Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Відбіркові тести на IMOTST-2024-008

Гра на дошці з двійковими вагами

Гравець Нуль і гравець Один грають у гру на дошці n×nn \times n (n≥1n \ge 1). Стовпці цієї дошки n×nn \times n пронумеровано степенями двійки, тож маємо стовпець 1, стовпець 2, стовпець 4 аж до стовпця 2n−12^{n-1}. По черзі гравці ставлять своє число (тобто Нуль — 0, а Один — 1) в одну з порожніх клітинок. Починає гравець Нуль. Коли дошка заповнена, гра закінчується, і в кожному рядку утворюється (обернено-двійкове) число додаванням значень клітинок, у яких стоїть 1. Так, якщо n=4n = 4, то рядок з 0101 містить число 0⋅1+1⋅2+0⋅4+1⋅8=100 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 8 = 10. a) Для яких натуральних чисел nn гравець Один завжди може забезпечити, що принаймні один з рядків ділиться на 4? b) А для яких натуральних чисел nn гравець Один завжди може забезпечити, що принаймні один з рядків ділиться на 3?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові тести на IMOTST-2024-009

Корені трикратної композиції многочлена

Нехай P(x)P(x) — многочлен із цілими коефіцієнтами степеня n>1n > 1, для якого Q(x)=P(P(P(x)))−P(x)Q(x) = P(P(P(x))) - P(x) має рівно n3n^3 різних дійсних коренів. Доведіть, що корені многочлена Q(x)Q(x) можна розбити на дві групи з однаковими середніми арифметичними.
10–11 класиТеорема Вієта
Відбіркові тести на IMOTST-2024-011

Симетрична нерівність з упорядкованими дійсними числами

Дано дійсні числа aa, bb і cc, для яких виконується 0≤a≤b≤c0 \leq a \leq b \leq c і a+b+c=1a+b+c=1. Доведіть, що abb−a+bcc−b+acc−a<14a b \sqrt{b-a}+b c \sqrt{c-b}+a c \sqrt{c-a}<\frac{1}{4}
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2024-012

Паралельність у конфігурації висот трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, такий, що ∣AB∣<∣AC∣|AB| < |AC|, з описаним колом Γ\Gamma з центром OO. Точки D,ED, E і FF побудовано як основи висот з A,BA, B і CC відповідно. Нехай PP — точка перетину дотичних до кола Γ\Gamma, проведених через BB і CC. Пряма через PP, перпендикулярна до прямої EFEF, перетинає пряму ADAD у точці QQ. Нехай RR — ортогональна проєкція AA на пряму EFEF. Доведіть, що прямі DRDR і OQOQ паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2024-013

Паралельні прямі у конфігурації висот трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник такий, що ∣AB∣<∣AC∣|AB| < |AC|, з описаним колом Γ\Gamma з центром OO. Точки DD, EE і FF побудовано як основи висот, проведених відповідно з AA, BB і CC. Точку перетину дотичних до кола Γ\Gamma, проведених через BB і CC, позначимо PP. Пряма, що проходить через PP перпендикулярно до прямої EFEF, перетинає пряму ADAD в точці QQ. Нехай RR — ортогональна проєкція AA на пряму EFEF. Доведіть, що прямі DRDR і OQOQ паралельні.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2024-014

Максимальна кількість мостів проти пожежі на дереві

Дано натуральне число nn. Є nn островів із n−1n-1 мостами між ними так, що з кожного острова можна потрапити на будь-який інший острів. Одного дня опівдні на одному з островів спалахує пожежа. Щоранку вогонь поширюється на всі сусідні острови (ті острови, що з'єднані мостом). Щоб стримати вогонь, щоночі підривають один міст, доки вогонь ще має куди поширюватися. Нехай XX — мінімальна кількість мостів, яку потрібно підірвати для даної групи островів і осередку пожежі. Знайдіть максимум XX за всіма можливими групами островів і осередками пожежі.
10–11 класиДерева
Відбіркові тести на IMOTST-2024-015

