Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-033

Центр описаного кола трикутника на прямій центрів

Нехай ABCABC — трикутник, не рівнобедрений при вершині AA. Позначимо через D,E,FD, E, F точки дотику вписаного кола зі сторонами (BC)(BC), (AC)(AC) і (AB)(AB), а через II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Нехай PP і QQ — перетини прямої (EF)(EF) з описаним колом Ω\Omega трикутника ABCABC. Нарешті, нехай O1O_{1} і O2O_{2} — центри описаних кіл трикутників AIBAIB і AICAIC. Доведіть, що центр описаного кола трикутника DPQDPQ лежить на прямій (O1O2)\left(O_{1}O_{2}\right).
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-016

Фіксована точка перетину від проєкцій на дотичні

Нехай Γ\Gamma — коло з центром OO, а (d)(d) — пряма, що не перетинає Γ\Gamma. Позначимо через PP ортогональну проєкцію OO на (d)(d). Нехай QQ — змінна точка на прямій (d)(d), а (t1)\left(t_{1}\right) і (t2)\left(t_{2}\right) — дотичні до кола Γ\Gamma, що проходять через QQ. Позначимо через AA і BB ортогональні проєкції PP на (t1)\left(t_{1}\right) і (t2)\left(t_{2}\right). Доведіть, що точка перетину (AB)(AB) і (OP)(OP) залишається нерухомою, коли QQ змінюється.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-071

Скінченність нерівності з функціями Ейлера та кількістю дільників

Нехай SS — множина натуральних чисел nn, для яких виконується нерівність ϕ(n)⋅τ(n)≥n33\phi(n) \cdot \tau(n) \geq \sqrt{\frac{n^{3}}{3}} де ϕ(n)\phi(n) — кількість натуральних чисел k≤nk \leq n, взаємно простих із nn, а τ(n)\tau(n) — кількість додатних дільників числа nn. Доведіть, що SS скінченна.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-072

Інтервали зі взаємно простих пар і діофантових розв’язків

Нехай m,nm, n — натуральні числа, причому m≥nm \geq n. Нехай SS — множина пар (a,b)(a, b) взаємно простих натуральних чисел таких, що a,b≤ma, b \leq m і a+b>ma+b>m. Для кожної пари (a,b)∈S(a, b) \in S розглянемо невід’ємний цілочисельний розв’язок (u,v)(u, v) рівняння au−bv=na u-b v=n, вибраний з найменшим можливим v≥0v \geq 0, а через I(a,b)I(a, b) позначимо (відкритий) інтервал (v/a,u/b)(v / a, u / b). Доведіть, що I(a,b)⊆(0,1)I(a, b) \subseteq(0,1) для кожної пари (a,b)∈S(a, b) \in S, і що довільне фіксоване ірраціональне число α∈(0,1)\alpha \in(0,1) належить I(a,b)I(a, b) рівно для nn різних пар (a,b)∈S(a, b) \in S.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-075

Покриття многокутника колом із сумою радіусів

Нехай PP — многокутник (без самоперетинів) на площині. Нехай C1,…,CnC_{1}, \ldots, C_{n} — кола на площині, внутрішності яких покривають внутрішність PP. Для 1≤i≤n1 \leq i \leq n нехай rir_{i} — радіус CiC_{i}. Доведіть, що існує одне коло радіуса r1+⋯+rnr_{1}+\cdots+r_{n}, внутрішність якого покриває внутрішність PP.
10–11 класиПокриття, пакування, фарбування
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-078

Дійсна частина степеня гауссового цілого

Нехай z=a+biz = a + b i — комплексне число з цілими дійсною та уявною частинами a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}, де i=−1i = \sqrt{-1} (тобто zz — гауссове ціле число). Якщо pp — непарне просте число, доведіть, що дійсна частина zp−zz^{p} - z є цілим числом, яке ділиться на pp.
10–11 класиГауссові числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-083

Поліноміальне наближення комплекснозначних функцій

Нехай f:[0,1]→Cf:[0,1] \rightarrow \mathbb{C} — комплекснозначна функція, відмінна від сталої, на дійсному проміжку [0,1][0,1]. Доведіть, що існує ϵ>0\epsilon>0 (яке може залежати від ff) таке, що для довільного многочлена PP з комплексними коефіцієнтами існує комплексне число zz з ∣z∣≤1|z| \leq 1 таке, що ∣f(∣z∣)−P(z)∣≥ϵ|f(|z|)-P(z)| \geq \epsilon.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-087

