Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2021-001

Паралельна пряма у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник з ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC|. Точка EE лежить на дузі CDCD, яка не містить AA і BB. Точку перетину прямих BEBE і CDCD позначено через PP, а точку перетину прямих AEAE і BDBD — через QQ. Доведіть, що PQ∥ACPQ \parallel AC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2021-002

Розподіл каменів між коробками з обмеженою місткістю

Джессі та Тьєрд грають у гру. У Джессі є n≥2n \ge 2 каменів. Є дві коробки: чорна вміщує половину каменів (із округленням униз), а біла — половину каменів (із округленням угору). Джессі та Тьєрд ходять почергово, причому першим ходить Джессі. Своїм ходом Джессі бере новий камінь, пише на ньому додатне дійсне число і кладе його в одну з коробок, яка ще не заповнена. Тьєрд бачить усі числа на каменях у кожній із коробок і може перемістити один камінь на свій вибір до іншої коробки, якщо та інша коробка ще не заповнена, але може й нічого не робити. Гра закінчується, коли обидві коробки заповнені. Якщо сума чисел на каменях у чорній коробці більша за суму чисел на каменях у білій коробці, то перемагає Джессі; інакше перемагає Тьєрд. Визначте для кожного n≥2n \ge 2, хто з них має виграшну стратегію (і наведіть її).
10–11 класиІнші інваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2021-001

Мінімальна сума з рекурсивними знаменниками

Нехай n≥2n \geq 2 — деяке фіксоване натуральне число, і нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — додатні дійсні числа, для яких a1+a2+⋯+an=2n−1a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=2^{n}-1. Знайдіть найменше можливе значення a11+a21+a1+a31+a1+a2+⋯+an1+a1+a2+⋯+an−1.\frac{a_{1}}{1}+\frac{a_{2}}{1+a_{1}}+\frac{a_{3}}{1+a_{1}+a_{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{1+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}}.
10–11 класиНерівність Коші
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2021-002

Пари гостей, що спілкуються за круглим столом

На званій вечері є NN господарів і NN гостей, які сидять навколо круглого столу, причому N≥4N \geq 4. Двоє гостей спілкуватимуться між собою, якщо або між ними сидить не більше однієї особи, або між ними сидять рівно двоє людей, принаймні один з яких є господарем. Доведіть, що як би не посадили цих 2N2N людей за стіл, принаймні NN пар гостей спілкуватимуться між собою.
10–11 класиРозбиття на випадки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2021-003

Нерухомі точки канадських функцій

Функція ff з натуральних чисел у натуральні числа називається канадською, якщо вона задовольняє рівність НСД(f(f(x)),f(x+y))=НСД(x,y)\text{НСД}(f(f(x)), f(x+y)) = \text{НСД}(x, y) для всіх пар натуральних чисел xx і yy. Знайдіть усі натуральні числа mm такі, що f(m)=mf(m) = m для всіх канадських функцій ff.
10–11 класиНСД та НСК
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2021-004

Гра на трійках цілих чисел із сумою 2021

Ніна і Тадаші грають у таку гру. Спочатку на дошці написано трійку (a,b,c)(a, b, c) невід'ємних цілих чисел, для яких a+b+c=2021a+b+c=2021. Далі Ніна і Тадаші ходять по черзі, першою ходить Ніна. Гравець, який робить хід, вибирає натуральне число kk і одне з трьох чисел на дошці; потім він збільшує вибране число на kk і зменшує два інші числа на kk. Гравець програє, якщо після його ходу якесь із чисел на дошці стає від'ємним. Знайдіть кількість початкових трійок (a,b,c)(a, b, c), для яких Тадаші має виграшну стратегію.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-005