Кратні та перестановки цифр: як дійти до одиниці

Спочатку на дошці написано натуральне число NN. Ми неодноразово замінюємо число за такими правилами: - замінити число на дошці його додатним кратним, - замінити число числом з тими самими цифрами в іншому порядку. (Дозволено, щоб нове число починалося з одного чи кількох нулів, які потім відкидаються.) Визначте, для яких значень NN можливо отримати 1 після серії ходів. Прикладом допустимих ходів є 5→20→140→041=415 \rightarrow 20 \rightarrow 140 \rightarrow 041=41.
10–11 класиТеорема Ейлера
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-001

Найменше b для гарної пари з a = 18

Пару (a,b)(a, b) додатних цілих чисел назвемо гарною, якщо aa ділить bb і a+1a+1 ділить b+1b+1. a. Доведіть, що для фіксованого додатного цілого числа aa існує нескінченно багато додатних цілих чисел bb таких, що пара (a,b)(a, b) є гарною. b. Для фіксованого додатного цілого числа aa визначте найменше ціле число b>ab>a таке, що (a,b)(a, b) є гарною. c. Тепер, взявши a=18a=18, визначте найменше додатне ціле число b>ab>a таке, що (a,b)(a, b) є гарною, і, крім того, a+2a+2 ділить b+2b+2.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-002

Рівнобедрений трикутник, утворений бісектрисою та двома колами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа бісектриси, проведеної з AA. Нехай EE та FF — відповідно перетин прямої ACAC з описаним колом трикутника ABDABD і перетин прямої ABAB з описаним колом трикутника ACDACD. Нехай також PP — перетин прямих BEBE і CFCF. a. Доведіть, що трикутник PBCPBC — рівнобедрений. b. Доведіть, що BD:BE=CD:CFBD : BE = CD : CF. c. Нехай F′F^{\prime} — точка, симетрична точці FF відносно середини відрізка BCBC. Доведіть, що трикутник EBF′EBF^{\prime} подібний до трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-003

Розбиття двійкового рядка на блоки з 2 або 3 цифр

Дано рядок із цифр 0 і 1. Джакомо хотів би поділити його на блоки з 2 або 3 послідовних цифр так, щоб виконувалась одна з таких двох умов: (1) у кожному блоці кожна (можлива) цифра 0 стоїть ліворуч від кожної (можливої) цифри 1. Тобто дозволені блоки — 00,01,11,000,001,011,11100,01,11,000,001,011,111; (2) у кожному блоці кожна (можлива) цифра 0 стоїть праворуч від кожної (можливої) цифри 1. Тобто дозволені блоки — 00,10,11,000,100,110,11100,10,11,000,100,110,111. Наприклад, для рядка 011011 розбиття 01∣10∣1101|10|11 не підходить, бо блоки не є ні всі типу (1), ні всі типу (2). Розбиття 011|011 натомість підходить, бо всі блоки типу (1). a. Нехай m,nm, n — цілі числа, більші або рівні 0, причому m+n≥2m+n \geq 2. Доведіть, що рядок, складений з mm цифр 0, за якими йдуть nn цифр 1, можна поділити на блоки так, як стверджує Джакомо. b. Нехай l≥4l \geq 4 — ціле число. Доведіть, що кількість рядків із цифр 0 і 1 довжини ll, для яких Джакомо не може здійснити таке розбиття, дорівнює 2l−32^{l-3}.
10–11 класиРозбиття на випадки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-001

Спрощення дробу з факторіалами під квадратним коренем

Відомо, що подане нижче значення є раціональним числом. Запишіть його у вигляді нескоротного дробу. 123!−122!122!−121!\sqrt{\frac{123! - 122!}{122! - 121!}}
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-012

Перестановка циклічних різниць

Нехай n≥2n \ge 2 — ціле число. Знайдіть усі набори дійсних чисел (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \dots, a_n) такі, що a1−2a2,a2−2a3,…,an−1−2an,an−2a1a_1 - 2a_2, a_2 - 2a_3, \dots, a_{n-1} - 2a_n, a_n - 2a_1 є перестановкою чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n. Зауважимо, що сам набір a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n також вважається перестановкою чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n.
10–11 класиІнші інваріанти
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-002

