Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-038

Бісектриса кута в конфігурації з півколом

Нехай [AB][AB] — діаметр півкола, на якому взято дві точки CC і DD. Нехай SS — перетин прямих (AC)(AC) і (BD)(BD), а TT — основа перпендикуляра до діаметра [AB][AB], проведеного з SS. Доведіть, що пряма (ST)(ST) — бісектриса кута CTD^\widehat{CTD}.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-047

Колінеарність у трикутнику з дотичною і колом

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB<ACAB < AC, HH — його ортоцентр, Γ\Gamma — його описане коло, dd — дотична до кола Γ\Gamma в AA. Коло з центром BB, яке проходить через AA, перетинає dd в точці DD і (AC)(AC) в точці EE. Доведіть, що точки DD, EE, HH лежать на одній прямій.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-051

Конкурентність прямих до точок дотику в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, Γ\Gamma — його описане коло. Нехай ωA\omega_{A} — коло, дотичне зсередини до прямих (AB),(AC)(AB),(AC) і до кола Γ\Gamma. Позначимо через TAT_{A} точку дотику кола Γ\Gamma з колом ωA\omega_{A}. Аналогічно визначимо TBT_{B} і TCT_{C}. Доведіть, що прямі (ATA),(BTB)\left(AT_{A}\right),\left(BT_{B}\right) і (CTC)\left(CT_{C}\right) перетинаються в одній точці.
9–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-039

Вписаний чотирикутник у правильному вісімнадцятикутнику

Нехай OO — центр правильного 18-кутника з вершинами A1,…,A18A_{1}, \ldots, A_{18}. Нехай BB — точка на відрізку [OA1][OA_{1}] така, що BA2O^=20∘\widehat{BA_{2} O}=20^{\circ}, а CC — точка на відрізку [OA2][OA_{2}] така, що CA1O^=10∘\widehat{CA_{1} O}=10^{\circ}. Доведіть, що точки BCA2A3BCA_{2} A_{3} лежать на одному колі.
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-032

Дотична до описаного кола і перпендикуляри до сторони

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB≠ACAB \neq AC. Нехай EE — така точка, що AE=BEAE = BE і (BE)(BE) перпендикулярна до (BC)(BC), а FF — така точка, що AF=CFAF = CF і (CF)(CF) перпендикулярна до (BC)(BC). Нехай DD — точка на прямій (BC)(BC) така, що (AD)(AD) є дотичною до описаного кола трикутника ABCABC в точці AA. Доведіть, що точки DD, EE, FF лежать на одній прямій.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-033

Геометричне місце точок перетину дотичних у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Для заданої точки PP прямої (BC)(BC) позначимо через E(P)E(P) і F(P)F(P) другі точки перетину прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) з колом з діаметром [AP][AP]. Нехай T(P)T(P) — точка перетину дотичних до цього кола в точках E(P)E(P) і F(P)F(P). Доведіть, що коли точка PP рухається по прямій (BC)(BC), геометричне місце точок T(P)T(P) є прямою.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-034

Рівність кутів через перетини кіл

Нехай ABCABC — трикутник, OO — центр його описаного кола. Нехай PP — точка на прямій (AO)(AO), а D,E,FD, E, F — ортогональні проєкції PP на прямі (AB)(AB), (BC)(BC) і (CA)(CA). Нехай XX і YY — точки перетину описаних кіл трикутників DEFDEF і BCPBCP. Доведіть, що BAX^=YAC^\widehat{BAX} = \widehat{YAC}
9–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-001

Пошук найбільшого дробу серед червоних карток

Кевін і Ян грають у гру. Ян має 2017+(20172)2017 + \binom{2017}{2} карток, покладених на стіл лицьовим боком донизу. Картки побудовано так: - Для кожного 1≤n≤20171 \leq n \leq 2017 є синя картка, на звороті якої написано nn, а на лиці — дріб anbn\frac{a_{n}}{b_{n}}, де НСД(an,bn)=1\text{НСД}\left(a_{n}, b_{n}\right) = 1 і an,bn>0a_{n}, b_{n} > 0. - Для кожних 1≤i<j≤20171 \leq i < j \leq 2017 є червона картка, на звороті якої написано (i,j)(i, j), а на лиці — дріб ai+ajbi+bj\frac{a_{i} + a_{j}}{b_{i} + b_{j}}. Відомо, що жодні два дроби на картках не збігаються. За один хід Кевін може вибрати будь-які дві картки, а Ян повідомляє Кевіну, на якій картці дріб на лиці більший. Доведіть, що менш ніж за 10000 ходів Кевін може визначити, яка червона картка має найбільший дріб серед усіх червоних карток.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-032

Многочлени з однаковими цілими частинами

Нехай P(x),Q(x)P(x), Q(x) — несталі многочлени з дійсними коефіцієнтами. Доведіть, що якщо ⌊P(y)⌋=⌊Q(y)⌋\lfloor P(y)\rfloor=\lfloor Q(y)\rfloor для всіх дійсних чисел yy, то P(x)=Q(x)P(x)=Q(x) для всіх дійсних чисел xx.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-002

