Безпорядки та перестановки „два-два“ послідовностей чисел

Умова задачі

Нехай $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ — послідовність цілих чисел. Перестановку цієї послідовності (ті самі числа послідовності, виписані в якомусь іншому порядку) називають безпорядком, якщо жодне число в новій послідовності не дорівнює числу, яке спочатку стояло на його місці. Наприклад, якщо початкова послідовність — $1,3,3,5$ , то $3,5,1,3$ є безпорядком, а $3,3,1,5$ — ні.
Перестановку називають „два-два“, якщо рівно два з чисел нової послідовності рівно на два більші за числа, які спочатку займали ці місця. Наприклад, $3, 5, 1, 3$ — „два-два“ послідовності $1,3,3,5$ (перші два значення $3$ і $5$ нової послідовності рівно на два більші за свої початкові значення $1$ і $3$ ).
Нехай $n \geq 2$ . Доведіть, що кількість безпорядків послідовності
$1,1,2,3, \ldots, n-1, n$
дорівнює кількості перестановок „два-два“ послідовності
$1,2,3, \ldots, n, n+1 .$
(Зауважимо, що обидві послідовності мають $n+1$ чисел, але перша містить дві $1$ .)

Пов’язані теми

Бієкції

Олімпіадні задачі з математики

Задачі дня

Безпорядки та перестановки „два-два“ послідовностей чисел

Умова задачі

Пов’язані теми

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Гурток за п’ять хвилин

П’ять років програми

Шість правил, підтверджених дослідженнями

Ритм олімпіадного року

Як зібрати задачі тут

Про проєкт

Автори задач

Що в архіві

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Що є в кожної задачі

З чого почати

Хто це робить

Помилки та пропозиції

Автори задач

Богдан Рубльов

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні й закордонні змагання

Дякуємо