Перерозподіл монет за круглим столом

Навколо круглого столу сидять n≥3n \ge 3 гравців. Ведучий роздає nn монет гравцям так, що не кожен отримує рівно одну монету. Кожен гравець бачить кількість монет у кожного іншого гравця. Кожні 10 секунд ведучий дзвонить у дзвінок. У цей момент кожен гравець дивиться, скільки монет мають його двоє сусідів. Потім вони всі одночасно роблять таке: Якщо гравець має більше монет, ніж принаймні один із його сусідів, гравець віддає рівно одну монету. Він віддає цю монету сусідові з найменшою кількістю монет. Якщо обидва його сусіди мають однакову кількість монет, він віддає монету сусідові ліворуч. Якщо гравець не має більше монет, ніж принаймні один із його сусідів, гравець нічого не робить і чекає наступного раунду. Гра закінчується, якщо кожен має рівно одну монету. a) Для кожного n≥3n \ge 3 знайдіть початковий розподіл монет так, щоб гра ніколи не закінчилася (і доведіть, що для вашого початкового розподілу гра не закінчується). b) Для кожного n≥4n \ge 4 знайдіть початковий розподіл монет на початку гри так, щоб гра закінчилася (і доведіть, що для вашого початкового розподілу гра закінчується).
10–11 класиКонструкція через періодичність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-015

Монохроматичність розфарбування сітки

Нік має 16 квадратних карток, білих з одного боку і чорних з іншого. Він викладає картки так, щоб утворився квадрат 4×44 \times 4. Деякі картки показують білий бік, а деякі — чорний. Для кольорового візерунка він обчислює монохроматичність так. Для кожної пари сусідніх карток, що мають спільну сторону, він нараховує +1+1 або −1-1 за таким правилом: +1+1, якщо сусідні картки показують однаковий колір, і −1-1, якщо сусідні картки показують різні кольори. Додавши все разом, отримуємо монохроматичність (яка може бути від’ємною). Наприклад, якщо він викладе картки як нижче, то є 15 пар сусідніх карток, що показують однаковий колір, і 9 таких пар, що показують різні кольори. Отже, монохроматичність цього візерунка дорівнює 15⋅(+1)+9⋅(−1)=615 \cdot (+1) + 9 \cdot (-1) = 6. Нік розглядає всі можливі кольорові візерунки і складає список усіх можливих чисел, які хоча б раз трапляються як значення монохроматичності. Тобто Нік складає список з усіх чисел, для яких існує кольоровий візерунок, що має це число як свою монохроматичність. a. Які три найбільші числа в його списку? (Поясніть свою відповідь. Якщо ваша відповідь, наприклад, 12, 9 і 6, то ви маєте показати, що ці числа справді є в списку, навівши розфарбування для кожного з цих чисел, а також довести, що числа 7, 8, 10, 11 та всі числа, більші за 12, не трапляються.) b. Які три найменші (найбільш від’ємні) числа в його списку? c. Яке найменше додатне число (тобто більше за 0) в його списку?
10–11 класиПарність і непарність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-016

Збалансований турнір із забороненими четвірками

Розглянемо спортивні турніри з n≥4n \ge 4 командами-учасницями, де кожна пара команд грає між собою щонайбільше один раз. Назвемо такий турнір збалансованим, якщо будь-які чотири команди-учасниці грають між собою рівно три матчі. Отже, не всі команди грають одна проти одної. Визначте найбільше значення nn, для якого існує збалансований турнір з nn командами.
10–11 класиСтепені вершин
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-006

Подібні трикутники ABC і AED і довжина CF

Розглянемо трикутник ABCABC і точку DD на продовженні відрізка ABAB за точку BB. Точка EE лежить на стороні ACAC так, що кути ∠DBC\angle DBC і ∠DEC\angle DEC рівні. Прямі DEDE і BCBC перетинаються в точці FF. Припустімо, що ∣BF∣=2|BF| = 2, ∣BD∣=3|BD| = 3, ∣AE∣=4|AE| = 4 і ∣AB∣=5|AB| = 5. (Увага: рисунок зображено не в масштабі.) a. Доведіть, що трикутники △ABC\triangle ABC і △AED\triangle AED подібні. b. Знайдіть ∣CF∣|CF|.
10–11 класиОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-017

Стрибки жаби з чергуванням горизонтальних і вертикальних кроків

Жаба стрибає по точках цілочисельної решітки на площині, з однієї точки решітки до іншої. Жаба починає рух із точки (0,0)(0,0). Потім вона послідовно робить стрибок на один крок по горизонталі, стрибок на 22 кроки по вертикалі, стрибок на 33 кроки по горизонталі, стрибок на 44 кроки по вертикалі і так далі. Знайдіть усі n>0n > 0, для яких жаба може повернутися в (0,0)(0,0) після nn стрибків.
10–11 класиПарність та непарність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-018

