Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Відбіркові тести на IMOTST-2015-018

Подільність суми степенів зі зсувом

Знайдіть усі трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c) такі, що для кожного натурального числа nn, яке не має простого дільника, меншого від 20152015, n+c∣an+bn+nn+c \mid a^{n}+b^{n}+n
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Відбіркові тести на IMOTST-2015-019

Ділянки круглого саду з включенням

Нехай n≥2n \geq 2 — натуральне число. Посеред круглого саду стоїть сторожова вежа. На краю саду стоять nn рівномірно розміщених садових гномів. На сторожовій вежі живуть пильні сторожі. Кожен сторож стежить за ділянкою саду, обмеженою двома різними садовими гномами. Кажемо, що сторож AA контролює сторожа BB, якщо вся ділянка BB міститься в ділянці AA. Серед сторожів є дві групи: учні та майстри. Кожного учня контролює рівно один майстер, і сам він нікого не контролює, а майстра не контролює ніхто. Витрати на утримання всього саду такі: - Один учень коштує 1 золоту монету на рік. - Один майстер коштує 2 золоті монети на рік. - Один садовий гном коштує 2 золоті монети на рік. Доведіть, що садові гноми коштують щонайменше стільки ж, скільки й сторожі.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2015-020

Паралелограм з умовою на рівність кутів

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Припустимо, існує точка PP всередині паралелограма, яка лежить на серединному перпендикулярі до сторони ABAB і така, що ∠PBA=∠ADP\angle PBA = \angle ADP. Доведіть, що ∠CPD=2∠BAP\angle CPD = 2 \angle BAP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2015-021

Досяжність у двоколірному турнірі

У країні Тейль-Ланд є nn міст. Кожні два міста сполучені дорогою з одностороннім рухом, якою можна проїхати або лише мотоциклом, або лише автомобілем. Доведіть, що існує місто, з якого до кожного іншого міста можна дістатися або мотоциклом, або автомобілем. Зауваження: Не обов'язково, щоб до кожного іншого міста можна було дістатися одним і тим самим транспортним засобом.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбіркові тести на IMOTST-2015-022

Кратні cm і cn з однаковою кількістю ненульових цифр

Дано два натуральні числа mm і nn. Доведіть, що існує натуральне число cc таке, що кожна відмінна від 0 цифра трапляється однакову кількість разів у cmc m і cnc n.
10–11 класиСистеми числення
Італійська математична олімпіадаITAMO-2015-001

Об'єм паралелепіпеда, розбитого трьома площинами

Нехай дано прямокутний паралелепіпед ABCDA′B′C′D′ABCD A'B'C'D', де ABCDABCD — нижня грань, вершини якої позначено за годинниковою стрілкою, а A,B,CA, B, C і DD лежать під A′,B′,C′A', B', C' і D′D' відповідно. Паралелепіпед поділено на вісім частин трьома попарно ортогональними площинами, паралельними граням паралелепіпеда. Для кожної вершини PP паралелепіпеда позначимо через VPV_P об'єм частини паралелепіпеда, що містить PP. Відомо, що VA=40V_A=40, VC=300V_C=300, VB′=360V_{B'}=360 і VC′=90V_{C'}=90. Чому дорівнює об'єм паралелепіпеда ABCDA′B′C′D′ABCD A'B'C'D'?
10–11 класиВідношення площ трикутників
Італійська математична олімпіадаITAMO-2015-002

Трикутник з бісектрисою та точками на трисектрисі

Нехай ABCABC — трикутник, KK — основа бісектриси, проведеної до сторони BCBC, а JJ — основа трисектриси, проведеної до сторони BCBC, ближчої до сторони ACAC (тобто JJ — точка на стороні BCBC така, що 3⋅∠CAJ=∠CAB3 \cdot \angle CAJ = \angle CAB). Нехай далі C′C' і B′B' — дві точки на прямій AJAJ, з того боку від AA, де лежить JJ, такі, що AC′=ACAC' = AC і AB=AB′AB = AB'. Доведіть, що чотирикутник ABB′CABB'C можна вписати в коло тоді й лише тоді, коли прямі C′KC'K і B′BB'B паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2015-003

Цілі розв'язки рівняння a³+b³+3ab=1

Знайдіть усі пари цілих чисел (a,b)(a, b), що задовольняють рівняння a3+b3+3ab=1a^{3}+b^{3}+3 a b=1.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-001

