Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2022-002

Найбільша кількість покупців з різним походженням риби

На рибному базарі є 10 яток, кожна з яких продає ті самі 10 видів риби. Кожну рибину виловлено або в Північному морі, або в Середземному морі, і в кожній ятці для кожного виду риби є риба лише одного походження. Деяка кількість, скажімо kk, покупців купує рівно по одній рибині в кожній ятці так, що вони отримують рівно по одній рибині кожного виду. Ба більше, для кожної пари покупців існує вид риби, риба якого в цих двох покупців різного походження. Розглянемо всі можливі способи постачання яток за вищенаведеними правилами. Яке найбільше можливе значення kk?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-001

Симетричні радикали з квадратичними доданками

Нехай дійсні числа aa і bb задовольняють рівність ab+ab+1+a2+b⋅b2+a=0a b + \sqrt{a b + 1} + \sqrt{a^{2} + b} \cdot \sqrt{b^{2} + a} = 0 Знайдіть (з доведенням) значення виразу ab2+a+ba2+ba \sqrt{b^{2} + a} + b \sqrt{a^{2} + b}
10–11 класиПеретворення ірраціональних вираз…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-002

Суми кількості дільників непарних і парних чисел

Нехай d(k)d(k) позначає кількість додатних цілих дільників числа kk. Наприклад, d(6)=4d(6)=4, оскільки 66 має 44 додатні дільники, а саме 1,2,31, 2, 3 і 66. Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn d(1)+d(3)+d(5)+⋯+d(2n−1)≤d(2)+d(4)+d(6)+⋯+d(2n)d(1)+d(3)+d(5)+\cdots+d(2n-1) \leq d(2)+d(4)+d(6)+\cdots+d(2n)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-003

Максимальне остаточне значення при операціях на дошці

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Спочатку число 11 написано на дошці nn разів. Щохвилини Вішал вибирає два числа, написані на дошці, скажімо aa і bb, стирає їх і записує або a+ba+b, або min⁡{a2,b2}\min \{a^{2}, b^{2}\}. Через n−1n-1 хвилин на дошці залишається одне число. Нехай найбільше можливе значення цього остаточного числа дорівнює f(n)f(n). Доведіть, що 2n/3<f(n)≤3n/32^{n / 3}<f(n) \leq 3^{n / 3}
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-004

Розфарбування областей, утворених прямими

Нехай nn — натуральне число. Множина з nn різних прямих розбиває площину на різні (можливо, необмежені) області. Множина прямих називається «гарною», якщо жодні три прямі не перетинаються в одній точці. «Розфарбуванням» називається призначення кожній області двох кольорів так, що перший колір — з множини {A1,A2}\{A_{1}, A_{2}\}, а другий колір — з множини {B1,B2,B3}\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\}. Гарна множина прямих називається «розфарбовуваною», якщо існує розфарбування таке, що 1. жоден колір не призначено двом областям, які мають спільне ребро; 2. для кожних i∈{1,2}i \in \{1,2\} і j∈{1,2,3}j \in \{1,2,3\} існує принаймні одна область, якій призначено обидва кольори AiA_{i} і BjB_{j}. Визначте всі nn, для яких кожна гарна конфігурація з nn прямих є розфарбовуваною.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-005

Інцентри трикутників біцентричного п'ятикутника

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п’ятикутник такий, що п’ять вершин лежать на колі, а п’ять сторін дотикаються до іншого кола всередині п’ятикутника. Існує (53)=10\binom{5}{3} = 10 трикутників, які можна утворити, вибравши 3 з 5 вершин. Для кожного з цих 10 трикутників позначимо його інцентр. Доведіть, що ці 10 інцентрів лежать на двох концентричних колах.
10–11 класиІнверсія
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2022-001

Сторони трикутника з цілим параметром

Сторони трикутника мають довжини 1313, xx і 2x2x. Причому xx — ціле число. Скільки значень може набувати xx? A) 2 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12
7–9 класиНерівність трикутника
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-001

Найбільше дільниково просте число

Натуральне число nn називається дільниково простим, якщо для кожного натурального дільника dd числа nn принаймні одне з чисел d−1d-1 і d+1d+1 є простим. Наприклад, 88 — дільниково просте, бо кожен із його натуральних дільників 11, 22, 44 і 88 відрізняється на 11 від простого числа (відповідно від 22, 33, 55 і 77), тоді як 99 не є дільниково простим, бо дільник 99 не відрізняється на 11 від простого числа (і 88, і 1010 — складені). Знайдіть найбільше дільниково просте число.
10–11 класиПарність та непарність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-008

