Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-002

Дошка 2018 × 2018 з двома вирізами та сходи

Дві фігурки (рис. 9.1), що складаються із 66 та 1010 одиничних квадратиків відповідно, назвемо сходами. Розглянемо дошку розміром 2018×20182018 \times 2018, яка складається з 201822018^2 одиничних квадратиків. Два довільних квадратики з одного рядка вирізали з такої дошки. Доведіть, що дошку, яка утворилася після такого вирізання, не можна розрізати за лініями сітки на сходи, навіть якщо сходи можна повертати.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-003

Висота трикутника, центроїди і спільна точка прямих

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC, і нехай ADAD — його висота. Точки RR, QQ — центроїди трикутників ABDABD та ACDACD відповідно. Точку PP на відрізку BCBC вибрано так, що P≠DP \ne D і точки PP, QQ, RR та DD лежать на одному колі. Доведіть, що прямі APAP, BQBQ і CRCR перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-004

Рівність добутку цілих частин і біноміального коефіцієнта

а) Доведіть, що для довільного натурального числа mm існує таке натуральне n⩾mn \geqslant m, що \left[\frac{n}{1}\right] \cdot \left[\frac{n}{2}\right] \cdot \ldots \cdot \left[\frac{n}{m}\right] = C_n^m. \tag{*} б) Позначимо через p(m)p(m) найменше натуральне число n⩾mn \geqslant m, для якого виконується рівність (). Доведіть, що p(2018)=p(2019)p(2018) = p(2019).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-005

Циклічна сума дробів a²-b² поділена на a+bc при abc=1

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, що задовольняють умову abc=1abc=1. Доведіть, що справджується нерівність a2−b2a+bc+b2−c2b+ca+c2−a2c+ab⩽a+b+c−3.\frac{a^2-b^2}{a+bc}+\frac{b^2-c^2}{b+ca}+\frac{c^2-a^2}{c+ab}\leqslant a+b+c-3.
10–11 класиНерівність Коші
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-006

Корені многочлена в арифметичній прогресії та квадратний тричлен

Многочлен P(x)P(x) степеня n⩾2n \geqslant 2 з раціональними коефіцієнтами має nn попарно різних дійсних коренів, які утворюють арифметичну прогресію. Доведіть, що серед коренів многочлена P(x)P(x) можна вибрати два, які також є коренями деякого квадратного тричлена з раціональними коефіцієнтами.
10–11 класиТеорема Вієта
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-007

Пірати, що ціляться у двох інших

Декілька піратів почали суперечку, і тепер кожен із них націлив пістолети на деяких двох інших. Усіх піратів викликають по черзі в якомусь порядку. Якщо викликаний пірат ще живий, то він одразу стріляє у двох піратів, яких він тримав під прицілом (деякі з них можуть бути вже мертвими). Усі постріли миттєво вбивають. Після того як викликали всіх піратів, виявилося, що рівно 2828 піратів було вбито. Доведіть, що якби піратів викликали в іншому довільному порядку, то принаймні 1010 піратів усе одно було б убито.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-008

Зображення числа з менш ніж 2k ненульовими коефіцієнтами

Дано натуральне число nn і натуральні числа u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n, що не перевищують 2k2^k, для деякого натурального k⩾3k\geqslant 3. Назвемо зображенням числа tt таку послідовність невід'ємних цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що t=a1u1+a2u2+…+anun.t=a_1u_1+a_2u_2+\ldots+a_nu_n. Доведіть, що коли ціле невід'ємне число tt має зображення, то воно також має зображення, у якому серед чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n менше ніж 2k2k ненульових.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-009

Паралелограм з основою висоти, ортоцентром і серединою

Нехай точка DD — основа висоти, проведеної з вершини AA в гострокутному трикутнику ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точки B′B' і C′C' лежать на променях ABAB і ACAC відповідно так, що точки B′B', C′C' і DD колінеарні, а точки BB, CC, B′B' і C′C' лежать на одному колі із центром у точці OO. Доведіть, що коли точка MM — середина сторони BCBC, а точка HH — ортоцентр трикутника ABCABC, то чотирикутник DHMODHMO — паралелограм.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-010

Бісектриса трикутника та рівність відрізків AW і WT

Дано трикутник ABCABC. Бісектриса внутрішнього кута ABCABC перетинає сторону ACAC у точці LL, а описане коло трикутника ABCABC — у точці W≠BW \neq B. Нехай точка KK — основа перпендикуляра, опущеного з точки LL на пряму AWAW. Описане коло трикутника BLCBLC удруге перетинає пряму CKCK у точці P≠CP \neq C. Прямі BPBP і AWAW перетинаються в точці TT. Доведіть, що AW=WTAW = WT.
10–11 класиРадикальна вісь
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-011

