Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-21-22-012

Факторіал як сума трьох степенів

Доведіть, що існує лише скінченна кількість четвірок натуральних чисел (a,b,c,n)(a, b, c, n), для яких n!=an−1+bn−1+cn−1.n! = a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1}.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-001

Монічний многочлен із цілими коефіцієнтами і подільністю

Дано такий многочлен P(x)P(x) із цілими коефіцієнтами та старшим членом 11, що для будь-якого простого числа pp та натуральних чисел uu та vv, які задовольняють умову p∣(uv−1)p \mid (uv - 1), справджується подільність p∣(P(u) P(v)−1)p \mid (P(u)\,P(v) - 1). Доведіть, що P(x)=xnP(x) = x^n для якогось цілого невід’ємного nn.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-002

Трикутник з кутом 120° і коло, дотичне до AC

У трикутнику ABCABC, у якому ∠A=120∘\angle A = 120^\circ, відмітили центр OO описаного кола. Позначимо через PP та QQ основи перпендикулярів, проведених із вершини BB відповідно на прямі COCO та AOAO. Нехай точка MM — середина відрізка AOAO. Доведіть, що описане коло трикутника MPQMPQ дотикається до прямої ACAC.
10–11 класиІнші точки трикутника
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-003

Мінімальні блокувальні множини для жаби на дошці 3m × 3m

Розглянемо дошку розміром 3m×3m3m \times 3m, де mm є натуральним числом, більшим за 11. Жаба, що сидить у лівому нижньому кутку (позначимо його літерою SS), хоче дістатися правого верхнього кутка (який ми позначимо літерою FF). За один стрибок жаба може пересунутися в сусідню клітинку праворуч або зверху. Деякі клітинки дошки можуть бути липкі, і якщо жаба стрибне на одну з таких клітинок, то вона там й застрягне. Множину XX клітинок назвемо блокувальною, якщо жаба не може дістатися клітинки FF, починаючи з клітинки SS, та якщо всі клітинки XX є липкими. Блокувальну множину клітинок уважатимемо мінімальною, якщо будь-яка її підмножина не є блокувальною. а) Доведіть, що існує мінімальна блокувальна множина, у якій кількість клітинок не менша від 3m2−3m3m^2 - 3m. б) Доведіть, що кількість клітинок у будь-якій блокувальній множині не більша за 3m23m^2.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-004

Симетричні кола в чотирикутнику і перетин на AC

Дано чотирикутник ABCDABCD з рівними кутами при вершинах BB і DD. Відомо, що кола ω1\omega_1, ω2\omega_2 симетричні відносно прямої ACAC, причому коло ω1\omega_1 проходить через точку BB та перетинає вдруге прямі ABAB та BCBC у точках KK та LL відповідно, а коло ω2\omega_2 проходить через точку DD та перетинає вдруге прямі CDCD та ADAD у точках MM та NN відповідно. Доведіть, що прямі KMKM та LNLN перетинаються на прямій ACAC.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-005

Перестановка дільників числа з квадратними частковими сумами

Знайдіть усі натуральні числа nn, якщо існує така перестановка (d1,d2,…,dk)(d_1, d_2, \ldots, d_k) усіх натуральних дільників числа nn, що для будь-якого i=1, 2, …, ki = 1,\ 2,\ \ldots,\ k число d1+…+did_1 + \ldots + d_i є точним квадратом.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-006

Бієкції додатних чисел із заданою рівністю

Знайдіть усі такі бієкції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty), що будь-які xx, y>0y > 0 задовольняють рівність f(xf(x)+yf(y))=f2(x)+f2(y).f(xf(x) + yf(y)) = f^2(x) + f^2(y).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-007

Зведений квадратний тричлен зі значеннями n, n² і n³

Доведіть, що для будь-якого цілого nn існує зведений квадратний тричлен x2+bx+cx^2 + bx + c із цілими коефіцієнтами, який у деяких трьох цілих точках набуває значення nn, n2n^2 і n3n^3 відповідно.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-008

Сума площ чотирикутників з розбиття точок квадрата

Нехай nn — це деяке натуральне число, та нехай SS позначає множину точок на декартовій площині, у яких обидві координати невід’ємні, цілі та менші від 2n2n, тобто ∣S∣=4n2|S| = 4n^2. Нехай FF — це множина, що складається з n2n^2 чотирикутників, у яких вершини є точками з множини SS; більш того, кожна точка множини SS є вершиною рівно одного з тих чотирикутників. Доведіть, що найбільша можлива сума площ усіх чотирикутників із множини FF дорівнює значенню виразу 13n2(2n+1)(2n−1)\frac{1}{3}n^2(2n+1)(2n-1).
10–11 класиПлоща чотирикутника
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-009

