Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2025-003

Прості дільники чисел Мерсенна, не більші за 7

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких усі прості дільники числа 2n−12^n - 1 не перевищують 7.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-001

Ітеративне голосування в колі гравців

nn гравців хокейної команди зібралися, щоб обрати капітана команди. Спочатку вони стають у коло, і кожен голосує за гравця ліворуч від себе. Гравці оновлюватимуть свої голоси протягом серії раундів. В одному раунді гравці по черзі (один за одним) оновлюють свої голоси за такою процедурою: на момент оновлення, якщо aa голосує за bb, а bb голосує за cc, то aa змінює свій голос на cc. (Зауважимо, що aa, bb і cc не обов’язково різні; якщо b=cb = c, то голос aa під час цього оновлення не змінюється.) Кожен гравець оновлює свій голос рівно один раз у кожному раунді, у порядку, визначеному гравцями (можливо, різному в різних раундах). Вони повторюють цю процедуру оновлення протягом nn раундів. Доведіть, що в цей момент усі nn гравців одноголосно голосуватимуть за одну й ту саму особу.
10–11 класиОрієнтовані графи
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-002

Показникове рівняння з простими-близнюками

Знайдіть усі натуральні числа aa, bb, cc, pp, де pp і p+2p + 2 — непарні прості числа, для яких 2apb=(p+2)c−1.2^{a}p^{b} = (p + 2)^{c} - 1.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-003

Рефлексивний розклад добутку многочленів

Многочлен cdxd+cd−1xd−1+⋯+c1x+c0c_{d}x^{d} + c_{d - 1}x^{d - 1} + \dots + c_{1}x + c_{0} степеня dd називається рефлексивним, якщо існує ціле число n≥dn \geq d таке, що ci=cn−ic_{i} = c_{n - i} для кожного 0≤i≤n0 \leq i \leq n, де ci=0c_{i} = 0 при i>di > d. Нехай ℓ≥2\ell \geq 2 — ціле число, а p(x)p(x) — многочлен із цілими коефіцієнтами. Доведіть, що існують рефлексивні многочлени q(x),r(x)q(x), r(x) із цілими коефіцієнтами такі, що (1+x+x2+⋯+xℓ−1)p(x)=q(x)+xℓr(x).(1 + x + x^{2} + \dots + x^{\ell -1})p(x) = q(x) + x^{\ell}r(x).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-004

Інцентри, зовнішні дотичні та спільна хорда

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Γ\Gamma і AB≠ACAB \neq AC. Нехай DD і EE лежать на дузі BCBC кола Γ\Gamma, що не містить AA, так, що ∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC. Нехай інцентри трикутників BAEBAE і CADCAD — це XX і YY відповідно, а зовнішні дотичні до вписаних кіл трикутників BAEBAE і CADCAD перетинаються в точці ZZ. Доведіть, що ZZ лежить на спільній хорді кола Γ\Gamma й описаного кола трикутника AXYAXY.
10–11 класиТеорема про тризуб
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2025-005

Рухи мурахи по розбиттю прямокутника

Прямокутник RR розбито на скінченну множину SS менших прямокутників зі сторонами, паралельними сторонам RR, так, що жодні три прямокутники з SS не мають спільної вершини. Мураха спочатку знаходиться в лівому нижньому куті RR. За одну операцію ми можемо вибрати прямокутник r∈Sr \in S такий, що мураха зараз знаходиться в одній з його вершин, скажімо cc, і перемістити мураху в одну з двох сусідніх до cc вершин прямокутника rr. Припустимо, що після скінченної кількості операцій мураха опиняється у правому верхньому куті RR. Доведіть, що деякий прямокутник r∈Sr \in S був обраний принаймні у двох операціях.
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2025-001

Єдиність закрученої суми для п'ятицифрових чисел

Для п'ятицифрового числа n=abcden = abcde визначимо закручену суму числа nn як значення bcdea+cdeab+deabc+eabcd.bcdea + cdeab + deabc + eabcd. Наприклад, закручена сума числа 2025320253 дорівнює 02532+25320+53202+32025=113079.02532 + 25320 + 53202 + 32025 = 113079. Нехай mm і nn — два п'ятицифрові числа з однаковою закрученою сумою. Доведіть, що m=nm = n.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2025-002

