Збалансовані підмножини з рівністю медіани й середнього

Умова задачі

Нехай $n$ — натуральне число, і позначимо $S_n = \{1, 2, \dots, n\}$ . Розглянемо непорожню підмножину $T$ множини $S_n$ . Будемо казати, що $T$ збалансована, якщо медіана множини $T$ дорівнює середньому арифметичному $T$ . Наприклад, при $n = 9$ кожна з підмножин $\{7\}$ , $\{2, 5\}$ , $\{2, 3, 4\}$ , $\{5, 6, 8, 9\}$ і $\{1, 4, 5, 7, 8\}$ збалансована; проте підмножини $\{2, 4, 5\}$ і $\{1, 2, 3, 5\}$ не є збалансованими. Для кожного $n \ge 1$ доведіть, що кількість збалансованих підмножин множини $S_n$ непарна.

(Щоб означити медіану множини з $k$ чисел, спочатку впорядкуйте числа за зростанням; тоді медіаною є середнє число, якщо $k$ непарне, і середнє арифметичне двох середніх чисел, якщо $k$ парне. Наприклад, медіана множини $\{1, 3, 4, 8, 9\}$ дорівнює $4$ , а медіана множини $\{1, 3, 4, 7, 8, 9\}$ дорівнює $(4+7)/2 = 5.5$ .)

Пов’язані теми

Симетрія та розбиття на пари Бієкції

Олімпіадні задачі з математики

Задачі дня

Збалансовані підмножини з рівністю медіани й середнього

Умова задачі

Пов’язані теми

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Гурток за п’ять хвилин

П’ять років програми

Шість правил, підтверджених дослідженнями

Ритм олімпіадного року

Як зібрати задачі тут

Про проєкт

Автори задач

Що в архіві

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Що є в кожної задачі

З чого почати

Хто це робить

Помилки та пропозиції

Автори задач

Богдан Рубльов

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні й закордонні змагання

Дякуємо