Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-002

Різниця кількості гарних і поганих чисел

Назвемо натуральне число гарним числом, якщо цифра 22 трапляється частіше, ніж цифра 33, і поганим числом, якщо цифра 33 трапляється частіше, ніж цифра 22. Наприклад, 20232023 — гарне число, бо цифра 22 трапляється двічі, а цифра 33 — один раз, а 123123 не є ні гарним, ні поганим числом, бо цифра 22 трапляється один раз і цифра 33 трапляється один раз. Знайдіть різницю між кількістю гарних чисел, не більших за 20232023, і кількістю поганих чисел, не більших за 20232023.
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-014

Перпендикулярність у конфігурації з медіаною та проєкціями

У гострокутному трикутнику ABCABC нехай DD, EE і FF — середини сторін BCBC, CACA і ABAB відповідно. Нехай XX і YY — основи перпендикулярів, проведених із DD до сторін ABAB і ACAC відповідно. Пряма, що проходить через FF і паралельна прямій XYXY, перетинає пряму DYDY в точці PP, відмінній від EE. Доведіть, що пряма ADAD і пряма EPEP перпендикулярні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-015

Послідовність, що рахує свої члени

Нехай cc — невід'ємне ціле число. Знайдіть усі послідовності натуральних чисел {an}n≥1\{a_n\}_{n \ge 1} такі, що для довільного натурального числа nn виконується така умова: Існує рівно ana_n натуральних чисел ii, для яких ai≤an+1+ca_i \le a_{n+1} + c.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-003

Рівносторонній трикутник з кутовими умовами

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 33, а точки DD, EE і FF лежать на сторонах BCBC, CACA і ABAB відповідно. Відомо, що BD=1BD = 1 і ∠ADE=∠DEF=60∘\angle ADE = \angle DEF = 60^\circ. Знайдіть довжину відрізка AFAF.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-016

Дільники і функція Ейлера в цілих відношеннях

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що ϕ(n)d(n)+1n\frac{\phi(n)^{d(n)} + 1}{n} є цілим числом, а nϕ(n)−1d(n)5\frac{n^{\phi(n)} - 1}{d(n)^5} — ні. Тут ϕ(n)\phi(n) позначає кількість цілих чисел у множині {1,…,n}\{1, \dots, n\}, взаємно простих із nn, а d(n)d(n) позначає кількість додатних дільників числа nn.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-004

Вираз з операцією x/(xy+1) для чисел від 100 до 1

Для додатних дійсних чисел x,yx, y додатне дійсне число x⋆yx \star y визначається як x⋆y=xxy+1x \star y = \frac{x}{xy+1}. Обчисліть такий вираз: (((⋯(((100⋆99)⋆98)⋆97)⋆⋯ )⋆3)⋆2)⋆1.(((\cdots (((100 \star 99) \star 98) \star 97) \star \cdots) \star 3) \star 2) \star 1.
10–11 класиПеретворення дробів
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-005

Різні числа в масштабованій арифметичній прогресії

Нехай a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 — різні натуральні числа. Знайдіть найменше можливе значення ∣a7−a1∣|a_7 - a_1| за умови, що послідовність a1,2a2,3a3,4a4,5a5,6a6,7a7a_1, 2a_2, 3a_3, 4a_4, 5a_5, 6a_6, 7a_7 є арифметичною прогресією. Послідовність x1,x2,…,x7x_1, x_2, \dots, x_7 називається арифметичною прогресією, якщо x2−x1=x3−x2=⋯=x7−x6x_2 - x_1 = x_3 - x_2 = \dots = x_7 - x_6.
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-017

Екстремальна сума за бієкціями

Позначимо S={1,2,…,3000}S = \{1, 2, \dots, 3000\}. Знайдіть найбільше можливе значення цілого числа XX, яке задовольняє таку умову: Для будь-якої бієкції f:S→Sf: S \to S існує бієкція g:S→Sg: S \to S така, що ∑k=13000(max⁡{f(f(k)),f(g(k)),g(f(k)),g(g(k))}−min⁡{f(f(k)),f(g(k)),g(f(k)),g(g(k))})\sum_{k=1}^{3000} \left( \max\{f(f(k)), f(g(k)), g(f(k)), g(g(k))\} - \min\{f(f(k)), f(g(k)), g(f(k)), g(g(k))\} \right) не менше ніж XX.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-006

