрами 2013 і 2016

Яких трикутників із цілими сторонами більше — таких, що мають периметр 20132013, чи таких, що мають периметр 20162016?
10 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-024

Гарні і добрі послідовності від 1 до 1000000

Розглянемо зростаючі послідовності натуральних чисел з елементами від 11 до 1 000 0001\,000\,000. Послідовність називають гарною, якщо її перший елемент дорівнює 11 та кожний наступний елемент принаймні у два рази більший за попередній елемент. Послідовність називають доброю, якщо її останній елемент дорівнює 1 000 0001\,000\,000, а кожний елемент строго більший за суму всіх попередніх елементів. Яких послідовностей більше — гарних чи добрих?
10 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-069

Поразки гравців тенісного турніру за кількостями перемог

У тенісному турнірі беруть участь n⩾3n \geqslant 3 гравців, яким надали номери 1,2,…,n1, 2, \ldots, n. Турнір проходить за такою схемою. Спочатку всіх вишикували в чергу за порядком номерів від 11-го до nn-го. Першу гру грають тенісисти з номерами 11 та 22. Той, хто програв, переходить у кінець черги, наступну гру він зіграє останнім з усіх, а переможець зіграє наступну гру з першим у черзі і так далі. По проведенні NN матчів турнір завершився. Виявилося, що перший гравець виграв a1a_1 матчів, другий — a2a_2, …, nn-й виграв ana_n матчів. Зрозуміло, що a1+a2+…+an=Na_1 + a_2 + \ldots + a_n = N. Скільки матчів програв кожний із гравців?
10 класЦіла та дробова частини числа
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-033

Двоє знайомих без спільних знайомих на вечірці

На вечірці зібралися декілька людей. Кожні двоє, які не знайомі між собою, мають рівно двох спільних знайомих (якщо людина А знайома з людиною Б, то обов'язково і людина Б знайома з А). Михайлик та Віталик знайомі між собою, але не мають жодного спільного знайомого. а) Доведіть, що Михайлик та Віталик мають однакову кількість знайомих на вечірці. б) Чи може на такій вечірці бути рівно 66 людей?
7 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-024

Кількість чисел n з однаковим значенням функції

Функція f:N→Nf:\mathbb{N}\to\mathbb{N} задовольняє такі умови: 1) f(1)=1f(1)=1; 2) f(2n)=f(n)f(2n)=f(n), якщо nn парне; 3) f(2n)=2f(n)f(2n)=2f(n), якщо nn непарне; 4) f(2n+1)=2f(n)+1f(2n+1)=2f(n)+1, якщо nn парне; 5) f(2n+1)=f(n)f(2n+1)=f(n), якщо nn непарне. Знайдіть кількість натуральних чисел n⩽2047n \leqslant 2047, для яких виконується умова f(n)=f(2011).f(n)=f(2011).
10 класСистеми числення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-145

Кількість вдалих послідовностей довжини 2n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — задане натуральне число. Послідовність із 2n2n чисел a1a_1, a2a_2, …\ldots, a2na_{2n} будемо називати вдалою, якщо виконуються такі три умови: 1) усі числа a1a_1, a2a_2, …\ldots, ana_n є попарно різними елементами множини {1;2;…;n}\{1; 2; \ldots; n\}; 2) ak=an+ka_k = a_{n+k} для всіх k=1,n‾k = \overline{1, n}; 3) існують такі i1<i2<…<ini_1 < i_2 < \ldots < i_n із множини {1;2;…;2n}\{1; 2; \ldots; 2n\}, що aik=ka_{i_k} = k для всіх k=1,n‾k = \overline{1, n}. Наприклад, для n=5n = 5 послідовність 1,3,4,2,5,1,3,4,2,51, 3, 4, 2, 5, 1, 3, 4, 2, 5 є вдалою, а послідовність 2,1,3,5,4,2,1,3,5,42, 1, 3, 5, 4, 2, 1, 3, 5, 4 — ні. Для кожного n⩾3n \geqslant 3 знайдіть кількість вдалих послідовностей.
10 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-003

Спадні шістки натуральних чисел із сумами пар 22

Скільки існує різних упорядкованих шісток натуральних чисел (a,b,c,d,e,f)(a, b, c, d, e, f), для яких справджуються такі умови: a>b>c>d>e>fa > b > c > d > e > f та a+f=b+e=c+d=22a + f = b + e = c + d = 22?
8 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-022

