Змійки на клітчастій площині та різниця сум координат

Умова задачі

Аркуш альбому для малювання Жоау — це величезна клітчаста декартова площина. Один з його улюблених малюнків — це створення змійок, що покривають сторони квадратиків, за допомогою ручки. По суті, змійка — це послідовність з $2n$ різних точок $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2n}$ , вибраних у вершинах квадратиків дошки так, що точки з послідовними індексами лежать на стороні одного й того ж квадратика дошки. Наприклад, на рисунку нижче маємо змійку, що сполучає такі точки декартової площини:
$\begin{aligned} & P_{1}=(0,0), \quad P_{2}=(1,0), \quad P_{3}=(1,1), \quad P_{4}=(1,2), \quad P_{5}=(2,2), \quad P_{6}=(2,3) \\ & P_{7}=(3,3), \quad P_{8}=(4,3), \quad P_{9}=(4,4), \quad P_{10}=(5,4), \quad P_{11}=(6,4), \quad P_{12}=(6,5) \end{aligned}$
A grid with a path marked by points P1 through P12, showing a 'snake' moving along the edges of the squares in the first quadrant.
Намалювавши змійки на дошці, Жоау любить обчислювати суму координат точок з непарними індексами, тобто точок $P_{1}, P_{3}, \ldots, P_{2n-1}$ , і віднімати від цього числа суму координат точок з парними індексами, тобто точок $P_{2}, P_{4}, \ldots, P_{2n}$ .

a) Для $n=3$ , тобто з 6 точок, намалюйте «змійки», для яких результат, отриманий Жоау, дорівнює $-1, -3$ , $1$ і $3$ .

b) Залежно від $n$ , які можливі значення може отримати Жоау?

Зауваження: «Змійка» може також містити точки з від'ємними координатами, достатньо, щоб вона «рухалася» ліворуч від осі $y$ або вниз від осі $x$ .

Пов’язані теми

Парність і непарність Оптимальна конструкція (оцінка і приклад)

Олімпіадні задачі з математики

Задачі дня

Змійки на клітчастій площині та різниця сум координат

Умова задачі

Пов’язані теми

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Гурток за п’ять хвилин

П’ять років програми

Шість правил, підтверджених дослідженнями

Ритм олімпіадного року

Як зібрати задачі тут

Про проєкт

Автори задач

Що в архіві

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Що є в кожної задачі

З чого почати

Хто це робить

Помилки та пропозиції

Автори задач

Богдан Рубльов

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні й закордонні змагання

Дякуємо