Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-005

Лінійні нерівності для сум Фібоначчі

Послідовність c0,c1,…,cn,…c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n}, \ldots задано умовами c0=1c_{0}=1, c1=0c_{1}=0 і cn+2=cn+1+cnc_{n+2}=c_{n+1}+c_{n} для n≥0n \geq 0. Розглянемо множину SS впорядкованих пар (x,y)(x, y), для яких існує скінченна множина JJ натуральних чисел така, що x=∑j∈Jcjx=\sum_{j \in J} c_{j}, y=∑j∈Jcj−1y=\sum_{j \in J} c_{j-1}. Доведіть, що існують дійсні числа α\alpha, β\beta і mm, MM з такою властивістю: впорядкована пара невід'ємних цілих чисел (x,y)(x, y) задовольняє нерівність m<αx+βy<Mm<\alpha x+\beta y<M тоді й лише тоді, коли (x,y)∈S(x, y) \in S. N. B. Сума за елементами порожньої множини вважається рівною 00.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-014

Опуклі многокутники зі зваженою сумою

Нехай SS — скінченна множина точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Для кожного опуклого многокутника PP, вершини якого належать SS, нехай a(P)a(P) — кількість вершин PP, а b(P)b(P) — кількість точок SS, які лежать поза PP. Доведіть, що для кожного дійсного числа xx ∑Pxa(P)(1−x)b(P)=1,\sum_{P} x^{a(P)}(1-x)^{b(P)}=1, де сума береться за всіма опуклими многокутниками з вершинами в SS. Зауваження. Відрізок, точка й порожня множина вважаються опуклими многокутниками з 2, 1 і 0 вершинами відповідно.
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-020

Монотонність послідовності із сумою цілих частин

Послідовність f(1),f(2),f(3),…f(1), f(2), f(3), \ldots задано формулою f(n)=1n(⌊n1⌋+⌊n2⌋+⋯+⌊nn⌋),f(n)=\frac{1}{n}\left(\left\lfloor\frac{n}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{n}{n}\right\rfloor\right), де ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначає цілу частину числа xx. a. Доведіть, що нерівність f(n+1)>f(n)f(n+1)>f(n) виконується нескінченно часто. b. Доведіть, що нерівність f(n+1)<f(n)f(n+1)<f(n) виконується нескінченно часто.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-015

Матриці перестановок через перемикання прямокутників

Торт має форму квадрата n×nn \times n, складеного з n2n^2 одиничних квадратиків. Полуниці лежать на деяких одиничних квадратиках так, що кожен рядок і кожен стовпчик містить рівно одну полуницю; назвемо таке розташування A\mathcal{A}. Нехай B\mathcal{B} — інше таке розташування. Припустимо, що кожен клітчастий прямокутник з однією вершиною у верхньому лівому куті торта містить не менше полуниць розташування B\mathcal{B}, ніж розташування A\mathcal{A}. Доведіть, що розташування B\mathcal{B} можна отримати з A\mathcal{A}, виконавши кілька перемикань, означених так: Перемикання полягає у виборі клітчастого прямокутника лише з двома полуницями, розташованими в його верхньому правому куті та нижньому лівому куті, і переміщенні цих двох полуниць до двох інших кутів цього прямокутника.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-003

Нерівність для суми дробів із добутками

Доведіть нерівність ∑i<jaiajai+aj≤n2(a1+a2+⋯+an)∑i<jaiaj\sum_{i<j} \frac{a_{i} a_{j}}{a_{i}+a_{j}} \leq \frac{n}{2\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)} \sum_{i<j} a_{i} a_{j} для додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-021

Цілі розв’язки показникового діофантового рівняння

Знайдіть усі цілі розв’язки рівняння x7−1x−1=y5−1\frac{x^{7}-1}{x-1}=y^{5}-1
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-004

Нерівність із коренями зі сторін трикутника

Нехай a,b,ca, b, c — сторони трикутника. Доведіть, що b+c−ab+c−a+c+a−bc+a−b+a+b−ca+b−c≤3.\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}} \leq 3 .
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-007

Зовнівписане коло і перпендикулярність

У трикутнику ABCA B C нехай JJ — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BCB C в точці A1A_{1}, а до продовжень сторін ACA C і ABA B — у точках B1B_{1} і C1C_{1} відповідно. Припустимо, що прямі A1B1A_{1} B_{1} і ABA B перпендикулярні й перетинаються в точці DD. Нехай EE — основа перпендикуляра, проведеного з C1C_{1} до прямої DJD J. Знайдіть кути ∠BEA1\angle B E A_{1} і ∠AEB1\angle A E B_{1}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-016