Нільпотентна матриця і заборонені обходи

Нехай S={1,2,…,n}S=\{1,2, \ldots, n\} для деякого натурального числа nn, а AA — матриця розміру nn на nn, яка складається лише з нулів та одиниць. Назвемо нескінченну послідовність {xi}i≥0\{x_{i}\}_{i \geq 0} дивною, якщо: - xi∈Sx_{i} \in S для всіх ii, - axkxk+1=1a_{x_{k} x_{k+1}}=1 для всіх kk, де aija_{ij} позначає елемент у ii-му рядку та jj-му стовпці матриці AA. Доведіть, що множина дивних послідовностей порожня тоді й лише тоді, коли AA нільпотентна, тобто Am=0A^{m}=0 для деякого цілого числа mm.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-034

Грані з однаковою кількістю ребер у багатограннику

Багатогранник має 7n7n граней. Доведіть, що знайдеться n+1n+1 граней цього багатогранника, усі з яких мають однакову кількість ребер.
10–11 класиПланарні графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-003

Завершення процесу додавання векторів

Нехай v1,v2,…,vmv_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m} — вектори в Rn\mathbb{R}^{n}, кожен з яких має додатну першу координату. Розглянемо такий процес. Починаємо з нульового вектора w=(0,0,…,0)∈Rnw=(0,0, \ldots, 0) \in \mathbb{R}^{n}. Кожного раунду вибираємо ii таке, що 1≤i≤m1 \leq i \leq m і w⋅vi≤0w \cdot v_{i} \leq 0, а потім замінюємо ww на w+viw+v_{i}. Доведіть, що існує стала CC така, що незалежно від вибору ii на кожному кроці процес гарантовано завершиться за CC раундів. Стала CC може залежати від векторів v1,…,vmv_{1}, \ldots, v_{m}.
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-004

Підграф мінімальних за вагою досконалих парувань

Нехай GG — зважений дводольний граф A∪BA \cup B, з ∣A∣=∣B∣=n|A|=|B|=n. Іншими словами, кожному ребру графа присвоєно натуральне число, яке називається його вагою. Також вагою досконалого парування в GG назвемо суму ваг ребер, що входять у це парування. Нехай G′G' — граф з множиною вершин A∪BA \cup B, який містить ребро ee тоді й лише тоді, коли ee входить до деякого досконалого парування мінімальної ваги в GG. Доведіть, що всі досконалі парування в G′G' мають однакову вагу.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-035

Паліндромні підрядки в слові

Нехай w=w1w2…wnw = w_{1} w_{2} \ldots w_{n} — слово. Підрядком слова ww назвемо слово виду wiwi+1…wj−1wjw_{i} w_{i+1} \ldots w_{j-1} w_{j} для деякої пари натуральних чисел 1≤i≤j≤n1 \leq i \leq j \leq n. Доведіть, що слово ww має не більше ніж nn різних паліндромних підрядків. Наприклад, aaaaa має 5 різних паліндромних підрядків, а abcata — 5 (a,b,c,t,ataa, b, c, t, ata).
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-005

Наближені гомоморфізми на гіперкубі

Нехай SS — множина {−1,1}n\{-1,1\}^n, тобто nn-ок, кожна координата яких дорівнює −1-1 або 11. Для s=(s1,s2,…,sn), t=(t1,t2,…,tn)∈{−1,1}ns = (s_1, s_2, \ldots, s_n),\ t = (t_1, t_2, \ldots, t_n) \in \{-1,1\}^n означимо s⊙t=(s1t1,s2t2,…,sntn)s \odot t = (s_1 t_1, s_2 t_2, \ldots, s_n t_n). Нехай cc — додатна стала, а f:S→{−1,1}f: S \rightarrow \{-1,1\} — функція така, що існує принаймні (1−c)⋅22n(1-c) \cdot 2^{2n} пар (s,t)(s, t) з s,t∈Ss, t \in S, для яких f(s⊙t)=f(s)f(t)f(s \odot t) = f(s) f(t). Доведіть, що існує функція f′f' така, що f′(s⊙t)=f′(s)f′(t)f'(s \odot t) = f'(s) f'(t) для всіх s,t∈Ss, t \in S і f(s)=f′(s)f(s) = f'(s) принаймні для (1−10c)⋅2n(1-10c) \cdot 2^n значень s∈Ss \in S.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-036

Висоти трикутника і колінеарність точок A, T, O

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Висоти BEBE і CFCF перетинаються в ортоцентрі HH, а точкою OO позначено центр описаного кола. Точку PP вибрано так, що ∠APH=∠OPE=90∘\angle APH = \angle OPE = 90^{\circ}, а точку QQ вибрано так, що ∠AQH=∠OQF=90∘\angle AQH = \angle OQF = 90^{\circ}. Прямі EPEP і FQFQ перетинаються в точці TT. Доведіть, що точки A,T,OA, T, O лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-037

