Послідовність різних цілих чисел зі складеним розбиттям

Умова задачі

Розглянемо послідовності $a_1, a_2, \dots, a_n$ , що складаються з $n$ цілих чисел. Для заданого $k \le n$ числа послідовності можна розбити на $k$ груп так: $a_1$ потрапляє до першої групи, $a_2$ — до другої групи і так далі аж до $a_k$ , яке потрапляє до $k$ -ї групи. Далі $a_{k+1}$ знову потрапляє до першої групи, $a_{k+2}$ — до другої групи і так далі. Послідовність називається $k$ -складеною, якщо за такого розбиття суми чисел у $k$ групах рівні.

Послідовність $1, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8$ , наприклад, є 4-складеною, оскільки
$1 + (-2) + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12.$
Однак ця послідовність не є 3-складеною, оскільки суми $1 + 4 + 13 + 8$ , $2 + (-2) + 12$ і $3 + 6 + 17$ дають неоднакові результати.

a. Наведіть послідовність із 6 різних цілих чисел, яка є одночасно 2-складеною і 3-складеною.

b. Наведіть послідовність із 7 різних цілих чисел, яка є 2-складеною, 3-складеною і 4-складеною.

c. Знайдіть найбільше $k \le 99$ , для якого існує послідовність із 99 різних цілих чисел, яка є $k$ -складеною. (Наведіть приклад такої послідовності та доведіть, що для більших значень $k$ такої послідовності не існує.)

Пов’язані теми

Оптимальна конструкція (оцінка і приклад)Симетрія та розбиття на пари

Олімпіадні задачі з математики

Задачі дня

Послідовність різних цілих чисел зі складеним розбиттям

Умова задачі

Пов’язані теми

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Гурток за п’ять хвилин

П’ять років програми

Шість правил, підтверджених дослідженнями

Ритм олімпіадного року

Як зібрати задачі тут

Про проєкт

Автори задач

Що в архіві

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Що є в кожної задачі

З чого почати

Хто це робить

Помилки та пропозиції

Автори задач

Богдан Рубльов

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні й закордонні змагання

Дякуємо