Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Відбіркові тести на IMOTST-2018-034

Рівні кола з рівних хорд

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega, а HH — основа висоти, опущеної з AA на сторону BC‾\overline{BC}. Нехай PP і QQ — точки на колі ω\omega, для яких PA=PHPA = PH і QA=QHQA = QH. Дотична до кола ω\omega в точці PP перетинає прямі ACAC і ABAB у точках E1E_1 і F1F_1 відповідно; дотична до кола ω\omega в точці QQ перетинає прямі ACAC і ABAB у точках E2E_2 і F2F_2 відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників △AE1F1\triangle AE_1F_1 і △AE2F2\triangle AE_2F_2 рівні, а пряма, що проходить через їхні центри, паралельна дотичній до кола ω\omega в точці AA.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Відбіркові тести на IMOTST-2018-042

Послідовність фібоначчієвого типу з рекурентною сумою

Послідовність додатних дійсних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots задовольняє рівність an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2} при всіх n≥3n \ge 3. Послідовність b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots задана рівностями b1=a1b_1 = a_1, bn=an+(b1+b2+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1}) при парних n>1n > 1, bn=an+(b2+b4+⋯+bn−1)b_n = a_n + (b_2 + b_4 + \dots + b_{n-1}) при непарних n>1n > 1. Доведіть, що при n≥3n \ge 3 виконується 13<bnn⋅an<1\frac{1}{3} < \frac{b_n}{n \cdot a_n} < 1.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2018-023

Відношення хорд за умов про середини

Нехай AA, BB, CC і DD — чотири точки, що лежать на колі в цьому порядку. Припустимо, що існує точка KK на відрізку ABA B, така, що BDB D ділить навпіл відрізок KCK C, а ACA C ділить навпіл відрізок KDK D. Знайдіть найменше можливе значення, якого може набувати ∣ABCD∣\left|\frac{A B}{C D}\right|.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2018-035

Червоне розфарбування та парність кортежів

Нехай S={1,…,100}S = \{1, \dots, 100\}, і для кожного натурального числа nn визначимо Tn={(a1,…,an)∈Sn∣a1+⋯+an≡0(mod100)}.T_n = \{(a_1, \dots, a_n) \in S^n \mid a_1 + \dots + a_n \equiv 0 \pmod{100}\}. Визначте, для яких nn виконується така властивість: якщо пофарбувати будь-які 75 елементів множини SS у червоний колір, то принаймні половина nn-елементних кортежів із TnT_n має парну кількість координат із червоними елементами.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2018-043

Сторони трикутника з позначеними точками та умовами з'єднання

Нехай kk — додатне ціле число. Знайдіть усі додатні цілі числа nn такі, що можна позначити nn точок на сторонах трикутника (відмінних від його вершин) і з'єднати деякі з них лініями таким чином, щоб виконувалися такі умови: 1) на кожній стороні є принаймні 1 позначена точка; 2) для кожної пари точок XX і YY, позначених на різних сторонах, на третій стороні існує рівно kk позначених точок, які з'єднані як з XX, так і з YY, і рівно kk точок, які не з'єднані ні з XX, ні з YY.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2018-024

Мінімальна кількість обмінів для збалансованих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Послідовність, що складається з 3n3 n літер, назвемо румунською, якщо літери I,MI, M і OO трапляються кожна рівно nn разів. Обмін — це переставлення двох сусідніх літер. Доведіть, що для кожної румунської послідовності XX існує румунська послідовність YY така, що для отримання послідовності YY з послідовності XX потрібно щонайменше 3n22\frac{3 n^{2}}{2} обмінів.
10–11 класиПерестановки2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2018-036

Найбільша сума стрибків, довжини яких — степені двійки

Нехай nn — натуральне число. Жаба стартує на числовій прямій у точці 00. Припустімо, вона робить скінченну послідовність стрибків за двох умов: жаба відвідує лише точки з {1,2,…,2n−1}\{1, 2, \dots, 2^n - 1\}, причому кожну щонайбільше один раз; довжина кожного стрибка належить множині {20,21,22,… }\{2^0, 2^1, 2^2, \dots\}. (Стрибки можуть бути в будь-який бік, ліворуч чи праворуч.) Нехай SS — сума (додатних) довжин усіх стрибків у послідовності. Яке найбільше можливе значення SS?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-044

Прості многочлени з подільними значеннями

Простим многочленом назвемо многочлен P(x)P(x), коефіцієнти якого належать множині {−1,0,1}\{-1, 0, 1\}. Нехай nn — натуральне число, n>1n > 1. Знайдіть найменшу можливу кількість ненульових коефіцієнтів у простому многочлені nn-го степеня, значення якого при всіх цілих аргументах діляться на nn.
10–11 класиТеорема Ейлера
Відбіркові тести на IMOTST-2018-025

