Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-003

Нерівність із квадратного діофантового рівняння

Нехай mm, nn, kk — три натуральні числа такі, що m2+n=k2+km^{2} + n = k^{2} + k. Доведіть, що m⩽nm \leqslant n.
8–10 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-008

Факторіал не дорівнює квадрату плюс 2019

Нехай mm і nn — два натуральні числа. Доведіть, що n!≠m2+2019n!\neq m^{2}+2019.
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-009

Циклічна сума дробів з чисельниками 5 + 2b + c²

Нехай a,b,ca, b, c — невід'ємні дійсні числа такі, що a+b+c=1a+b+c=1. Доведіть, що 5+2b+c21+a+5+2c+a21+b+5+2a+b21+c⩾13\frac{5+2 b+c^{2}}{1+a}+\frac{5+2 c+a^{2}}{1+b}+\frac{5+2 a+b^{2}}{1+c} \geqslant 13
8–10 класиІнші класичні нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-010

Перетин хорди і діаметра

Нехай Γ\Gamma — коло з центром OO та радіусом rr, а ℓ\ell — пряма, яка не перетинає Γ\Gamma. Позначимо через EE точку перетину прямої ℓ\ell з прямою, перпендикулярною до ℓ\ell, що проходить через OO. Нехай MM — точка прямої ℓ\ell, відмінна від EE. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені через MM, дотикаються до кола Γ\Gamma у точках AA і BB. Нарешті, нехай HH — точка перетину прямих ABAB і OEOE. Доведіть, що OH=r2OEOH = \dfrac{r^2}{OE}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-031

Розфарбування раціональних чисел з умовою на суму

Розфарбування Q\mathbb{Q} полягає у фарбуванні кожного раціонального числа або в червоний, або в синій колір. Кажуть, що розфарбування Q\mathbb{Q} є гармонійним, якщо для всіх раціональних чисел xx і yy одного кольору раціональне число x+yx+y також має той самий колір. Знайдіть усі розфарбування Q\mathbb{Q}, які є гармонійними.
9–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-029

Функціональне рівняння f(x²+x+f(y)) = y+f(x)+f(x)²

Знайдіть усі функції f:R↦Rf: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} такі, що для всіх дійсних чисел xx і yy виконується: f(x2+x+f(y))=y+f(x)+f(x)2f\left(x^{2}+x+f(y)\right)=y+f(x)+f(x)^{2}
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-036

Мінімальна кількість чорних клітинок з умовою на прямокутники

Кожну клітинку дошки розміру 8×88 \times 8 можна пофарбувати в білий або в чорний колір так, щоб кожен прямокутник розміру 2×32 \times 3 або 3×23 \times 2 містив дві чорні клітинки зі спільною стороною. Визначте мінімальну можливу кількість чорних клітинок на дошці.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-011

Взаємно прості пари з умовою подільності

Пару цілих чисел (a,b)(a, b) називають кіпрською, якщо a⩾b⩾2a \geqslant b \geqslant 2, якщо aa і bb — взаємно прості, і якщо a+ba+b ділить ab+baa^{b}+b^{a}. Доведіть, що існує нескінченно багато різних кіпрських пар.
8–10 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-012

Рівні відрізки від перетину медіани

Нехай ABCABC — трикутник, а MM — основа медіани, проведеної з AA. Нехай також ℓb\ell_{\mathrm{b}} — бісектриса кута AMB^\widehat{AMB}, а ℓc\ell_{c} — бісектриса кута AMC^\widehat{AMC}. Нарешті, нехай B′B' — ортогональна проєкція BB на пряму ℓb\ell_{b}, C′C' — ортогональна проєкція CC на пряму ℓc\ell_{c}, а A′A' — точка перетину прямих (AM)(AM) і (B′C′)(B'C'). Доведіть, що A′B′=A′C′A'B' = A'C'.
8–10 класиОзнаки подібності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-013