Перетин і об’єднання множин цілих чисел

Алісія записує aa різних цілих чисел на аркуші паперу, а Брітт записує bb різних цілих чисел на іншому аркуші паперу. Алісія записала принаймні одне ціле число, якого не записала Брітт, а Брітт записала принаймні одне ціле число, якого не записала Алісія. Вера підраховує кількість різних цілих чисел на двох аркушах паперу; позначимо цю кількість різних цілих чисел через vv. Даан підраховує, скільки з цілих чисел, записаних Алісією, також записала Брітт; позначимо це число через dd. Наприклад, якщо Алісія записала 11, 22 і 55, а Брітт записала 22, 55, 77 і 88, то маємо a=3a = 3 і b=4b = 4, тоді як v=5v = 5 і d=2d = 2. a. Знайдіть приклад, для якого a=b=2022a = b = 2022 і a⋅b=d⋅(v+d)a \cdot b = d \cdot (v + d). b. Чи можливо, що a⋅b=d⋅(v+4)a \cdot b = d \cdot (v + 4)? Наведіть приклад або доведіть, що це неможливо. c. Чи можливо, що a⋅b=d⋅va \cdot b = d \cdot v? Наведіть приклад або доведіть, що це неможливо.
10–11 класиФормула включення-виключення
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-002

Цілі середні значення столітніх множин

Множина, яка складається щонайменше з двох різних натуральних чисел, називається столітньою, якщо її найбільший елемент дорівнює 100100. Розглядатимемо середнє арифметичне всіх чисел столітньої множини, яке називатимемо середнім цієї множини. Наприклад, середнє столітньої множини {1,2,20,100}\{1, 2, 20, 100\} дорівнює 1234\frac{123}{4}, а середнє столітньої множини {74,90,100}\{74, 90, 100\} дорівнює 8888. Визначте всі цілі числа, які можуть траплятися як середнє деякої столітньої множини.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-009

Властивості чотирицифрових сонячних чисел

Натуральне число називаємо сонячним, якщо воно має чотири цифри і до того ж кожна з двох крайніх цифр рівно на 1 більша за сусідню з нею цифру. Числа 87238723 і 10011001, наприклад, сонячні, а 12341234 і 8724587245 — ні. a) Скільки існує сонячних чисел таких, що подвоєне число знову є сонячним числом? b) Доведіть, що кожне сонячне число, більше за 20002000, ділиться на трицифрове число з 99 посередині.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-003

Послідовність дробів з ітеративним скороченням

Нехай задано натуральне число cc, побудуємо послідовність дробів a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots так: a1=cc+1a_1 = \frac{c}{c+1}; щоб отримати ana_n, беремо an−1a_{n-1} (у найпростішому вигляді, з додатними чисельником і знаменником) і додаємо 2 до чисельника та 3 до знаменника. Потім результат знову максимально скорочуємо, з додатними чисельником і знаменником. Наприклад, якщо взяти c=20c = 20, то a1=2021a_1 = \frac{20}{21} і a2=2224=1112a_2 = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}. Тоді дістаємо, що a3=1315a_3 = \frac{13}{15} (який уже є нескоротним) і a4=1518=56a_4 = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}. a. Нехай c=10c = 10, отже a1=1011a_1 = \frac{10}{11}. Знайдіть найбільше nn, для якого при побудові ana_n потрібне скорочення. b. Нехай c=99c = 99, отже a1=99100a_1 = \frac{99}{100}. Визначте, чи знадобиться десь у послідовності скорочення. c. Знайдіть два значення cc, для яких на першому кроці побудови a5a_5 (до скорочення) чисельник і знаменник діляться на 5.
10–11 класиНСД та НСК
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-004

Перетин бісектриси та серединного перпендикуляра

У трикутнику ABCABC точка DD лежить на відрізку ABAB так, що CDCD — бісектриса кута CC. Серединний перпендикуляр до відрізка CDCD перетинає пряму ABAB у точці EE. Нехай ∣BE∣=4|BE| = 4 і ∣AB∣=5|AB| = 5. a. Доведіть, що ∠BAC=∠BCE\angle BAC = \angle BCE. b. Доведіть, що 2∣AD∣=∣ED∣2|AD| = |ED|.
10–11 класиОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-005

Максимум різних відстаней у послідовності блоків

Кіра має 33 блоки з літерою AA, 33 блоки з літерою BB і 33 блоки з літерою CC. Вона викладає ці 99 блоків у послідовність. Вона хоче мати якомога більше різних відстаней між блоками з однаковою літерою. Наприклад, у послідовності ABCAABCBCABCAABCBC блоки з літерою AA мають між собою відстані 11, 33 і 44, блоки з літерою BB мають між собою відстані 22, 44 і 66, а блоки з літерою CC мають між собою відстані 22, 44 і 66. Загалом отримали відстані 11, 22, 33, 44 і 66; це 55 різних відстаней. Яка найбільша можлива кількість різних відстаней?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-028