Парність суми біноміальних коефіцієнтів за модулем два

Знайти всі натуральні числа n≥2n \geq 2 такі, що для всіх цілих чисел 0≤i,j≤n0 \leq i, j \leq n: i+j≡(ni)+(nj)( mod 2)i+j \equiv \binom{n}{i}+\binom{n}{j} \quad(\bmod 2)
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-037

Квадрати n², що ділять bⁿ + 1

Для яких натуральних чисел b>2b > 2 існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що n2n^2 ділить bn+1b^n + 1? Ця задача є своєрідним об'єднанням задач IMO 1990/3 та IMO 2000/5.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-026

Нерівність з добутками квадратних тричленів і різниць

Нехай aa, bb, cc, dd — дійсні числа. Доведіть: (a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)(d2−d+1)≥916(a−b)(b−c)(c−d)(d−a)\left(a^{2}-a+1\right)\left(b^{2}-b+1\right)\left(c^{2}-c+1\right)\left(d^{2}-d+1\right) \geq \frac{9}{16}(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2018-038

Паралельне перенесення многокутника, що мінімізує перекриття

Доведіть, що існує абсолютна стала c<1c < 1 з такою властивістю: для будь-якого многокутника P\mathcal{P} площі 1 на площині його можна перенести на відстань 1100\frac{1}{100} у деякому напрямку, отримавши многокутник Q\mathcal{Q}, для якого перетин внутрішностей P\mathcal{P} і Q\mathcal{Q} має сумарну площу, не більшу за cc.
10–11 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-027

Перетин прямих у трикутнику з побудованими точками

Нехай ABCABC — трикутник, MM — середина відрізка BCBC, а DD — точка на прямій ABAB, така, що BB лежить між AA і DD. Нехай EE — точка з іншого боку від прямої CDCD, ніж BB, така, що ∠EDC=∠ACB\angle EDC = \angle ACB і ∠DCE=∠BAC\angle DCE = \angle BAC. Нехай FF — перетин прямої CECE з прямою, паралельною до DEDE, що проходить через AA, а ZZ — перетин прямих AEAE і DFDF. Доведіть, що прямі ACAC, BFBF і MZMZ перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2018-028

Функціональне рівняння з невід'ємною функцією

Знайдіть усі пари (f,g)(f, g) функцій f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} - f(x)≥0f(x) \geq 0, - f(x+g(y))=f(x)+f(y)+2yg(x)−f(y−g(y))f(x+g(y))=f(x)+f(y)+2 y g(x)-f(y-g(y)).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-029

Квадратні значення добутку дільників у грі

Давид і Лінус грають у таку гру: Давид вибирає підмножину QQ множини {1,…,2018}\{1, \ldots, 2018\}. Потім Лінус вибирає натуральне число a1a_{1} і обчислює числа a2,…,a2018a_{2}, \ldots, a_{2018} рекурсивно, причому an+1a_{n+1} — це добуток додатних дільників числа ana_{n}. Нехай PP — множина натуральних чисел k∈{1,…,2018}k \in\{1, \ldots, 2018\}, для яких aka_{k} є квадратом. Лінус виграє, якщо P=QP=Q. Інакше виграє Давид. Хто має виграшну стратегію?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-009

Найменший дільник зсунутого числа

Нехай NN — ціле число, більше за 11. Позначимо через xx найменше додатне ціле число з такою властивістю: існує додатне ціле число yy, строго менше за x−1x-1, таке, що xx ділить N+yN+y. Доведіть, що xx є подвоєним простим числом або степенем простого числа. Зауваження: нагадаємо, що xx є степенем простого числа, якщо існують просте число pp і додатне ціле число n≥1n \geq 1 такі, що x=pnx=p^{n}.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-001

Трикутник з перпендикулярністю бісектриси

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — його внутрішня точка. Нехай HH — точка на стороні BCBC така, що бісектриса кута AHP^\widehat{AHP} перпендикулярна до прямої BCBC. Відомо, що ABC^=HPC^\widehat{ABC}=\widehat{HPC} і BPC^=130∘\widehat{BPC}=130^\circ. Знайдіть величину кута BAC^\widehat{BAC}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-001