Замощення сходів мінімальною кількістю квадратів

Нехай nn — невід'ємне ціле число. Сходи розміру nn складаються з маленьких квадратів 1×11 \times 1: 1 квадрат для першої сходинки, 2 квадрати для другої сходинки і так далі, аж до nn квадратів для nйn^{\text{й}} сходинки. Маємо квадратні камені (з цілою стороною) усіх розмірів, щоб побудувати ці сходи, і позначаємо через f(n)f(n) найменшу кількість каменів, яку треба використати для сходів розміру nn. Наприклад, f(2)=3f(2)=3 і f(4)=7f(4)=7, як показано нижче. 1. Знайдіть усі цілі числа n⩾0n \geqslant 0 такі, що f(n)=nf(n)=n. 2. Знайдіть усі цілі числа n⩾0n \geqslant 0 такі, що f(n)=n+1f(n)=n+1.
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-004

Циклічні чотирикутники і дотичні

Нехай ABCABC — трикутник, усі три кути якого гострі, причому AB>ACAB > AC, а Ω\Omega — його описане коло. Позначимо через MM середину відрізка [BC][BC]. Дотичні до кола Ω\Omega в точках BB і CC перетинаються в точці PP, а прямі (AP)(AP) і (BC)(BC) перетинаються в точці SS. Позначимо через DD основу висоти, проведеної з BB в трикутнику ABPABP, а через ω\omega — описане коло трикутника CSDCSD. Нарешті, позначимо через KK другу точку перетину (після CC) кіл ω\omega і Ω\Omega. Доведіть, що CKM^=90∘\widehat{CKM} = 90^{\circ}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-032

Рівність многочленів із циклічної композиції

Нехай P1,P2,…,P2019P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2019} — несталі многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P1(P2(x))=P2(P3(x))=…=P2019(P1(x))P_{1}\left(P_{2}(x)\right)=P_{2}\left(P_{3}(x)\right)=\ldots=P_{2019}\left(P_{1}(x)\right) для всіх дійсних xx. Доведіть, що P1=P2=…=P2019P_{1}=P_{2}=\ldots=P_{2019}.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-014

Обмеженість і рекурентне співвідношення дають сталу функцію

Нехай f:Z→Rf: \mathbb{Z} \to \mathbb{R} — функція така, що f(n+2)=(f(n+1)+f(n))/2f(n+2) = (f(n+1) + f(n)) / 2 для всіх цілих nn. Припустімо, що ff обмежена, тобто існує дійсне число FF таке, що −F⩽f(n)⩽F-F \leqslant f(n) \leqslant F для всіх nn. Доведіть, що ff — стала функція.
8–10 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-026

Трикутники у колі з обмеженням на периметр

Нехай C\mathcal{C} — коло радіуса 11, а TT — дійсне число. Кажуть, що множина трикутників є TT-мірною, якщо вона задовольняє такі три умови: ▹\triangleright вершини кожного трикутника належать колу C\mathcal{C}; ▹\triangleright трикутники попарно мають неперетинні внутрішності (але два трикутники можуть мати спільну сторону або вершину); ▹\triangleright кожен трикутник має периметр, строго більший за T\mathbf{T}. Знайти всі дійсні T\mathbf{T} такі, що для кожного цілого n⩾1\mathrm{n} \geqslant 1 існує TT-мірна множина, яка містить рівно nn трикутників.
8–10 класиКонструкція за індукцією
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-025

Функції на N зі значенням в x² + y²

Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} такі, що xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x2+y2)x f(y)+y f(x)=(x+y) f\left(x^{2}+y^{2}\right) для всіх натуральних чисел xx і yy. Зауваження: нагадаємо, що N\mathbb{N} позначає множину натуральних чисел, тобто N={0,1,2,…}\mathbb{N}=\{0,1,2, \ldots\}.
8–10 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-035

Сума квадратів перемог дорівнює сумі квадратів поразок

У турнірі, в якому беруть участь nn гравців, пронумерованих від 1 до nn, кожна пара гравців зустрічається рівно один раз. Ця зустріч завершується перемогою одного з двох гравців і поразкою іншого гравця. Позначимо через vkv_{k} кількість перемог гравця kk протягом турніру, а через dkd_{k} — кількість його поразок. Доведіть, що ∑k=1nvk2=∑k=1ndk2\sum_{k=1}^{n} v_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} d_{k}^{2}.
9–11 класиОрієнтовані графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-022