Циклотомічний добуток за модулем 101

Нехай z=e2πi101z = e^{\frac{2\pi i}{101}} і ω=e2πi10\omega = e^{\frac{2\pi i}{10}}. Доведіть, що ∏a=09∏b=0100∏c=0100(ωa+zb+zc)\prod_{a=0}^{9} \prod_{b=0}^{100} \prod_{c=0}^{100} \left(\omega^{a} + z^{b} + z^{c}\right) є цілим числом, і знайдіть (з доведенням) його остачу від ділення на 101101.
10–11 класиМногочлени ділення кола2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2015-002

Досяжні точки решітки при взаємно простих кроках

Нехай aa і bb — два натуральні числа, для яких НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b)=1. Розглянемо фішку, що стоїть на точці решітки (x,y)(x, y). Хід типу A полягає в переміщенні фішки в одну з таких точок: (x+a,y+a),(x+a,y−a),(x−a,y+a)(x+a, y+a), (x+a, y-a), (x-a, y+a) або (x−a,y−a)(x-a, y-a). Хід типу B полягає в переміщенні фішки в точку (x+b,y+b),(x+b,y−b),(x−b,y+b)(x+b, y+b), (x+b, y-b), (x-b, y+b) або (x−b,y−b)(x-b, y-b). Поставимо тепер фішку на (0,0)(0,0). Дозволено виконати (скінченну) кількість ходів, причому ходи типу A і типу B чергуються, починаючи з ходу типу A. Дозволено виконувати як парну, так і непарну кількість ходів, тобто останній хід може бути як типу A, так і типу B. Знайдіть множину всіх точок решітки (x,y)(x, y), які можна досягти такою серією ходів.
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2015-003

Чотирикутник з прямими кутами та відстанями до середини

Для чотирикутника ABCDA B C D виконується ∠A=∠C=90∘\angle A = \angle C = 90^{\circ}. Нехай EE — точка всередині чотирикутника. Нехай MM — середина відрізка BEB E. Доведіть, що ∠ADB=∠EDC\angle A D B = \angle E D C тоді й лише тоді, коли ∣MA∣=∣MC∣|M A| = |M C|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2015-001

Максимум чорних клітинок з обмеженням у квадратах два на два

Нехай nn — натуральне число. Яка найбільша кількість квадратів 1×11 \times 1, які можна зафарбувати в чорний колір у квадраті n×nn \times n так, щоб у кожному квадраті 2×22 \times 2 було зафарбовано в чорний колір не більше ніж 2 маленькі квадрати?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2015-005

Послідовність з умовою на фіксоване відношення

Нехай rr і kk — натуральні числа, а a1≤a2≤…a_{1} \leq a_{2} \leq \ldots — нескінченна послідовність натуральних чисел така, що rar=k+1\frac{r}{a_{r}}=k+1. Доведіть, що існує таке tt, що tat=k\frac{t}{a_{t}}=k.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2015-006

Цілочисельна послідовність з умовами на суму та обернені

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існують натуральні числа a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} такі, що a1+2a2+3a3+…+nan=6na_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\ldots+n a_{n}=6 n і 1a1+2a2+3a3+…+nan=2+1n\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+\frac{3}{a_{3}}+\ldots+\frac{n}{a_{n}}=2+\frac{1}{n}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2015-007

Многочлени зі сталим різницевим виразом

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами, для яких многочлен Q(x)=(x+1)P(x−1)−(x−1)P(x)Q(x) = (x+1) P(x-1) - (x-1) P(x) є сталим.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові тести на IMOTST-2015-004

Мінімум циклічних дробових виразів

Нехай a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, причому a,b,c≥1a, b, c \geq 1. Доведіть, що виконується: min⁡(10a2−5a+1b2−5b+10,10b2−5b+1c2−5c+10,10c2−5c+1a2−5a+10)≤abc\min \left(\frac{10 a^{2}-5 a+1}{b^{2}-5 b+10}, \frac{10 b^{2}-5 b+1}{c^{2}-5 c+10}, \frac{10 c^{2}-5 c+1}{a^{2}-5 a+10}\right) \leq a b c
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2015-009