Подільність на числа, отримані викресленням цифр

а. Знайти всі двоцифрові натуральні числа nn, які мають таку властивість: обидва цілі числа, що отримуються викресленням однієї з двох цифр десяткового запису числа nn, є (додатними цілими) дільниками числа nn. б. Нехай n>10n>10 — ціле число, десятковий запис якого складається з kk цифр, відмінних від нуля. Припустимо, що кожне з цілих чисел, отриманих викресленням однієї з kk цифр десяткового запису числа nn, є (додатним цілим) дільником числа nn. Довести, що обов'язково k=2k=2. Приклад. Для n=123n=123 маємо k=3k=3, а цілі числа, отримані викресленням цифр числа nn, — це 23,13,1223,13,12.
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-002

Гра з упорядкованим розміщенням плиток

Аліса і Барбара вигадали таку гру. Вони мають дошку 1×20181 \times 2018, з клітинками, пронумерованими від 11 до 20182018 зліва направо, і 20182018 плиток, пронумерованих також від 11 до 20182018. Партія починається з порожньої дошки, і дві гравчині ходять по черзі; гравчиня, чия черга ходити, може зробити одне з двох: - вибрати плитку, ще не поставлену на дошку, і покласти її на вільну клітинку, за умови, що числа на поставлених плитках, якщо читати їх зліва направо, йдуть у порядку зростання; - вибрати плитку, вже поставлену на дошку, і пересунути її на сусідню клітинку так, щоб плитка наблизилася до клітинки з тим самим номером, що й плитка, за умови, що клітинка прибуття вільна (приклад: якщо плитка з номером 77 стоїть на клітинці з номером 1212, її можна пересунути вліво, але не вправо; якщо ж плитка вже стоїть в клітинці зі своїм же номером, її більше не можна буде пересунути). (a) Доведіть, що на кожному ході, поки не всі плитки стоять на дошці, існує дозволений хід. (b) Якщо починає Аліса і виграє та, хто поставить останню плитку, хто має виграшну стратегію?
9–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-002

Різні суми рядків і стовпців магічного квадрата

Суми трьох стовпців і трьох рядків таблиці однакові. | 4 | 9 | 2 | |:--- |:--- |:--- | | 8 | 1 | 6 | | 3 | 5 | 7 | Яка найменша кількість клітинок таблиці, які треба змінити, щоб усі шість нових сум були попарно різними?
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-003

Опитування учнів про любов до математики й літератури

У класі з 35 учнів провели опитування про вподобання щодо математики та літератури й встановили, що: - 7 чоловіків люблять математику; - 6 чоловіків люблять літературу; - 5 чоловіків і 8 жінок сказали, що не люблять жодного з цих предметів; - у класі є 16 чоловіків; - 5 учнів люблять обидва предмети; і - 11 учнів люблять лише математику. а) Скільки чоловіків люблять математику й літературу? б) Скільки жінок люблять лише літературу?
8–9 класиФормула включення-виключення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-004

Згин прямокутника з суміщенням вершини із серединою сторони

Прямокутник ABCDABCD зі сторонами AB=240 смAB=240~\text{см} і BC=288 смBC=288~\text{см} зображує аркуш паперу, який згинають уздовж відрізка EFEF, де EE належить стороні ADAD, а FF належить стороні BCBC, так, щоб точка CC опинилася на середині сторони ABAB. a) Яка довжина відрізка CC′CC^{\prime}? b) Яка довжина відрізка EFEF?
8–9 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-005

Цілі числа з фіксованою різницею та остачею від ділення

Ана множить два натуральні числа, різниця яких дорівнює 202202, але припускається помилки й отримує число на 10001000 менше за правильне. Якщо поділити результат Ани на менше з чисел, які вона мала помножити, то отримаємо частку 288288 і остачу 6767. Які два числа множила Ана?
8–9 класиКвадратні рівняння та системи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-006

Підрахунок чисел з умовами на цифри

a) Скільки чотирицифрових чисел мають парну суму своїх цифр? b) Двоцифрове число з двома різними ненульовими цифрами називається гарним, якщо цифра десятків більша за цифру одиниць. Скільки існує гарних чисел? c) Скільки парних чотирицифрових чисел можна утворити, використовуючи цифри 0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5 без використання тієї самої цифри двічі? d) Чому дорівнює середнє арифметичне всіх 5-цифрових чисел, які можна утворити, використовуючи кожну з цифр 1,3,5,71,3,5,7 і 88 рівно один раз?
8–9 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-007

Сума номерів послідовних вирваних сторінок

Жозе вирвав кілька послідовних аркушів із книги зі сторінками, пронумерованими послідовними цілими числами, написаними з обох боків кожного аркуша. Сума номерів вирваних сторінок дорівнює 344344. a) Визначте розклад числа 344344 на прості множники. b) Знайдіть суму першого й останнього чисел серед написаних на вирваних сторінках. c) Яка кількість вирваних сторінок?
8–9 класиАрифметична прогресія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.