Знакова сума обмежених натуральних чисел

Нехай n≥2n \ge 2 — ціле число, і нехай z1,…,znz_1, \dots, z_n — натуральні числа, які задовольняють: - zj≤jz_j \le j для j=1,…,nj = 1, \dots, n; - z1+⋯+znz_1 + \dots + z_n парне. Доведіть, що існують s1,…,sn∈{−1,1}s_1, \dots, s_n \in \{-1, 1\} такі, що: s1z1+s2z2+⋯+snzn=0.s_1 z_1 + s_2 z_2 + \dots + s_n z_n = 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2025-003

Збереження множин суперників при перестановці

Група з 4050 друзів грає в турнірі з відеоігор. Для цього є 2025 комп'ютерів в одній кімнаті, позначених a1,…,a2025a_1, \dots, a_{2025}, і 2025 комп'ютерів в іншій кімнаті, позначених b1,…,b2025b_1, \dots, b_{2025}. Гравець на комп'ютері aia_i завжди грає проти гравців на bib_i, bi+2b_{i+2}, bi+3b_{i+3} та bi+4b_{i+4} (зокрема, не проти bi+1b_{i+1}), причому комп'ютери нумеруються циклічно. Після першого раунду всі гравці обирають комп'ютер у своїй кімнаті для другого раунду. Потім вони помічають, що кожен у другому раунді має тих самих суперників, що й у першому раунді. Доведіть, що якщо хтось обрав той самий комп'ютер в обох раундах, то кожен обрав той самий комп'ютер в обох раундах.
10–11 класиДвочасткові графи
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2025-004

Три прямі через одну точку кола

Дано △ABC\triangle ABC з описаним колом Γ\Gamma. Нехай MM — середина дуги BCBC кола Γ\Gamma, на якій не лежить AA. Точка NN на колі Γ\Gamma діаметрально протилежна точці AA. Пряма, що проходить через BB перпендикулярно до прямої AMAM, перетинає AMAM у точці DD і перетинає Γ\Gamma вдруге в точці P≠BP \neq B. Пряма, що проходить через DD перпендикулярно до прямої ACAC, перетинає ACAC у точці EE і перетинає BCBC у точці FF. Доведіть, що прямі NDND, MFMF і PEPE перетинаються в одній точці.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2025-005

Прості дільники числа 2^n - 1 не більші 7

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких усі прості дільники числа 2n−12^n - 1 не перевищують 7.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-039

НСД обернених чисел в арифметичній прогресії

Нехай aa, bb і cc — попарно різні натуральні числа такі, що 1a\frac{1}{a}, 1b\frac{1}{b}, 1c\frac{1}{c} у цьому порядку утворюють зростаючу арифметичну прогресію. Доведіть, що НСД(a,b)>1\text{НСД}(a, b) > 1.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-001

Параболи з директрисами, визначеними чотирикутником

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Визначимо параболи PA\mathcal{P}_A, PB\mathcal{P}_B, PC\mathcal{P}_C і PD\mathcal{P}_D так, щоб вони мали директриси BDBD, CACA, DBDB і ACAC та фокуси AA, BB, CC і DD відповідно. Доведіть, що жодні дві з цих парабол не перетинаються більше ніж один раз. (Парабола з директрисою ℓ\ell і фокусом PP складається з усіх точок XX, для яких PXPX дорівнює відстані від PP до прямої ℓ\ell.)
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-003

Перетини описаних кіл у паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а OO — точка всередині паралелограма ABCDABCD. Припустімо, що описані кола трикутників OABOAB і OCDOCD перетинаються в точці P≠OP \neq O, а описані кола трикутників OBCOBC і OADOAD перетинаються в точці Q≠OQ \neq O. Доведіть, що ∠POQ\angle POQ дорівнює одному з кутів чотирикутника ABCDABCD.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-041

Геометричне місце центра описаного кола з бісектрисою

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що перетинаються в різних точках AA і BB. Точка XX рухається по колу ω1\omega_{1}, а точка YY на колі ω2\omega_{2} вибрана так, що ABAB ділить навпіл кут ∠XAY\angle XAY. Доведіть, що коли XX рухається по колу ω1\omega_{1}, центр описаного кола трикутника △AXY\triangle AXY (якщо він існує) рухається по фіксованій прямій.
10–11 класиТочка перетину серединних перпенд…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-043

Ортоцентр, висота і прямий кут

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH. Точки EE і FF лежать на відрізках AC‾\overline{AC} і AB‾\overline{AB} відповідно так, що ∠EHF=90∘\angle EHF = 90^\circ. Нехай XX — основа висоти з HH на EF‾\overline{EF}. Доведіть, що ∠BXC=90∘\angle BXC = 90^\circ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-044