Трицифрові n з чудовими n+2024 і n-34

Натуральні числа, в яких усі цифри є простими числами, називаються чудовими числами. Знайдіть усі трицифрові натуральні числа nn такі, що n+2024n + 2024 і n−34n - 34 — обидва чудові числа. Існує рівно два такі натуральні числа nn.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-013

Функціональне рівняння з НСК на натуральних числах

Нехай NN позначає множину натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf : N \to N такі, що рівність НСК(m,f(m+f(n)))=НСК(f(m),f(m)+n)\text{НСК}(m, f(m + f(n))) = \text{НСК}(f(m), f(m) + n) справджується для будь-яких натуральних чисел mm і nn. Тут для натуральних чисел xx і yy через НСК(x,y)\text{НСК}(x, y) позначається їхнє найменше спільне кратне.
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-014

Покриття цілочисельної решітки Z-подібними ламаними

Назвемо точку на площині xyxy хорошою точкою, якщо кожна з її координат є цілим числом від 11 до 20002000. Також назвемо ламану ABCDABCD Z-подібною ламаною, якщо чотири точки A(x1,y1)A(x_1, y_1), B(x2,y2)B(x_2, y_2), C(x3,y3)C(x_3, y_3), D(x4,y4)D(x_4, y_4) задовольняють усі такі умови: AA, BB, CC, DD — хороші точки. x1<x2x_1 < x_2, y1=y2y_1 = y_2. x2>x3x_2 > x_3, y2−x2=y3−x3y_2 - x_2 = y_3 - x_3. x3<x4x_3 < x_4, y3=y4y_3 = y_4. Знайдіть найменше можливе натуральне число nn таке, що існують Z-подібні ламані Z1,Z2,…,ZnZ_1, Z_2, \dots, Z_n, які задовольняють таку умову: Будь-яка хороша точка PP лежить на ламаній ZiZ_i для деякого 1≤i≤n1 \le i \le n. Зауважимо, що ламана ABCDABCD є об'єднанням відрізків (включно з обома кінцями) ABAB, BCBC і CDCD.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-003

Коло через вершину рівностороннього трикутника, що дотикається до сторони

Розглянемо рівносторонній трикутник ABCABC зі стороною 1010. Коло, що проходить через AA, дотикається до сторони BCBC у її внутрішній точці XX і перетинає сторони ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно, причому обидві точки відмінні від точки AA. Відомо, що BX>CXBX > CX та AD+AE=13AD + AE = 13. Знайдіть довжину відрізка BXBX.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-004

Мажоритарне зведення ряду камінців

Нехай 0≤n≤550 \le n \le 5^5 — ціле число. Викладіть у ряд nn чорних камінців і 55−n5^5-n білих камінців та повторіть таку операцію 5 разів: поділіть ряд камінців на групи по 5 камінців зліва направо. Для кожної групи замініть 5 камінців у групі на один камінець того кольору, який трапляється серед них частіше. Знайдіть найменше можливе значення nn, для якого єдиний камінець, що залишиться в кінці, завжди буде чорним незалежно від початкового розташування камінців.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-015

Дотик серединного перпендикуляра до описаного кола

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із AB<ACAB < AC, OO — центр його описаного кола, а MM — середина дуги BCBC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить AA. Існує точка DD на продовженні сторони ABAB за точку BB, для якої BD=BMBD = BM, та існує точка EE на стороні ACAC (відмінна від кінців), для якої CE=CMCE = CM. Якщо описані кола трикутників ABEABE і ACDACD перетинаються в точці XX, відмінній від AA, доведіть, що серединний перпендикуляр до відрізка DEDE дотикається до описаного кола трикутника AOXAOX.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-016

Рівняння з коренем із добутку чотирьох чисел

Доведіть, що не існує натуральних чисел (a,b,c,d,n)(a, b, c, d, n), які задовольняють рівняння a2+b2+c2+d2−4abcd=7⋅22n−1a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 4\sqrt{abcd} = 7 \cdot 2^{2n-1}.
10–11 класиМіркування за модулем
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-005