Існування симетричних турнірів

(n,k)(n, k)-турніром називається змагання з nn учасниками, що проводиться в kk турах, таке, що: (i) Кожен учасник грає в кожному турі, і будь-які два учасники зустрічаються не більше одного разу. (ii) Якщо учасник AA зустрічається з учасником BB у турі ii, учасник CC зустрічається з учасником DD у турі ii, а учасник AA зустрічається з учасником CC у турі jj, то учасник BB зустрічається з учасником DD у турі jj. Визначте всі пари (n,k)(n, k), для яких існує (n,k)(n, k)-турнір.
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-022

Локальні чемпіони у лінійних діофантових вагах

Нехай a>b>1a > b > 1 — взаємно прості натуральні числа. Визначимо вагу цілого числа cc, позначену через w(c)w(c), як найменше можливе значення ∣x∣+∣y∣|x| + |y|, взяте по всіх парах цілих чисел xx і yy таких, що ax+by=c.a x + b y = c. Ціле число cc називається локальним чемпіоном, якщо w(c)≥w(c±a)w(c) \geq w(c \pm a) і w(c)≥w(c±b)w(c) \geq w(c \pm b). Знайдіть усіх локальних чемпіонів та визначте їхню кількість.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-008

Чотири прямі через одну точку в конфігурації дотичних кіл

Кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} зовні дотикаються в точці DD і внутрішньо дотикаються до кола ω\omega в точках EE і FF відповідно. Пряма tt — спільна дотична до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} в точці DD. Нехай ABAB — діаметр кола ω\omega, перпендикулярний до прямої tt, причому AA, EE і O1O_{1} лежать по один бік від прямої tt. Доведіть, що прямі AO1A O_{1}, BO2B O_{2}, EFEF і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-017

Замощення дірявого трикутника ромбами

Дірявий трикутник — це спрямований вгору рівносторонній трикутник зі стороною nn, з якого вирізано nn спрямованих вгору одиничних трикутних отворів. Ромб — це одиничний ромб з кутами 60∘60^{\circ}-120∘120^{\circ}. Доведіть, що дірявий трикутник TT можна замостити ромбами тоді й лише тоді, коли виконується така умова: кожен спрямований вгору рівносторонній трикутник зі стороною kk у TT містить не більше ніж kk отворів, при 1≤k≤n1 \leq k \leq n.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-023

Степінь двійки плюс показник за модулем

Доведіть, що для кожного натурального числа nn існує ціле число mm таке, що 2m+m2^{m}+m ділиться на nn.
10–11 класиСтепені за модулем. Періодичність…
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-018

Антиподні пари на опуклому многограннику

Розглянемо опуклий многогранник без паралельних ребер і без ребра, паралельного до будь-якої грані, крім двох граней, прилеглих до нього. Назвемо пару точок многогранника антиподною, якщо існують дві паралельні площини, що проходять через ці точки і такі, що многогранник міститься між цими площинами. Нехай AA — кількість антиподних пар вершин, а BB — кількість антиподних пар середин ребер. Визначте різницю A−BA-B через кількості вершин, ребер і граней.
10–11 класиПланарні графи2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-009

Трикутник із кіл на серединах дуг

У трикутнику ABCA B C нехай Ma,Mb,McM_{a}, M_{b}, M_{c} — відповідно середини сторін BC,CA,ABB C, C A, A B, а Ta,Tb,TcT_{a}, T_{b}, T_{c} — середини дуг BC,CA,ABB C, C A, A B описаного кола трикутника ABCA B C, що не містять протилежних вершин. Для i∈{a,b,c}i \in \{a, b, c\} нехай ωi\omega_{i} — коло з діаметром MiTiM_{i} T_{i}. Нехай pip_{i} — спільна зовнішня дотична до кіл ωj,ωk({i,j,k}={a,b,c})\omega_{j}, \omega_{k}(\{i, j, k\}=\{a, b, c\}) така, що ωi\omega_{i} лежить з протилежного боку від pip_{i}, ніж ωj,ωk\omega_{j}, \omega_{k}. Доведіть, що прямі pa,pb,pcp_{a}, p_{b}, p_{c} утворюють трикутник, подібний до ABCA B C, і знайдіть коефіцієнт подібності.
10–11 класиГомотерія і подібність
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-010