Послідовність з кубом та подільність члена на просте число

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) така, що a1=1a_1 = 1 і ak+1=ak3+1a_{k+1} = a_k^3 + 1, k∈Nk \in \mathbb{N}. Доведіть, що для будь-якого простого числа pp вигляду 3l+23l + 2, де ll — ціле невід'ємне число, існує таке натуральне число nn, що ana_n ділиться націло на pp.
10–11 класиМала теорема Ферма
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-012

Сілезькі натуральні числа та дріб із квадратів

Натуральне число nn назвемо сілезьким, якщо існують такі натуральні числа aa, bb, cc, що n=a2+b2+c2ab+bc+can = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ca}. а) Доведіть, що існує нескінченно багато сілезьких натуральних чисел. б) Доведіть, що не всі натуральні числа є сілезькими.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-001

Вписаний чотирикутник і дотик двох описаних кіл

Нехай чотирикутник ABCDABCD — вписаний, а точка PP лежить на стороні ABAB. Діагональ ACAC перетинає відрізок DPDP у точці QQ. Пряма, що проходить через точку PP паралельно стороні CDCD, перетинає продовження сторони CBCB за точку BB у точці KK, а пряма, що проходить через точку QQ паралельно діагоналі BDBD, перетинає продовження сторони CBCB за точку BB у точці LL. Доведіть, що описані кола трикутників BKPBKP та CLQCLQ дотикаються.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-002

Два непостійні многочлени з рівністю виразів

Чи існують два непостійних многочлени P(x)P(x) і Q(x)Q(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що P(x)10+P(x)9=Q(x)21+Q(x)20?P(x)^{10} + P(x)^9 = Q(x)^{21} + Q(x)^{20}?
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-003

Гра з орієнтуванням відрізків решітки та цикл

Анна та Боб грають у гру на нескінченній клітчастій решітці (сторона клітинки дорівнює 1), виконуючи ходи по черзі. Анна ходить першою. Хід полягає в тому, щоб орієнтувати один з одиничних відрізків решітки, який не був орієнтований раніше. Якщо в певний момент деякі орієнтовані відрізки утворюють орієнтований цикл, то виграє Боб. Чи дійсно стратегія Боба гарантує йому перемогу?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-004

Значення НСД двох лінійних виразів

Нехай a,b,c,da, b, c, d — натуральні числа такі, що ad≠bcad \neq bc та НСД(a,b,c,d)=1(a, b, c, d) = 1. Нехай SS — множина всіх значень, яких набуває вираз НСД(an+b,cn+d)(an + b, cn + d), коли nn пробігає всі натуральні числа. Доведіть, що SS є множиною всіх натуральних дільників деякого натурального числа.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-005

Кількість способів сполучити 2n точок на колі стрілками

Нехай nn — натуральне число. На колі зафіксовано 2n2n різних точок. Знайдіть кількість способів сполучити ці точки nn стрілками (орієнтованими відрізками) так, щоб виконувалися такі умови: - кожна з 2n2n точок є початком або кінцем деякої стрілки; - жодні дві стрілки не перетинаються; - не знайдеться двох стрілок AB‾\overline{AB} та CD‾\overline{CD} таких, що точки A,B,C,DA, B, C, D розташовані на колі в зазначеному порядку за годинниковою стрілкою (не обов'язково поспіль).
10–11 класиБієкції
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-006

Дотичні з точок кола і описане коло трикутника

Зафіксуємо коло Γ\Gamma, пряму ll, що дотикається до кола Γ\Gamma, і ще одне коло Ω\Omega, яке не має спільних точок із прямою ll, причому кола Γ\Gamma і Ω\Omega лежать по різні боки від ll. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені зі змінної точки XX, що лежить на колі Ω\Omega, перетинають пряму ll у точках YY та ZZ. Доведіть, що коли точка XX пробігає коло Ω\Omega, то описане коло трикутника XYZXYZ дотикається до двох фіксованих кіл.
10–11 класиІнверсія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-001

Вписаний чотирикутник із середин

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник з ∠DAB=∠BCD=90∘\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ} та ∠ABC>∠CDA\angle ABC > \angle CDA. Нехай QQ і RR — точки на відрізках BCBC і CDCD відповідно, такі, що пряма QRQR перетинає прямі ABAB і ADAD у точках PP і SS відповідно. Відомо, що PQ=RSPQ = RS. Нехай MM — середина діагоналі BDBD, а NN — середина відрізка QRQR. Доведіть, що M,N,AM, N, A і CC лежать на одному колі.
10–11 класиОписане коло3 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-002