Цикли в графах без коротких циклів

Нехай rr — натуральне число. Доведіть, що якщо граф GG не має циклів довжини не більше ніж 2r2r, то він має не більше ніж ∣V∣2016|V|^{2016} циклів довжини рівно 2016r2016r, де ∣V∣|V| позначає кількість вершин графа GG.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-038

Ряди трикутника Паскаля за модулем простого числа

Нехай pp — просте число. Повною системою лишків за модулем pp називають множину, що містить щонайменше один елемент, конгруентний до k(modp)k \pmod{p}, для кожного kk. а. Доведіть, що існує таке nn, що nn-й рядок трикутника Паскаля утворює повну систему лишків за модулем pp. б. Доведіть, що існує таке n≤p2n \leq p^{2}, що nn-й рядок трикутника Паскаля утворює повну систему лишків за модулем pp.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-040

Добре центровані підмногокутники та прості дільники

Нехай nn — непарне натуральне число, більше за 22, і розглянемо правильний nn-кутник G\mathcal{G} на площині з центром у початку координат. Підмногокутником G′\mathcal{G}' назвемо многокутник щонайменше з 33 вершинами, множина вершин якого є підмножиною множини вершин G\mathcal{G}. Назвемо G′\mathcal{G}' добре центрованим, якщо його центроїд збігається з початком координат. Назвемо G′\mathcal{G}' розкладним, якщо його множину вершин можна записати як диз'юнктне об'єднання правильних многокутників щонайменше з 33 вершинами. Доведіть, що всі добре центровані підмногокутники розкладні тоді й лише тоді, коли nn має не більше двох різних простих дільників.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-041

Нерухома точка при проєкції інцентра

Нехай LBCL B C — нерухомий трикутник, у якого LB=LCL B = L C, і нехай AA — змінна точка на дузі LBL B його описаного кола. Нехай II — інцентр трикутника △ABC\triangle A B C, а AK‾\overline{A K} — висота, проведена з вершини AA. Описане коло трикутника △IKL\triangle I K L перетинає прямі KAK A і BCB C ще раз у точках U≠KU \neq K і V≠KV \neq K відповідно. Нарешті, нехай TT — проєкція точки II на пряму UVU V. Доведіть, що пряма, проведена через TT і середину відрізка IK‾\overline{I K}, проходить через деяку нерухому точку незалежно від положення точки AA.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-008

Приписування степенів п'ятірки

Чи існують два додатні степені числа 55, такі, що число, отримане записуванням одного після іншого, також є степенем числа 55?
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2017-003

Парність відстаней вкладених прямокутників

Прямокутник R\mathcal{R} з непарними цілими довжинами сторін розбито на прямокутники, які всі мають цілі довжини сторін. Доведіть, що принаймні для одного з цих прямокутників відстані до кожної з чотирьох сторін R\mathcal{R} або всі парні, або всі непарні.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбіркові тести на IMOTST-2017-002

Бінарні слова з фіксованою відстанню Геммінга

Нехай kk і nn — натуральні числа такі, що n>kn>k. Під бінарним словом довжини nn розуміємо послідовність з nn членів, кожен з яких дорівнює 0 або 1. Аня вибирає одне з усіх можливих бінарних слів довжини nn. Потім вона записує на дошку всі бінарні слова довжини nn, які відрізняються від вибраного нею слова рівно в kk позиціях. Після цього до кімнати заходить Бернгард. Аня повідомляє йому значення kk, після чого він розглядає бінарні слова на дошці. Тепер він намагається вгадати бінарне слово, вибране Анею на початку. Чому дорівнює (залежно від kk і nn) мінімальна кількість спроб, потрібна Бернгарду, щоб напевно вгадати бінарне слово?
10–11 класиКомбінації
Відбіркові тести на IMOTST-2017-007

Складання стосів дисків з умовою видимості

Нехай nn — натуральне число. Дано круглі диски з радіусами 1,2,…,n1,2, \ldots, n. Кожного розміру маємо два диски: один прозорий і один непрозорий. У кожному диску є отвір точно посередині, за допомогою якого ми можемо нанизувати диски на вертикальний стрижень. Потрібно складати стоси, які задовольняють такі умови: - У стосі є рівно один диск кожного розміру. - Якщо дивитися прямо зверху, ми бачимо зовнішні краї всіх nn дисків у стосі. (Тобто якщо в стосі лежить непрозорий диск, то під ним не можуть лежати менші диски.) Визначте кількість різних стосів, які можна скласти за цих умов. (Два стоси різні, якщо вони використовують не точно ту саму множину дисків, а також якщо вони використовують точно ту саму множину дисків, але не в тому самому порядку.)
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2017-004

Колінеарність у колі з дотичними

Дано коло ω\omega з діаметром AKA K. Точка MM лежить усередині кола, не на прямій AKA K. Пряма AMA M перетинає ω\omega ще раз у QQ. Дотична до кола ω\omega у QQ перетинає пряму, що проходить через MM перпендикулярно до AKA K, у PP. Точка LL лежить на колі ω\omega так, що пряма PLP L є дотичною, причому L≠QL \neq Q. Доведіть, що K,LK, L і MM лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.