Нерівність сторін чотирикутника з дотичними колами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Коло, що проходить через точки AA і DD, і коло, що проходить через точки BB і CC, дотикаються зовні в точці PP всередині чотирикутника. Припустимо, що ∠PAB+∠PDC≤90∘ і ∠PBA+∠PCD≤90∘.\angle PAB + \angle PDC \leq 90^{\circ} \quad \text{ і } \quad \angle PBA + \angle PCD \leq 90^{\circ}. Доведіть, що AB+CD≥BC+ADAB + CD \geq BC + AD.
10–11 класиКола, що дотикаються
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-011

Площі трикутників на сторонах многокутника

Кожній стороні aa опуклого многокутника ставимо у відповідність максимальну площу трикутника, що міститься в многокутнику і має aa однією зі своїх сторін. Доведіть, що сума площ, поставлених у відповідність усім сторонам многокутника, не менша за подвоєну площу многокутника.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2006-003

Квадрати в рекурентній послідовності

Послідовність натуральних чисел {an}\{a_{n}\} задано умовами a0=m і an+1=an5+487a_{0}=m \quad \text{ і } \quad a_{n+1}=a_{n}^{5}+487 для всіх n≥0n \geq 0. Знайдіть усі значення mm, для яких послідовність містить найбільшу можливу кількість квадратів.
10–11 класиМіркування за модулем
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2006-002

Циклічна система з оберненими величинами

Дійсні числа xx, yy і zz не всі рівні між собою і задовольняють рівності x+1y=y+1z=z+1x=kx + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x} = k Знайдіть усі можливі значення kk.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2006-001

Спільна точка описаних кіл трикутників

Нехай BB і CC — точки на двох фіксованих променях, що виходять з точки AA, такі, що сума AB+ACA B + A C стала. Доведіть, що існує точка D≠AD \neq A така, що описані кола трикутників ABCA B C проходять через DD для кожного вибору BB і CC.
10–11 класиОписане коло
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2006-004

Розфарбування шахової дошки зі сталою кількістю кольорів

Клітинки шахової дошки 100×100100 \times 100 пофарбовано в 100 різних кольорів. Кожна клітинка має лише один колір, і кожен колір використано рівно 100 разів. Доведіть, що існує рядок або стовпець дошки, у якому використано принаймні 10 кольорів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Балтійський шляхBW-2005-001

Послідовність сум степенів цифр

Нехай a0a_{0} — натуральне число. Визначимо послідовність ana_{n}, n≥0n \geq 0, таким чином: якщо an=∑i=0jci10ia_{n} = \sum_{i=0}^{j} c_{i} 10^{i} де cic_{i} — цілі числа, для яких 0≤ci≤90 \leq c_{i} \leq 9, то an+1=c02005+c12005+⋯+cj2005.a_{n+1} = c_{0}^{2005} + c_{1}^{2005} + \cdots + c_{j}^{2005}. Чи можна вибрати a0a_{0} так, щоб усі члени послідовності були різними?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Балтійський шляхBW-2005-002

Сума квадратів тангенсів з умовою на синуси

Нехай α\alpha, β\beta і γ\gamma — три кути, для яких 0≤α,β,γ<90∘0 \leq \alpha, \beta, \gamma < 90^\circ і sin⁡α+sin⁡β+sin⁡γ=1\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 1. Доведіть, що tg⁡2α+tg⁡2β+tg⁡2γ≥38\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \beta + \operatorname{tg}^2 \gamma \geq \frac{3}{8}
10–11 класиНерівність Коші
Балтійський шляхBW-2005-003

Сума, пов'язана з рекурентною послідовністю

Розглянемо послідовність aka_{k}, задану умовами a1=1a_{1}=1, a2=12a_{2}=\frac{1}{2}, ak+2=ak+12ak+1+14akak+1при k≥1a_{k+2}=a_{k}+\frac{1}{2} a_{k+1}+\frac{1}{4 a_{k} a_{k+1}} \quad \text{при } k \geq 1 Доведіть, що 1a1a3+1a2a4+1a3a5+⋯+1a98a100<4\frac{1}{a_{1} a_{3}}+\frac{1}{a_{2} a_{4}}+\frac{1}{a_{3} a_{5}}+\cdots+\frac{1}{a_{98} a_{100}}<4
10–11 класиСуми послідовностей
Балтійський шляхBW-2005-004

Три різні многочлени з умовою P(x²+1) = P(x)²+1

Знайдіть три різні многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що P(x2+1)=P(x)2+1P\left(x^{2}+1\right)=P(x)^{2}+1 для всіх дійсних xx.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.