Гра зі скріпками з відніманням трьох і діленням навпіл

Камілла має коробку з 2015 скріпками. Вона бере додатну кількість nn скріпок і кладе їх на стіл Федеріки, пропонуючи їй таку гру. У Федеріки є ходи двох типів: вона може прибрати 3 скріпки з купки на своєму столі (якщо в купці принаймні 3 скріпки) або прибрати половину скріпок (якщо кількість скріпок у купці парна). Федеріка виграє, якщо за допомогою послідовності ходів зазначених типів зможе прибрати всі скріпки зі свого столу. а) Для скількох з 2015 можливих значень nn Федеріка може виграти? б) Дівчата змінюють правила гри й домовляються вважати Федеріку переможницею, якщо їй вдасться залишити на столі єдину скріпку. Для скількох з 2015 значень nn Федеріка може виграти за новими правилами?
9–11 класиОстача від ділення
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-003

Чотирикутник з рівними сторонами і бісектрисою кута

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AB=AC=ADAB = AC = AD і BC<CDBC < CD. Бісектриса кута BAD^\widehat{BAD} перетинає сторону CDCD у внутрішній точці MM і продовження сторони BCBC у точці NN. Доведіть, що a. чотирикутник ABCMABCM можна вписати в коло; b. трикутники ANBANB і ABMABM подібні.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-002

Дільники з квадратичною умовою на суму

Нехай nn — натуральне число, а 1=d1<d2<d3<…<dk=n1 = d_{1} < d_{2} < d_{3} < \ldots < d_{k} = n — його додатні дільники, впорядковані за зростанням. Відомо, що k≥4k \geq 4 і що d32+d42=2n+1d_{3}^{2} + d_{4}^{2} = 2n + 1. a. Знайдіть усі можливі значення kk. b. Знайдіть усі можливі значення nn.
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-012

Степені десятки над кубічним многочленом

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких така величина є натуральним числом: 10nn3+n2+n+1\frac{10^n}{n^3 + n^2 + n + 1}
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-001

Неквадратні дільники числа 6000

Скільки неквадратних чисел є серед додатних дільників числа 60006000?
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-002

Дотичні до кола та паралельні прямі

Нехай три точки AA, BB, CC лежать на колі Γ\Gamma. Нехай PP — точка перетину дотичних до кола Γ\Gamma у точках BB і CC. Припустімо, що прямі ABAB і CPCP паралельні, а AB=3AB = 3 і BP=4BP = 4. Знайдіть довжину відрізка BCBC. Тут довжину відрізка XYXY також позначаємо через XYXY.
10–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-003

Впорядковані натуральні числа з нерівностями на степені

Нехай п'ять натуральних чисел a,b,c,d,ea, b, c, d, e задовольняють нерівності a<b<c<d<e<a2<b2<c2<d2<e2<a3<b3<c3<d3<e3a < b < c < d < e < a^2 < b^2 < c^2 < d^2 < e^2 < a^3 < b^3 < c^3 < d^3 < e^3. Знайдіть найменше можливе значення, якого може набувати сума a+b+c+d+ea+b+c+d+e.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-013

Зростаюча послідовність із властивістю подвоєння

Послідовність {an∣n=1,2,… }\{a_n \mid n = 1, 2, \dots\} з натуральних чисел називається зростаючою послідовністю, якщо an<an+1a_n < a_{n+1} і a2n=2ana_{2n} = 2a_n виконуються для кожного натурального числа nn. (1) Нехай {an}\{a_n\} — зростаюча послідовність. Для довільного простого числа pp, більшого за a1a_1, доведіть, що серед членів послідовності {an}\{a_n\} трапляється кратне числа pp. (2) Нехай pp — непарне просте число. Доведіть, що існує зростаюча послідовність {an}\{a_n\}, для якої серед членів послідовності {an}\{a_n\} ніколи не трапляються кратні числа pp.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-014

Дотики D, E і перетини кіл BEI, CDI

Нехай ABCABC — трикутник, який не є рівнобедреним. Нехай Γ\Gamma — його описане коло, а II — центр його вписаного кола. Нехай DD і EE — точки дотику вписаного кола трикутника ABCABC до сторін ABAB і ACAC відповідно. Нехай PP — відмінна від BB точка перетину кола Γ\Gamma й описаного кола трикутника BEIBEI, а QQ — відмінна від CC точка перетину кола Γ\Gamma й описаного кола трикутника CDICDI. Доведіть, що чотири точки DD, EE, PP, QQ лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-004

Сітка 3×3 з подільністю сум рядків і стовпців

Числа від 11 до 99 потрібно розставити по одному в клітинки таблиці 3×33 \times 3 так, щоб суми чисел у кожному рядку та кожному стовпці були кратними 33. Скількома способами це можна зробити? Розстановки, які отримуються одна з одної поворотом або симетрією, вважаються різними.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-015