Максимум одноколірних або різноколірних доміно на дошці

Нехай n≥2n \geq 2 — натуральне число. Кожну клітинку дошки n×nn \times n пофарбовано в червоний або синій колір. На дошку кладуть доміно, кожне з яких покриває дві клітинки. Доміно називають одноколірним, якщо воно лежить на двох червоних або двох синіх клітинках, і різноколірним, якщо воно лежить на одній червоній і одній синій клітинці. Знайдіть найбільше натуральне число kk з такою властивістю: хоч би як було пофарбовано дошку в червоний і синій кольори, завжди можна покласти на дошку kk попарно неперетинних доміно, які або всі одноколірні, або всі різноколірні.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2015-010

Рівносторонній трикутник із серединного перпендикуляра

Дано рівносторонній трикутник ABCA B C. На прямій через BB, паралельній стороні ACA C, лежить точка DD, причому DD і CC лежать з одного боку від прямої ABA B. Серединний перпендикуляр до відрізка CDC D перетинає пряму ABA B в точці EE. Доведіть, що трикутник CDEC D E рівносторонній.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2015-008

Рівні кути у трикутнику з прямою, паралельною до основи

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB>ACAB > AC, а MM — середина сторони ACAC. Далі нехай DD — точка на стороні ABAB така, що DB=DCDB = DC. Пряма, паралельна стороні BCBC, що проходить через DD, і пряма BMBM перетинаються в точці KK. Доведіть, що ∠KCD=∠DAC\angle KCD = \angle DAC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2015-013

Кола, що перетинаються, з паралельними прямими

Нехай кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} з центрами відповідно O1O_{1} і O2O_{2} перетинаються у двох різних точках AA і BB. Пряма O1AO_{1} A перетинає Γ2\Gamma_{2} ще раз у точці CC, а пряма O2AO_{2} A перетинає Γ1\Gamma_{1} ще раз у точці DD. Пряма через точку BB, паралельна до прямої ADA D, перетинає Γ1\Gamma_{1} ще раз у точці EE. Припустімо, що пряма O1AO_{1} A паралельна до прямої DED E. Доведіть, що пряма CDC D перпендикулярна до прямої O2CO_{2} C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2015-012

Коло через вершину і середину дуги з рівними кутами

У трикутнику ABCABC точка DD — перетин внутрішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC зі стороною BCBC. Нехай PP — друга точка перетину зовнішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC з описаним колом трикутника △ABC\triangle ABC. Коло, що проходить через точки AA і PP, перетинає відрізок BPBP у внутрішній точці EE та відрізок CPCP у внутрішній точці FF. Доведіть, що ∠DEP=∠DFP\angle DEP = \angle DFP.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2015-014

Розфарбування чисел з максимальною кількістю різноколірних сум

Можна пофарбувати кожне з чисел від 1 до 2014 включно, причому рівно половина має стати червоною, а інша половина — синьою. Далі розглянемо кількість kk додатних цілих чисел, які можна записати у вигляді суми червоного та синього числа. Визначте найбільше значення kk, якого можна досягти.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2015-011

Взаємно прості числа з рівними зсунутими степенями

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) взаємно простих цілих чисел, для яких виконується: a2+a=b3+ba^{2}+a=b^{3}+b
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Відбіркові тести на IMOTST-2015-016

Функціональне рівняння з (x² + y²) f(xy)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що (x2+y2)f(xy)=f(x)f(y)f(x2+y2)\left(x^{2}+y^{2}\right) f(x y)=f(x) f(y) f\left(x^{2}+y^{2}\right) для всіх дійсних xx і yy.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2015-015

Радіуси вписаних кіл у трикутниках, утворених чевіанами

Нехай ABCABC — трикутник. Точки KK, LL і MM лежать на сторонах BCBC, CACA і ABAB так, що прямі AKAK, BLBL і CMCM перетинаються в одній точці. Доведіть, що серед трикутників AMLAML, BKMBKM і CLKCLK можна вибрати два так, щоб сума радіусів їхніх вписаних кіл була не меншою за радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2015-017

Скінченна множина функцій із умовою композиції

Знайдіть усі скінченні непорожні множини AA функцій f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що: Для всіх f1,f2∈Af_{1}, f_{2} \in A існує g∈Ag \in A така, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} f1(f2(y)−x)+2x=g(x+y)f_{1}\left(f_{2}(y)-x\right)+2 x=g(x+y)
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.