Послідовність цифр з правилом останньої цифри суми
Умова задачі
Цікава властивість числа 2013 полягає в тому, що 3 — це остання цифра суми . Повторюючи цей процес, тобто дописуючи справа останню цифру суми трьох попередніх цифр, отримаємо послідовність:
а) Доведіть, що, починаючи з послідовності 2,0,1 у такому порядку, можна також знайти три послідовні числа , у такому порядку.
б) Зауважте, що якщо послідовність із трьох послідовних чисел з’явиться знову в тому самому порядку, то вся послідовність «повторюватиметься» далі. Наприклад, наведена нижче послідовність не є послідовністю з умови, але повторюється кожні чотири числа:
Перевірте, що якась послідовність із трьох цифр повторюється в послідовності з умови.
в) Припустімо, що при першій появі «» у послідовності число безпосередньо перед нею дорівнює , а при другій її появі дорівнює , тобто в послідовності зустрінуться числа в такому порядку:
Покажіть, що .
г) Знаючи, що 1,2,2 з’явилося в послідовності, у такому порядку, покажіть, що зрештою знову з’явиться послідовність цифр , також у такому порядку.