Подібні трикутники із серединами та перпендикулярами

У трикутнику ABCABC маємо ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ. Точка MM — середина сторони ABAB. Пряма, що проходить через MM паралельно стороні BCBC, перетинає сторону ACAC в точці DD. Середина відрізка CDCD — точка EE. Прямі BDBD і CMCM перпендикулярні. Зауважте: рисунок виконано не в масштабі. a. Доведіть, що трикутники CMECME і ABDABD подібні. b. Доведіть, що прямі EMEM і ABAB перпендикулярні.
10–11 класиОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-019

Дільники плюс один ділять наступне число

Розглянемо ціле число n>1n > 1 з такою властивістю: для кожного додатного дільника dd числа nn число d+1d+1 є дільником числа n+1n+1. Доведіть, що nn — просте число.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-003

Опуклий п'ятикутник з прямими кутами

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник такий, що ABE^=ACE^=ADE^=90∘\widehat{A B E}=\widehat{A C E}=\widehat{A D E}=90^{\circ} і BC=CDB C=C D. Нарешті, нехай KK — точка на промені [AB)[A B) така, що AK=ADA K=A D, а LL — точка на промені [ED)[E D) така, що EL=BEE L=B E. Доведіть, що точки B,D,KB, D, K і LL належать одному колу з центром CC.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-004

Мінімаксна сума на позначеному восьмикутнику

Моргана і Босфор грають у таку гру. Моргана написала цілі числа від 1 до 8 на вершинах правильного восьмикутника: кожне число написане на одній з восьми вершин восьмикутника. Босфор далі вибирає вершину й обчислює суму чисел, написаних на цій вершині та на двох її сусідах. Він позначає через ss цю суму і дає ss цукерок Моргані. Босфор вибирає вершину так, щоб дати Моргані якомога менше цукерок, а Моргана записує цілі числа від 1 до 8 так, щоб отримати якомога більше цукерок. Доведіть, що Босфор дасть їй 12 цукерок.
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-005

Подільність суми степенів на 35

Нехай n=2021n=2021. Доведіть, що число 32n+1+2n+23^{2 n+1}+2^{n+2} ділиться на 35.
8–10 класиОстачі від великих степенів2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-006

Нерівності з перестановкою, що дають рівність

Нехай aa, bb, cc та dd — чотири дійсні числа. Припустимо, що існує перестановка (x,y,z,t)(x, y, z, t) чисел a,b,ca, b, c та dd така, що x⩽2a−b,y⩽2b−c,z⩽2c−d і t⩽2d−a.x \leqslant 2 a-b, \quad y \leqslant 2 b-c, \quad z \leqslant 2 c-d \text{ і } t \leqslant 2 d-a. Доведіть, що a=b=c=da = b = c = d.
8–10 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-025

Бісектриси в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Внутрішня бісектриса кута BAC^\widehat{BAC} перетинає відрізок [BC][BC] у точці EE, а його зовнішня бісектриса перетинає пряму (CD)(CD) у точці FF. Нехай MM — середина відрізка [AE][AE]. Доведіть, що прямі (EF)(EF) і (BM)(BM) паралельні.
9–11 класиОсновна властивість бісектриси4 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-007

Найбільше значення виразу при 0≤x≤y≤z, x+y+z=1

Нехай xx, yy і zz — три дійсні числа, такі, що 0⩽x⩽y⩽z0 \leqslant x \leqslant y \leqslant z і x+y+z=1x+y+z=1. Знайдіть найбільше значення, якого може набувати вираз (x−yz)2+(y−zx)2+(z−xy)2.(x-y z)^{2}+(y-z x)^{2}+(z-x y)^{2}.
8–10 класиПеретворення симетричних виразів3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-008

Степені простого числа в квадратичній сумі

Знайдіть усі четвірки цілих чисел (a,b,c,p)(a, b, c, p) такі, що pp — просте число і для яких 73p2+6=9a2+17b2+17c273 p^{2}+6=9 a^{2}+17 b^{2}+17 c^{2}
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-009