Площа правильного шестикутника, вписаного в прямокутник

Правильний шестикутник вписано в прямокутник, як показано на рисунку. Площі зафарбованих трикутника й чотирикутника дорівнюють 2020 і 2323 відповідно. Знайдіть площу правильного шестикутника.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-007

Цілочислові розв'язки симетричного дробу

Нехай aa, bb та cc — натуральні числа, що задовольняють (ab−1)(ac−1)bc=2023,іb≤c.\frac{(ab-1)(ac-1)}{bc} = 2023, \quad \text{і} \quad b \le c. Знайдіть усі можливі значення cc.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-008

Максимальна краса розмітки графа

Розглянемо фігуру, що складається з 15 кіл і 20 відрізків, як показано нижче. Кожне коло позначено числом 0, 1 або 2, і ми визначаємо красу розмітки як кількість відрізків, кінці яких позначено числами, що відрізняються на 1. Нехай MM — найбільша можлива краса, якої можна досягти серед усіх розміток. Скільки існує розміток, що досягають краси MM? Зауважимо, що ми розрізняємо розмітки, які можна отримати одна з одної поворотами чи відбиттями.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-009

Сума перестановки з модулями різниць

Скільки існує перестановок p1,p2,…,p2023p_1, p_2, \dots, p_{2023} чисел 1,2,…,20231, 2, \dots, 2023, які задовольняють рівняння p1+∣p2−p1∣+∣p3−p2∣+⋯+∣p2023−p2022∣+p2023=4048?p_1 + |p_2 - p_1| + |p_3 - p_2| + \dots + |p_{2023} - p_{2022}| + p_{2023} = 4048?
10–11 класиПерестановки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-010

Пошук кута в гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, DD — основа перпендикуляра з AA на BCBC, а MM — середина сторони ACAC. Нехай PP — точка на відрізку BMBM така, що ∠PAM=∠MBA\angle PAM = \angle MBA. Відомо, що ∠BAP=41∘\angle BAP = 41^\circ і ∠PDB=115∘\angle PDB = 115^\circ. Знайдіть величину кута BACBAC.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-011

Гра зі стиранням чисел зі спільними дільниками

Аліса та Боб грають у гру на дошці. Спочатку на дошці написано по одному разу кожне з 2,3,…,502, 3, \dots, 50. Також задано непорожню підмножину SS множини {2,3,…,50}\{2, 3, \dots, 50\}. Першим ходом Аліса стирає з дошки всі елементи множини SS. Після цього обидва гравці, починаючи з Боба, по черзі стирають з дошки одне або більше цілих чисел. Проте вони не можуть стирати цілі числа, які взаємно прості з усіма цілими числами, стертими суперником на попередньому ході. Гра закінчується, коли гравець на початку свого ходу не має цілих чисел, які він може стерти, внаслідок чого цей гравець програє, а інший гравець виграє. Скільки існує множин SS таких, що Аліса завжди може виграти, незалежно від дій Боба?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-012

Монотонні функції з умовою на композицію

Нехай AA — множина функцій, визначених для цілих чисел від 11 до 20232023 і таких, що набувають цілих значень від 11 до 20232023. Припустимо, що AA задовольняє такі дві умови: Для будь-якої функції ff, що належить AA, і будь-яких цілих чисел xx та yy, для яких 1≤x<y≤20231 \le x < y \le 2023, маємо f(x)≥f(y)f(x) \ge f(y). Для будь-яких функцій ff і gg, що належать AA, і будь-якого цілого числа xx від 11 до 20232023 маємо f(g(x))=g(f(g(x)))f(g(x)) = g(f(g(x))). У цьому випадку знайдіть найбільшу можливу кількість елементів множини AA.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-001

Точки на сторонах трикутника і відрізки PX та PY

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Точки D,ED, E лежать усередині відрізків AB,ACAB, AC відповідно. Нехай PP — точка, для якої PB=PD,PC=PEPB = PD, PC = PE. Нехай XX — внутрішня точка дуги ACAC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить точку BB. Пряма XAXA вдруге перетинає описане коло трикутника ADEADE у точці YY. Доведіть, що PX=PYPX = PY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-002