Факторіали на одиницю більші за добуток

Знайдіть усі натуральні числа aa, bb і cc, для яких існують натуральні числа xx, yy і zz такі, що x!=ab+1x! = a b + 1, y!=bc+1y! = b c + 1 і z!=ca+1z! = c a + 1. Зауваження: Для будь-якого натурального числа nn число n!n! позначає добуток 1×2×⋯×n1 \times 2 \times \cdots \times n.
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-029

Подільність виразу з кубом на шість

Доведіть, що для будь-якого цілого числа nn число n3−7nn^{3}-7 n ділиться на 66.
8–10 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-030

Послідовне розливання води по пляшках

Мартин поспіхом розлив nn літрів води у nn пляшок. Тому деякі пляшки виявилися наповненими більше за інші. Тут він згадав, що його завданням було налити рівно один літр води в кожну пляшку, перш ніж закрити її корком. Оскільки він ще не закоркував пляшок, свої помилки ще можна виправити. Для цього він вибирає першу пляшку, за бажанням переливає частину її вмісту в іншу пляшку, а потім закорковує цю першу пляшку. Далі він вибирає другу пляшку (це може бути та, в яку він частково перелив вміст першої пляшки, а може й ні), за бажанням переливає частину її вмісту в іншу пляшку (але не в першу пляшку, яка вже закоркована), а потім її закорковує. Потім він так само діє з третьою пляшкою, і так далі, доки не закоркує всі пляшки. Доведіть, що якщо Мартин вдало вибиратиме пляшки, які він закорковує, і ті, в які він їх частково переливає, то йому вдасться виправити свої помилки. Зауваження: пляшки надто великі, і кожна може вмістити до nn літрів води, тож вони не переповняться.
8–10 класиКонструкція за індукцією
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-023

Пари цілих чисел з різницею квадратів 73

Знайдіть усі пари цілих чисел (x,y)(x, y) таких, що x2+73=y2x^{2}+73=y^{2}.
8–10 класиМетод факторизації (розкладання н…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-031

Рівність сум факторіалів та добуток

Нехай aa, bb, cc і dd — натуральні числа. Припустимо, що a!+b!=c!+d!a! + b! = c! + d!. Доведіть, що ab=cda b = c d.
8–10 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-032

Прямокутник із півколом і рівними відрізками

Нехай ABCDABCD — прямокутник. Нехай ω\omega — півколо з діаметром [BC][BC], причому точка AA і півколо ω\omega розміщені з одного боку від відрізка [BC][BC]. Коло з центром BB і радіусом ABAB вдруге перетинає півколо ω\omega в точці EE. Пряма (AE)(AE) вдруге перетинає півколо ω\omega в точці FF. Доведіть, що AF=BFAF = BF.
8–10 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-001

Перша цифра степенів двійки з частотою не більше n/17

Для довільного цілого k⩾0k \geqslant 0 позначимо через aka_{k} першу цифру числа 2k2^{k}, записаного в десятковій системі. Наприклад, a5=3a_{5}=3 — перша цифра числа 25=322^{5}=32. Нехай n⩾1n \geqslant 1 — ціле число. Доведіть, що серед цифр від 1 до 9 є така, що вона дорівнює щонайбільше n/17n / 17 з nn цифр a0,a1,a2,…,an−1a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}.
9–11 класиПідрахунок двома способами3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-016

Степені за модулем 7 і подільність

Нехай a,b,ca, b, c — три цілі числа такі, що 77 ділить a2+b2+c2a^{2} + b^{2} + c^{2}. Доведіть, що 77 ділить a4+b4+c4a^{4} + b^{4} + c^{4}.
8–10 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-033

Паралелограм із перетинів описаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — точка всередині трикутника ABCABC. Прямі (AD)(AD) і (BD)(BD) повторно перетинають описане коло трикутника ABCABC відповідно в точках A1A_{1} і B1B_{1}. Описане коло трикутника B1DAB_{1}DA повторно перетинає пряму (AC)(AC) в точці PP. Описане коло трикутника A1BDA_{1}BD повторно перетинає пряму (BC)(BC) в точці QQ. Доведіть, що чотирикутник CPDQCPDQ — паралелограм.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-050

Нерівність із сумою геометричної прогресії

Нехай aa — додатне дійсне число, а n⩾1n \geqslant 1 — ціле число. Доведіть, що an1+a+…+a2n<12n\frac{a^{n}}{1+a+\ldots+a^{2 n}}<\frac{1}{2 n}
8–10 класиНерівність Коші
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-034

Суми на послідовних аркушах по колу

Нехай nn — ціле число таке, що n⩾3n \geqslant 3. Люсі розкладає nn білих аркушів по колу, а потім пише дійсне число на кожному аркуші. Знайти всі цілі числа kk такі, що 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, для яких справджується така властивість: якщо хоча б одне з чисел, написаних Люсі, відмінне від нуля, то існує kk послідовних аркушів, сума чисел на яких відмінна від нуля.
8–10 класиНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.