Рівнобедрений трикутник із проєкцій

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, але не прямокутний. Нехай DD — точка на прямій (BC)(BC) така, що (AD)(AD) перпендикулярна до (AB)(AB), а EE — ортогональна проєкція DD на пряму (AC)(AC). Нехай, нарешті, HH — середина відрізка [BC][BC]. Доведіть, що трикутник AHEAHE — рівнобедрений з вершиною HH.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-023

Максимальна координата за умови нульової суми

Нехай n⩾2n \geqslant 2 і нехай x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} — дійсні числа такі, що x1+x2+⋯+xn=0x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 та x12+x22+⋯+xn2=1x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1. Доведіть, що існує ii таке, що xi⩾1n(n−1)x_{i} \geqslant \frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}.
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-015

Перестановка цілочисельних точок зі збільшенням відстаней

Нехай nn — непарне ціле число, і нехай SS — множина з nn точок площини з цілими координатами. Розглянемо перестановку f:S→Sf: S \rightarrow S, яка задовольняє таку властивість: для будь-якої пари точок AA і BB, що належать SS, відстань між f(A)f(A) і f(B)f(B) більша або дорівнює відстані між AA і BB. Доведіть, що існує точка XX, що належить SS, така, що f(X)=Xf(X)=X.
10–11 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-016

Факторіал як різниця степенів

Нехай uu — натуральне число. Доведіть, що існує лише скінченна кількість трійок невід'ємних цілих чисел (a,b,n)(a, b, n) таких, що n!=ua−ubn! = u^{a} - u^{b}. Зауваження: нагадаємо, що 0!=1!=10! = 1! = 1.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-017

Рівносторонній трикутник і відстані до точки

Нехай A,B,CA, B, C і PP — чотири точки площини такі, що ABCABC є рівностороннім трикутником і AP<BP<CPAP < BP < CP. Припустимо, що лише за довжинами AP,BPAP, BP і CPCP можна однозначно визначити довжину ABAB. Доведіть, що PP належить описаному колу трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворот
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-027

Точні квадрати як різниця степенів трійки та п'ятірки

Знайдіть усі трійки (a,b,c)\left(a, b, c\right) натуральних чисел таких, що 3a−5b=c23^{a}-5^{b}=c^{2}
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-018

Сума з функцією Ейлера

Нехай a0,a1,…,ada_{0}, a_{1}, \ldots, a_{d} — цілі числа такі, що НСД(a0,a1)=1\text{НСД}(a_{0}, a_{1})=1. Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 покладемо un=∑k=0dakφ(n+k)u_{n}=\sum_{k=0}^{d} a_{k} \varphi(n+k) Доведіть, що 1 — єдине натуральне число, яке ділить усі цілі числа unu_{n}. Нагадаємо, що φ(n+k)\varphi(n+k) — це кількість натуральних чисел ℓ<n+k\ell<n+k таких, що НСД(ℓ,n+k)=1\text{НСД}(\ell, n+k)=1.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-019

Симетрія і перетин описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник, і нехай EE та FF — дві точки, що належать відповідно прямим (AB)(AB) та (AC)(AC), відмінні від AA, BB та CC. Нехай також Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC, нехай OO — центр кола Ω\Omega, а Γ\Gamma — описане коло трикутника AEFAEF. Нарешті, нехай PP — точка перетину кіл Γ\Gamma і Ω\Omega, відмінна від AA, а QQ — точка, симетрична PP відносно прямої (EF)(EF). Доведіть, що QQ належить прямій (BC)(BC) тоді й лише тоді, коли OO належить колу Γ\Gamma.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-020

Дотик описаних кіл, побудованих за чевіанами

Нехай ABCABC — трикутник, нехай II — центр вписаного в трикутник ABCABC кола. Нехай A′A', B′B' і C′C' — три точки, розташовані відповідно на прямих (AI)(AI), (BI)(BI) і (CI)(CI). Припустімо, що A′A', B′B' і C′C' відмінні від AA, BB, CC і II, і що вони колінеарні. Нарешті, нехай PAP_A — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [BB′][BB'] і [CC′][CC']. Так само нехай PBP_B — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [CC′][CC'] і [AA′][AA'], а PCP_C — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [AA′][AA'] і [BB′][BB']. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC і PAPBPCP_A P_B P_C дотикаються одне до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.