Строго спадна функція на додатних дійсних числах

Нехай R+\mathbb{R}^+ — множина додатних дійсних чисел. Нехай f:R+→R+f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ — функція, яка задовольняє таку умову. Для кожного додатного дійсного числа xx існує y∈Ry \in \mathbb{R} таке, що (x+f(y))(y+f(x))≤4,(x + f(y))(y + f(x)) \leq 4, і кількість таких yy скінченна. Доведіть, що f(x)>f(y)f(x) > f(y) для кожної пари додатних дійсних чисел xx і yy з x<yx < y.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-004

Найбільша кількість ходів для скриньок за модулем 3

Нехай nn — натуральне число. Є nn скриньок B1,B2,…,BnB_1, B_2, \dots, B_n, у кожній з яких лежить деяка кількість кульок. Можна виконувати такі ходи. Виберіть натуральні числа ii і jj такі, що 1≤i≤j≤n1 \le i \le j \le n і додайте рівно по одній кульці до кожної зі скриньок Bi,Bi+1,…,BjB_i, B_{i+1}, \dots, B_j. Для натуральних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n нехай f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n) — найменша кількість ходів, необхідна для того, щоб кількість кульок у кожній скриньці стала кратною 33, починаючи з xix_i кульок у скриньці BiB_i для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n. Знайдіть найбільше значення f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n). (Якщо 3∣xi3|x_i при i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n, то f(x1,x2,…,xn)=0f(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-003

Циклічна нерівність зі зсувами

Нехай n≥3n \ge 3 — ціле число, а a1,…,ana_1, \dots, a_n і b1,…,bnb_1, \dots, b_n — дійсні числа. Доведіть таку нерівність. ∑i=1nai(bi−bi+3)≤3n8∑i=1n[(ai−ai+1)2+(bi−bi+1)2](an+1=a1 і bn+1=b1 для i=1,2,3)\sum_{i=1}^{n} a_i (b_i - b_{i+3}) \le \frac{3n}{8} \sum_{i=1}^{n} \left[ (a_i - a_{i+1})^2 + (b_i - b_{i+1})^2 \right] \\ (a_{n+1} = a_1 \text{ і } b_{n+1} = b_1 \text{ для } i = 1, 2, 3)
10–11 класиНерівність Коші3 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-002

Кліка розміру 7 у регулярному графі

В офісі є 20232023 співробітники, кожен з яких знає рівно 16861686 інших. Для будь-якої пари співробітників або вони обоє знають один одного, або обоє не знають один одного. Доведіть, що можна знайти 77 співробітників, кожен з яких знає всіх 66 інших.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-001

Добуток факторіалів як повний квадрат

Для кожного натурального числа nn нехай n!=1×2×3×⋯×nn! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n. Чи існує нескінченно багато трійок (p,q,r)(p, q, r) натуральних чисел таких, що p>q>r>1p > q > r > 1 і добуток p!⋅q!⋅r!p! \cdot q! \cdot r! є повним квадратом?
10–11 класиКорені та степені3 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-003

Оцінка змінних з умовою сума дорівнює добутку

Нехай aa, bb і cc — додатні дійсні числа такі, що a+b+c=abca + b + c = abc. Доведіть, що принаймні одне з чисел aa, bb чи cc більше за 1710\frac{17}{10}.
10–11 класиНерівність Коші
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-004

Співвідношення площ у паралелограмі з паралельною прямою

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а PP — точка на стороні ABAB. Нехай пряма через PP, паралельна стороні BCBC, перетинає діагональ ACAC у точці QQ. Доведіть, що ∣DAQ∣2=∣PAQ∣×∣BCD∣,|DAQ|^{2} = |PAQ| \times |BCD|, де ∣XYZ∣|XYZ| позначає площу трикутника XYZXYZ.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-006

Показникове рівняння з квадратичним показником

Знайдіть суму найменшого та найбільшого можливих значень xx, які задовольняють таке рівняння. 9x+1+2187=36x−x29^{x + 1} + 2187 = 3^{6x - x^{2}}
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-005

Колінеарність у вкладених квадратах

Нехай ABCDABCD — квадрат (вершини позначено за годинниковою стрілкою). Нехай ZZ — довільна точка на діагоналі ACAC між AA і CC така, що AZ>ZCAZ > ZC. Нехай XX і YY — такі точки, що AXYZAXYZ — квадрат (вершини позначено за годинниковою стрілкою), а точка BB лежить усередині квадрата AXYZAXYZ. Нехай MM — точка перетину прямих BXBX і DZDZ (за потреби продовжених). Доведіть, що CC, MM і YY лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.