Добуток цілих частин дорівнює біноміальному коефіцієнту

Знайдіть найменше ціле число n≥10n \ge 10 таке, що [n1][n2]⋯[n10]=(n10)\left[ \frac{n}{1} \right] \left[ \frac{n}{2} \right] \cdots \left[ \frac{n}{10} \right] = \binom{n}{10} Тут через [r][r] позначено найбільше ціле число, що не перевищує rr, для дійсного числа rr. Наприклад, [3.14]=3[3.14] = 3 і [5]=5[5] = 5.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-006

Коло, дотичне до сторони та описаного кола

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник, у якому AB=AC=5AB = AC = 5. Нехай DD — точка на стороні ABAB, така, що AD=3AD = 3, а EE — точка на стороні BCBC (відмінна від кінців BB і CC). Нехай ω\omega — коло, яке проходить через EE і дотикається до прямої ABAB у точці BB. Припустимо, що коло ω\omega дотикається до описаного кола трикутника ADEADE. Нехай FF — точка перетину кола ω\omega і прямої AEAE, відмінна від EE. Знайдіть довжину сторони BCBC, якщо CF=10CF = 10.
10–11 класиКола, що дотикаються
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-007

Прості числа й цілі числа, що дають повний квадрат

Знайдіть кількість пар (p,a)(p, a) простого числа pp та цілого числа aa таких, що p≥3p \ge 3, 1≤a≤20241 \le a \le 2024, і виконується така умова: a<p4a < p^4 і число ap4+2p3+2p2+1ap^4 + 2p^3 + 2p^2 + 1 є повним квадратом.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-008

Кортежі з функціонального рівняння на невід'ємних цілих

Нехай N0N_0 — множина невід'ємних цілих чисел, а Z\mathbb{Z} — множина цілих чисел. Знайдіть кількість можливих кортежів (f(0),f(1),…,f(2024))(f(0), f(1), \dots, f(2024)) для функції f:N0→Zf: N_0 \to \mathbb{Z}, що задовольняє f(m+n)2=f(m∣f(n)∣)+f(n2)f(m+n)^2 = f(m|f(n)|) + f(n^2) для будь-яких m,n∈N0m, n \in N_0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-009

Заповнення літерами з хорошими блоками

Розглянемо заповнення кожної клітинки таблиці 100×100100 \times 100 однією з літер J, M або O. Квадрат 2×22 \times 2 таблиці називається хорошим блоком, якщо він задовольняє одну з таких умов: Чотири клітинки мають літери рівно одного виду. Чотири клітинки мають літери рівно двох видів, і кожна літера трапляється двічі. Чотири клітинки мають літери рівно трьох видів, і клітинки в нижньому лівому та верхньому правому кутах мають однакову літеру. Знайдіть кількість способів заповнити 10000 клітинок таблиці так, щоб виконувалися такі дві умови: Кожен квадрат 2×22 \times 2 таблиці є хорошим блоком. Серед пар сусідніх клітинок (які мають спільну сторону) таблиці є рівно 10000 пар, у яких дві клітинки мають різні літери. Тут дві пари, що відрізняються лише порядком клітинок, вважаються тією самою парою і рахуються лише один раз. Два способи заповнення, які можна отримати один з одного поворотами чи відбиттями, вважаються різними.
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-010

Функція з трикутниками та найменша сума значень

Нехай NN — множина натуральних чисел. Функція f:N→Nf: N \to N задовольняє умову f(34)=2024f(34) = 2024, і для будь-яких натуральних чисел a,b,ca, b, c існує трикутник зі сторонами a+f(b)a+f(b), b+f(c)b+f(c), c+f(a)c+f(a). Знайдіть найменше можливе значення f(100)+f(101)+⋯+f(199)f(100) + f(101) + \dots + f(199) за цих умов. Зауважимо, що три точки, які лежать на одній прямій, не утворюють трикутника.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.