Хроматичне число орієнтованого графа

Нехай nn і kk — цілі числа, такі, що n⩾3n \geqslant 3. Тео організовує вибори делегатів у своєму класі з nn учнів: кожен учень має проголосувати за одного зі своїх однокласників (усі є кандидатами), і ніхто не голосує за себе. Потім Тео розподіляє учнів на групи так, щоб якщо учень перебуває в групі, то учень, за якого він проголосував, у ній не перебував. Для яких значень kk Тео напевно зможе розподілити учнів не більш ніж на kk груп, незалежно від того, як учні проголосують?
8–10 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-010

Множина без нетривіальних тричленних арифметичних прогресій

Нехай k⩾1k \geqslant 1 — ціле число, і нехай AA — підмножина {1,2,…,3k}\{1,2, \ldots, 3k\} така, що для будь-яких елементів a,b,ca, b, c із AA, якщо a+b=2ca+b=2c, то a=b=ca=b=c. Для кожного цілого числа n⩾1n \geqslant 1 через rk(n)r_{k}(n) позначимо найменше натуральне число таке, що 3k3k ділить n−rk(n)n-r_{k}(n). Крім того, скажемо, що nn мале, якщо n⩽kn \leqslant k, що nn середнє, якщо k+1⩽n⩽2kk+1 \leqslant n \leqslant 2k, і що nn велике, якщо 2k+1⩽n2k+1 \leqslant n. Нарешті, припустимо, що є два натуральні числа xx і dd такі, що rk(x),rk(x+d)r_{k}(x), r_{k}(x+d) і rk(x+2d)r_{k}(x+2d) усі три належать AA, і такі, що rk(x)≠rk(x+d)r_{k}(x) \neq r_{k}(x+d). Чи можна за наведеною вище інформацією обов'язково стверджувати, що a) принаймні одне з двох чисел rk(x)r_{k}(x) і rk(x+d)r_{k}(x+d) середнє або велике? b) принаймні одне з двох чисел rk(x)r_{k}(x) і rk(x+d)r_{k}(x+d) мале або велике? c) принаймні одне з двох чисел rk(x)r_{k}(x) і rk(x+d)r_{k}(x+d) мале або середнє?
8–10 класиАрифметична прогресія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-011

Справедливі програми повторення

Для підготовки до останнього тесту POFM року Жан-Батист і Марі-Одиль зібрали 100 математичних задач і беруться за складання програми повторення. Протягом 100 днів, які відділяють їх від тесту POFM, кожен має опрацьовувати по одній задачі на день. Позначимо через xx кількість задач, які Жан-Батист опрацював строго раніше за Марі-Одиль, а через yy кількість задач, які Марі-Одиль опрацювала строго раніше за Жан-Батиста. Нарешті, кажемо, що програма повторення є справедливою, якщо x=yx=y. Доведіть, що існує принаймні 100!×(250+(50!)2)100!\times\left(2^{50}+(50!)^{2}\right) справедливих програм.
8–10 класиПерестановки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-012

Послідовність найменших кратних

Означимо послідовність a1,a2,a3…a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots у такий спосіб: a1=63a_{1}=63 і для кожного цілого n⩾2n \geqslant 2 число ana_{n} є найменшим кратним nn, яке більше або дорівнює an−1a_{n-1}. Доведіть, що члени нашої послідовності попарно різні.
8–10 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-013

Перпендикулярність із бісектрисами кутів у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник такий, що 90∘>ABC^>BCA^90^{\circ} > \widehat{ABC} > \widehat{BCA}. Нехай DD — точка на відрізку [BC][BC] така, що 2DAC^=ABC^−BCA^2 \widehat{DAC} = \widehat{ABC} - \widehat{BCA}. Позначимо через EE точку перетину, відмінну від AA, прямої (AB)(AB) з описаним колом ACDACD, а через PP — точку перетину прямої (AB)(AB) з бісектрисою кута BDE^\widehat{BDE}. Аналогічно позначимо через FF точку перетину, відмінну від AA, прямої (AC)(AC) з описаним колом ABDABD, а через QQ — точку перетину прямої (AC)(AC) з бісектрисою кута CDF^\widehat{CDF}. Доведіть, що прямі (AB)(AB) і (PQ)(PQ) перпендикулярні.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.