Розфарбування натуральних чисел з локальною адитивністю

Знайдіть найменше натуральне число kk, для якого існують розфарбування натуральних чисел Z>0\mathbb{Z}_{>0} у kk кольорів і функція f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} з такими двома властивостями: (i) Для всіх натуральних чисел m,nm, n одного кольору f(m+n)=f(m)+f(n)f(m+n)=f(m)+f(n). (ii) Існують натуральні числа m,nm, n такі, що f(m+n)≠f(m)+f(n)f(m+n) \neq f(m)+f(n). У розфарбуванні Z>0\mathbb{Z}_{>0} у kk кольорів кожне число зафарбовано рівно в один із kk кольорів. І в (i), і в (ii) натуральні числа m,nm, n не обов’язково різні.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…3 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-003

Шлях равлика на прямих з чергуванням поворотів

На площині проведено 20172017 прямих так, що жодні 33 з них не проходять через одну точку. Равлик Турбо може повзти вздовж прямих у такий спосіб: спочатку він рухається однією з прямих і продовжує рухатися цією прямою, доки не досягне точки перетину двох прямих. У точці перетину він продовжує свою подорож іншою прямою, повертаючи ліворуч або праворуч, чергуючи напрям, який обирає, у кожній точці перетину, через яку проходить. Чи може статися так, що він вдруге проповзе відрізок прямої, але у протилежному напрямі, ніж першого разу?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…4 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-004

Шаховий турнір із заданими ступенями

Нехай n≥1n \geq 1 — ціле число, і нехай t1<t2<…<tnt_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n} — додатні цілі числа. У групі з tn+1t_{n}+1 людей грають у шахи. Дві людини можуть грати одна з одною щонайбільше один раз. Доведіть, що можуть одночасно виконуватися такі умови: i) Кількість зіграних партій кожною людиною є одним із чисел t1,t2,…,tnt_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}, ii) Для кожного ii з 1≤i≤n1 \leq i \leq n є хтось, хто зіграв рівно tit_{i} шахових партій.
10–11 класиСтепені вершин4 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-005

n-ки зі степенем 2 у добутку

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. nn-ка (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) додатних цілих чисел називається дорогою, якщо існує додатне ціле число kk таке, що (a1+a2)(a2+a3)⋯(an−1+an)(an+a1)=22k−1.(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3}) \cdots (a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})=2^{2k-1}. a) Знайдіть усі додатні цілі числа n≥2n \geq 2, для яких існує дорога nn-ка. b) Доведіть, що для кожного непарного додатного цілого числа mm існує ціле число n≥2n \geq 2 таке, що mm належить до дорогої nn-ки. У добутку в лівій частині рівно nn множників.
10–11 класиМетод нескінченного спуску2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-013

Гра з десятковими цифрами за модулем простого числа

Нехай p⩾2p \geqslant 2 — просте число. Едуардо та Фернандо грають у таку гру, роблячи ходи по черзі: кожним ходом гравець, чия черга ходити, обирає індекс ii з множини {0,1,…,p−1}\{0,1, \ldots, p-1\}, який ще не обирали ні він, ні інший гравець, а потім обирає елемент aia_{i} з множини {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Едуардо ходить першим. Гра закінчується після того, як усі індекси i∈{0,1,…,p−1}i \in\{0,1, \ldots, p-1\} буде обрано. Тоді обчислюють таке число: M=a0+10⋅a1+⋯+10p−1⋅ap−1=∑j=0p−1aj⋅10jM=a_{0}+10 \cdot a_{1}+\cdots+10^{p-1} \cdot a_{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1} a_{j} \cdot 10^{j} Метою Едуардо є зробити число MM кратним pp, а метою Фернандо — завадити цьому. Доведіть, що Едуардо має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-001

Значення параметра для виразів із різницями й сумами

Нехай qq — дійсне число. У Гугу є серветка з десятьма різними дійсними числами, і він записує на дошці такі три рядки дійсних чисел: - У першому рядку Гугу записує кожне число виду a−ba-b, де aa та bb — два (не обов'язково різні) числа з його серветки. - У другому рядку Гугу записує кожне число виду qabq a b, де aa та bb — два (не обов'язково різні) числа з першого рядка. - У третьому рядку Гугу записує кожне число виду a2+b2−c2−d2a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}, де a,b,c,da, b, c, d — чотири (не обов'язково різні) числа з першого рядка. Визначте всі значення qq такі, що, незалежно від чисел на серветці Гугу, кожне число з другого рядка також є числом у третьому рядку.
10–11 класиМіркування за модулем2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-010

Мінімальна кількість обмінів для хамелеонів

Нехай nn — натуральне число. Хамелеоном назвемо довільну послідовність із 3n3n літер, у якій кожна з літер aa, bb і cc трапляється рівно nn разів. Обміном назвемо транспозицію двох сусідніх літер у хамелеоні. Доведіть, що для будь-якого хамелеона XX існує хамелеон YY такий, що XX не можна перетворити на YY менш ніж за 3n2/23n^{2}/2 обмінів.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.