Умова на одиничному колі для суми дробів

Кожне з комплексних чисел ω1\omega_{1}, …\ldots, ωn\omega_{n} має модуль 11. Нехай zz — комплексне число, відмінне від ω1\omega_{1}, …\ldots, ωn\omega_{n}, таке, що z+ω1z−ω1+⋯+z+ωnz−ωn=0.\frac{z + \omega_{1}}{z - \omega_{1}} + \dots + \frac{z + \omega_{n}}{z - \omega_{n}} = 0. Доведіть, що ∣z∣=1|z| = 1.
10–11 класиКомплексні числа2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-046

Інцентр, дотичне коло з центром на описаному колі та прямий кут

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник з інцентром II. Вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC дотикається до сторони BC‾\overline{BC} в точці DD. Нехай MM — середина сторони BC‾\overline{BC}, а пряма AIAI перетинає описане коло трикутника △ABC\triangle ABC знову в точці L≠AL \neq A. Нехай ω\omega — коло з центром у LL, дотичне до прямих ABAB і ACAC. Якщо ω\omega перетинає відрізок AD‾\overline{AD} в точці PP, доведіть, що ∠IPM=90∘\angle IPM = 90^{\circ}.
10–11 класиГомотерія і подібність3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2025-004

Кути в паралелограмі з описаними колами

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а MM — точка перетину діагоналей. Описане коло трикутника △ABM\triangle ABM перетинає відрізок ADAD у точці E≠AE \neq A, а описане коло трикутника △EMD\triangle EMD перетинає відрізок BEBE у точці F≠EF \neq E. Доведіть, що ∠ACB=∠DCF\angle ACB = \angle DCF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2025-001

Рекурентна послідовність, що дає повні квадрати

Розглянемо послідовність y0,y1,…y_0, y_1, \dots таку, що y0=−14y_0 = -\frac{1}{4} і y1=0y_1 = 0, а крім того yn+1+yn−1=4yn+1y_{n+1} + y_{n-1} = 4y_n + 1 для всіх n≥1n \ge 1. Доведіть, що для всіх n≥0n \ge 0 вираз 2y2n+322y_{2n} + \frac{3}{2} є a) додатним цілим числом, а b) квадратом цілого числа.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2025-005

Можливий квадрат виду 44...41 з непарною кількістю четвірок

Чи може число виду 44...41, яке складається з непарної кількості четвірок, за якими стоїть 1, бути квадратом?
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2025-002

Діагоналі паралелограма і перетини кіл

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а MM — точка перетину його діагоналей. Описане коло △ABM\triangle ABM перетинає відрізок ADAD у точці E≠AE \ne A, а описане коло △EMD\triangle EMD перетинає відрізок BEBE у точці F≠EF \ne E. Доведіть, що ∠ACB=∠DCF\angle ACB = \angle DCF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2025-003

Чи може число з четвірок та одиниці в кінці бути квадратом

Чи може ціле число вигляду 44…4144\ldots41 — яке складається з непарної кількості четвірок, за якими йде 11, — бути квадратом?
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2025-017

Граф дружби з періодичними передачами

У групі людей деякі є друзями (дружба взаємна), і кожна людина pp має список f1(p),f2(p),…,fd(p)(p)f_1(p), f_2(p), \dots, f_{d(p)}(p) своїх друзів, де d(p)d(p) — кількість друзів людини pp. Крім того, будь-які двоє людей з'єднані ланцюжком дружніх зв'язків. Кожна людина також має водяну кульку. Далі грають у таку гру, доки в когось не опиниться більше ніж одна водяна кулька: у раунді rr кожна людина pp кидає водяну кульку, яку вона наразі має, своєму другові fs(p)f_s(p) такому, що d(p)∣r−sd(p) \mid r - s. Доведіть, що якщо гра ніколи не закінчується, то всі мають однакову кількість друзів.
10–11 класиСтепені вершин
Відбіркові тести на IMOTST-2025-016

Період функції за значеннями

Нехай nn — додатне ціле число. Ана і Банана грають у гру. Банана загадує функцію f:Z→Zf: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} і просте число pp. Він повідомляє Ані, що ff є непостійною, p<100p < 100, і f(x+p)=f(x)f(x+p) = f(x) для всіх цілих чисел xx. Мета Ани — визначити значення pp. Вона записує nn цілих чисел x1,…,xnx_1, \dots, x_n. Побачивши цей список, Банана записує f(x1),…,f(xn)f(x_1), \dots, f(x_n) по порядку. Ана виграє, якщо вона може визначити значення pp з цієї інформації. Знайдіть найменше значення nn, для якого Ана має виграшну стратегію.
10–11 класиЗв’язність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.