Перестановка різних чисел і подільність зваженої суми на n

Знайдіть усі такі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, що для будь-якої групи з nn попарно різних натуральних чисел, сума яких не ділиться на nn, існує така перестановка цих чисел (a1,…,an)(a_1, \ldots, a_n), що nn ділить суму 1⋅a1+2⋅a2+…+n⋅an1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 + \ldots + n \cdot a_n.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-010

Нескінченна множина натуральних чисел і дільники трьох чисел

Нехай SS — це нескінченна множина натуральних чисел, у якій існують такі чотири попарно різних числа aa, bb, cc, dd, що (a,b)≠(c,d)(a,b) \ne (c,d). Доведіть, що існують такі три різних числа xx, yy, uu з множини SS, для яких (x,y)=(y,u)≠(u,x)(x, y) = (y, u) \ne (u, x). Примітка. Тут для натуральних чисел mm, nn через (m,n)(m, n) позначено найбільший спільний дільник цих чисел.
10–11 класиПринцип Діріхле (інші випадки)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-011

Рекурентна послідовність та порівняння членів з половиною

Дано таку послідовність чисел a0,a1,…,a2022a_0, a_1, \ldots, a_{2022}, що a0=1a_0 = 1 та для всіх n∈{0,1,2,…,2021}n \in \{0, 1, 2, \ldots, 2021\} справджується умова an+1=an−an22022a_{n+1} = a_n - \frac{a_n^2}{2022}. Доведіть, що a2021>12>a2022a_{2021} > \frac{1}{2} > a_{2022}.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-012

Умова на точку T і відношення IP до IQ

На стороні BCBC трикутника ABCABC знайшлася така точка TT, що BA+BT=CA+CTBA + BT = CA + CT та AT2=AB⋅ACAT^2 = AB \cdot AC. Нехай точка II — інцентр трикутника ABCABC. Пряма, що проходить через інцентр II перпендикулярно до прямої AIAI, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках PP і QQ. Знайдіть усі можливі значення відношення IP:IQIP : IQ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-001

Найменша кількість стертих чисел з умовою на 5a+b

Маємо натуральні числа 1,2,3,…,20201, 2, 3, \ldots, 2020. Яку найменшу кількість чисел треба стерти, щоб для будь-яких двох чисел a>ba > b, що залишилися, сума 5a+b5a + b не ділилася націло на різницю a−ba - b?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-002

Відрізки замкненої ламаної на межі прямокутника 20 на 19

Дано клітчастий прямокутник розміром 20×1920 \times 19. По межах клітинок цього прямокутника намалювали якусь замкнену ламану без самоперетинів. Далі в кожній із 380380 клітинок прямокутника записали одне число — кількість сторін цієї клітинки, що належать намальованій ламаній. Так сталося, що виписали однакову кількість чисел 00, 11, 22 і 33. Доведіть, що на межі цього прямокутника 20×1920 \times 19 є принаймні два одиничних відрізки, що належать ламаній.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-003

Нерівність для дробів чотирьох додатних чисел з умовою

Додатні числа aa, bb, cc, dd задовольняють умову (a+c)(b+d)=ac+bd(a+c)(b+d) = ac + bd. Доведіть, що справджується нерівність ab+bc+cd+da⩾8.\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \geqslant 8.
10–11 класиНерівність Коші
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-004

Гострокутний трикутник ABC, кола через A і прямі PQ

Нехай точка OO — центр описаного кола Ω\Omega фіксованого гострокутного трикутника ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точку DD вибрано на стороні BCBC так, що ∠BDO=∠ACB+12∠BAC\angle BDO = \angle ACB + \frac{1}{2}\angle BAC. Коло ω\omega, центр якого рівновіддалений від точок OO і DD, перетинає коло Ω\Omega у точках AA і QQ. Також це коло ω\omega перетинає пряму, що проходить через точку DD перпендикулярно до прямої BCBC, у точці PP, яка лежить усередині кола Ω\Omega по той самий бік від прямої BCBC, що й точка AA. Доведіть, що незалежно від вибору кола ω\omega усі прямі PQPQ проходять через фіксовану точку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-005