Два автомати з перестановками та числа на місцях

Два автомати виконують перестановки чисел. Якщо в деякий автомат увести числа a1a_1, a2a_2,..., a2010a_{2010} (у вказаному порядку), то автомат видає ті ж самі числа, що розташовані в деякому (власному для кожного автомата) порядку. Цей порядок залежить лише від номерів чисел, що поступають на вхід, і не залежить від величин самих чисел. У першому випадку спочатку в перший автомат була введена послідовність чисел 1,2,…,20101, 2, \ldots, 2010. Одержаний на виході результат був уведений у другий автомат. У другому випадку в другий автомат увели послідовність чисел 2010,2009,…,12010, 2009, \ldots, 1, а одержаний на виході результат був уведений у перший автомат. Доведіть, що кількість чисел, що залишились на своїх місцях унаслідок таких послідовних перетворень у двох автоматах, однакова для обох спроб.
9 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-034

Рядки з дужок та їх серединні коди

Рядком з дужок називається деяка сукупність символів, кожний з яких є відкриваючою або закриваючою дужкою, якщо його можна будувати за такими правилами: 1) ()() є рядком; 2) якщо ss є рядком, то (s)(s) також є рядком; 3) якщо ss та tt є рядком, то stst також є рядком. Серединним кодом рядка називається кортеж натуральних чисел, який отримується для цього рядка таким чином: для кожної пари дужок – відкриваюча дужка та відповідна їй закриваюча дужка, знаходимо кількість символів, що залишились зліва від серединної позиції між цими дужками і записують усі ці числа у не зростаючому порядку. Наприклад, серединним кодом рядку (())(()) є (2,2)(2,2), а серединним кодом рядку ()()()() є (1,3)(1,3). Довести, що серединний код двох довільних різних рядків з дужок є різними.
10 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-092

Чотириелементні підмножини з добутком більшим чи меншим за 2009

Розглянемо множину M={1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}M = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\} та усі її чотирьохелементні підмножини. Яких серед цих підмножин більше: тих добуток елементів у яких більший за 20092009, чи тих, добуток елементів у яких менший за 20092009?
11 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-026

Яких п'ятицифрових чисел зі впорядкованими цифрами більше

З'ясуйте, яких п'ятицифрових чисел більше: тих, у яких цифри йдуть у строго зростаючому порядку зліва направо, або тих, у яких кожна цифра не перевищує 55 та цифри ідуть у неспадному порядку зліва направо (наприклад, число 1245912459 задовольняє першій умові, а 2258922589 та 0123401234 – ні; число 1114511145 задовольняє другій умові, а 2122421224, 1234612346 та 0123401234 – ні)?
8 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-046

Підмножини множини з цілим середнім арифметичним

Нехай n>1n > 1 та AnA_n – кількість непорожніх підмножин CC множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} з такою властивістю: середнє арифметичне елементів CC є цілим числом. Довести, що (An−n)(A_n - n) – є парним числом.
10 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-05-06-088

Шеренги солдатів з парною та непарною найдовшою хвилею

Рота, якою командує капітан Петренко, складається з nn, n≥3n\ge 3, солдатів, серед яких немає жодних двох однакового зросту. Капітан вишикував їх в шеренгу в деякому порядку (не обов'язково за зростом). "Хвилею" в цій шерензі називатимемо таку її підпослідовність, солдати якої не обов'язково стоять поруч, але перший її солдат вищий за її другого солдата, її другий солдат нижчий за її третього, її третій солдат вищий за її четвертого, її четвертий солдат нижчий за її п'ятого і т.д. Наприклад, якщо n=9n=9, солдати пронумеровані за збільшенням зросту, і капітан їх вишикував у таку шеренгу: 9,3,5,7,1,2,6,4,89,3,5,7,1,2,6,4,8, то найдовшою "хвилею" цієї шеренги є, наприклад, така: 9,3,7,1,6,4,89,3,7,1,6,4,8. А якщо капітан їх вишикує за зростом так: 1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9, — то найдовшою "хвилею" такої шеренги буде лише один солдат (будь-який), бо у "хвилі" другий солдат має бути нижчим за першого. Для кожного nn визначте, яких шеренг більше: тих, у яких найдовша "хвиля" складається з парної кількості солдатів, чи тих, у яких найдовша "хвиля" складається з непарної кількості солдатів?
11 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-04-05-004

Щасливі квитки та номери із сумою цифр 27

Трамвайні квитки мають номери від 000000000000 до 999999999999. Номер називається щасливим, якщо в нього сума трьох перших цифр дорівнює сумі трьох останніх. Доведіть, що кількість усіх щасливих номерів дорівнює кількості номерів, у кожного з яких сума цифр дорівнює 2727.
6 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-00-01-067

Чи можна з п'ятицифрових зростаючих чисел отримати чотирицифрові

На дошці записані всі п'ятицифрові числа, у запису кожного з яких цифри розташовані в строго зростаючому зліва направо порядку. Чи можна з кожного з них викреслити по одній цифрі так, щоб утворились усі чотирицифрові числа з такою ж властивістю?
9 класБієкції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.