Найбільша кількість квадратних блоків із чорними клітинками

Нехай aa — натуральне число. Доведіть, що таке твердження справджується для всіх достатньо великих цілих nn: На клітинній дошці, що простягається до ±∞\pm\infty в обох напрямках — уздовж осей xx та yy, вибрано nn одиничних (тобто 1×11 \times 1) клітинок і пофарбовано їх у чорний колір. Нехай KK — кількість a×aa \times a квадратних блоків, які містять рівно aa чорних одиничних клітинок. Тоді найбільше можливе значення, якого може набувати KK, дорівнює a(n+1−a)a(n+1-a). Тут під твердженням «Твердження справджується для достатньо великих nn» ми розуміємо, що існує натуральне число NN, для якого твердження справджується для всіх n≥Nn \ge N.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-005

Добуток з квадратичними ірраціональностями

Зведіть такий вираз до вигляду a+b2a + b\sqrt{2}, де обидва числа aa і bb — раціональні: (1×4+2)(2×5+2)⋯(10×13+2)(2×2−2)(3×3−2)⋯(11×11−2)\frac{(1 \times 4 + \sqrt{2})(2 \times 5 + \sqrt{2})\cdots(10 \times 13 + \sqrt{2})}{(2 \times 2 - 2)(3 \times 3 - 2)\cdots(11 \times 11 - 2)}
10–11 класиПеретворення ірраціональних вираз…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-006

Мінімальна сума з умовами на НСД

Нехай натуральні числа aa, bb, cc задовольняють такі чотири умови: ∙\bullet НСД{a,b,c}=1\text{НСД}\{a, b, c\} = 1. НСД(a,b+c)>1\text{НСД}(a, b + c) > 1. НСД(b,c+a)>1\text{НСД}(b, c + a) > 1. НСД(c,a+b)>1\text{НСД}(c, a + b) > 1. Тут через НСД{}\text{НСД}\{ \} позначено найбільший спільний дільник чисел у {}\{ \}. Визначте найменше можливе значення, якого може набувати сума a+b+ca + b + c.
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-007

Прямі через точки ґратки паралельні й перпендикулярні

Нехай ll — пряма, що лежить у xyxy-площині. Для заданих 20×1520 \times 15 точок (m,n):(m=1,2,…,20,n=1,2,…,15)(m, n) : (m = 1, 2, \dots, 20, n = 1, 2, \dots, 15) у xyxy-площині існує 222222 прямі, паралельні до прямої ll (сама пряма ll може вважатися однією з цих паралельних прямих), які проходять принаймні через одну з цих точок. Скільки існує прямих, які проходять принаймні через одну з цих точок і перпендикулярні до ll?
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-008

Перетин описаних кіл на прямій

П’ять точок AA, BB, CC, DD, PP лежать у площині. Точки AA, BB, CC, DD лежать на одній прямій у цьому порядку. Крім того, відомо, що виконуються рівності AB=BC=CD=6AB = BC = CD = 6, PB=5PB = 5 і PC=7PC = 7. Тут довжину відрізка XYXY також позначаємо через XYXY. Нехай QQ — відмінна від PP точка перетину описаного кола трикутника PACPAC та описаного кола трикутника PBDPBD. Знайдіть довжину відрізка PQPQ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-009

Максимальна кількість різних півпослідовностей

Є 40304030 чисел, по два примірники кожного з чисел від 11 до 20152015 включно. Припустимо, що ці числа вишикувано зліва направо. Впорядковану послідовність із 20152015 чисел, вибраних із цього ряду з 40304030 чисел зі збереженням порядку, успадкованого з початкового ряду, називаємо півпослідовністю. Яка найбільша можлива кількість різних півпослідовностей? Дві півпослідовності вважаємо однаковими, якщо вони задають ту саму послідовність цілих чисел, навіть якщо вони походять з різних частин початкового ряду.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-010

Ітерована операція відкидання цифри

Розгляньмо таку операцію, яку можна виконувати над будь-яким натуральним числом nn: відкинути останню цифру числа nn і додати до утвореного числа учетверену відкинуту цифру. Наприклад, якщо n=1234n = 1234, одержимо 123+16=139123+16 = 139, а якщо n=7n = 7, то одержимо 0+28=280+28 = 28. Якщо почати з 25201525^{2015} і застосовувати наведену вище операцію 10000 разів, яке число отримаємо наприкінці?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.