Знакозмінна сума після викидання одного нуля чи одиниці

У рядок виписано декілька чисел, кожне з яких дорівнює 00 чи 11. Доведіть, що можна викинути одне з них або не викидати жодного так, щоб знакозмінна сума чисел, що лишилися, дорівнювала 00. Примітка. Знакозмінна сума послідовності a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n невід'ємних чисел — це сума, що визначається в такий спосіб: a1−a2+a3−a4+…+(−1)n+1ana_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots + (-1)^{n+1} a_n. Наприклад, якщо виписано числа 1,0,0,0,1,0,11, 0, 0, 0, 1, 0, 1, то можна викинути другу справа одиницю й отримати таку знакозмінну суму: 1−0+0−0+0−1=01 - 0 + 0 - 0 + 0 - 1 = 0.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-006

Паралельність лінії центрів при симетрії вершини трикутника

Дано трикутник ABCABC. Точка A1A_1 симетрична точці AA відносно прямої BCBC. Пряма A1CA_1C удруге перетинає описане коло трикутника AA1BAA_1B у точці B1B_1, а пряма A1BA_1B удруге перетинає описане коло трикутника AA1CAA_1C у точці C1C_1. Доведіть, що пряма, яка проходить через центри описаних кіл трикутників ABCABC і A1B1C1A_1B_1C_1, паралельна прямій BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-007

Найменша множина з фібоначчевими різницями

Розглянемо послідовність Фібоначчі (Fn)(F_n), яку задано умовами F0=0,F1=1F_0 = 0, F_1 = 1 і Fk+1=Fk+Fk−1F_{k+1} = F_k + F_{k-1} для всіх FnF_n. Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2 і множину S⊂ZS \subset Z таку, що для всіх k=2,3,…,nk = 2, 3, \ldots, n існують x,y∈Sx, y \in S, для яких x−y=Fkx - y = F_k. Яку найменшу можливу кількість елементів може містити така множина SS?
10–11 класиДерева
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-008

Функції з f(xy) = f(x) + f(y) і симетрією

Знайдіть усі функції f:N→N∪{0}f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\cup\{0\}, для яких справджуються такі три умови: 1) f(n)≠0f(n)\neq 0 принаймні для одного натурального nn; 2) f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y) для всіх пар натуральних чисел xx, yy; 3) існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що f(k)=f(n−k)f(k)=f(n-k) для всіх k<nk<n.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-009

Рівнобедрений трикутник з проєкціями на бічні сторони

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC, у якому BC=CABC = CA. Усередині відрізка ABAB знайшлася така точка DD, що AD<DBAD < DB, і точки PP і QQ — проєкції точки DD на прямі BCBC і CACA відповідно потрапляють точно в середини відрізків BCBC і CACA відповідно. Нехай серединний перпендикуляр до прямої PQPQ перетинає відрізок CQCQ в точці EE та нехай описані кола трикутників ABCABC і CPQCPQ перетинаються вдруге в точці FF, що відмінна від точки CC. Виявилося, що точки PP, EE, FF лежать на одній прямій. Доведіть, що трикутник ABCABC — прямокутний.
10–11 класиСиметрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-010

Функціональне рівняння з f² та сумою квадратів

Знайдіть усі такі функції f ⁣:R→Rf\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для довільних x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} справджується рівність f(f2(x)+xf(y)+y2)=y⋅f2(y+f(x)).f\bigl(f^2(x) + xf(y) + y^2\bigr) = y \cdot f^2\bigl(y + f(x)\bigr).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-011

Найбільше n з рівностями степенів натуральних чисел

Для якого найбільшого nn існують такі натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, для яких справджуються рівності ann=ann−1+an−1n−1=…=an2+an−12+…+a22=an1+an−11+…+a21+a11?a_n^n = a_n^{n-1} + a_{n-1}^{n-1} = \ldots = a_n^2 + a_{n-1}^2 + \ldots + a_2^2 = a_n^1 + a_{n-1}^1 + \ldots + a_2^1 + a_1^1?
10–11 класиМіркування за модулем
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-20-21-012

Найбільша кількість точок перетину діагоналей на оболонці

В опуклому nn-кутнику при n⩾5n \geqslant 5 провели деяку кількість діагоналей. Яку найбільшу кількість точок перетину цих діагоналей, відмінних від вершин nn-кутника, може мати опукла оболонка? Примітка. Опуклою оболонкою VV скінченної множини точок MM на площині називають найменший опуклий многокутник, що містить усі точки MM, тобто для будь-якого іншого многокутника UU, що містить усі точки множини MM, справджується включення M⊂V⊂UM \subset V \subset U.
10–11 класиОпуклі множини

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.