Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-003

Значення многочлена в корені з одиниці

Нехай ω\omega — корінь з одиниці, а ff — многочлен з цілими коефіцієнтами. Доведіть, що якщо ∣f(ω)∣=1|f(\omega)|=1, то f(ω)f(\omega) також є коренем з одиниці.
10–11 класиМногочлени ділення кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-090

Стала різниця модулів на одиничному колі

Доведіть, що існує ненульове комплексне число cc і дійсне число dd такі, що ∣∣11+z+z2∣−∣11+z+z2−c∣∣=d\left|\left|\frac{1}{1+z+z^{2}}\right|-\left|\frac{1}{1+z+z^{2}}-c\right| \right|=d для всіх zz з ∣z∣=1|z|=1 і 1+z+z2≠01+z+z^{2} \neq 0. (Тут ∣z∣|z| позначає модуль комплексного числа zz, тобто ∣a+bi∣=a2+b2|a+b i|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} для дійсних чисел a,ba, b.)
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-004

Оборотна матриця, що сполучає комутатор із протилежним до нього

Нехай nn — натуральне число, а AA і BB — матриці розміру n×nn \times n з комплексними елементами такі, що A2=B2A^{2}=B^{2}. Доведіть, що існує оборотна матриця SS розміру n×nn \times n з комплексними елементами, яка задовольняє рівність S(AB−BA)=(BA−AB)SS(A B-B A)=(B A-A B) S.
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-093

Послідовності із заданими абсолютними різницями

Нехай nn — натуральне число. Послідовність (a0,…,an)(a_{0}, \ldots, a_{n}) цілих чисел називається прийнятною, якщо вона задовольняє такі умови: a. 0=∣a0∣<∣a1∣<⋯<∣an−1∣<∣an∣0 = |a_{0}| < |a_{1}| < \cdots < |a_{n-1}| < |a_{n}|. b. Множини {∣a1−a0∣,∣a2−a1∣,…,∣an−an−1∣}\{ |a_{1} - a_{0}|, |a_{2} - a_{1}|, \ldots, |a_{n} - a_{n-1}| \} і {1,3,9,…,3n−1}\{ 1, 3, 9, \ldots, 3^{n-1} \} рівні. Доведіть, що кількість прийнятних послідовностей цілих чисел дорівнює (n+1)!(n+1)!.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-098

Симетрія кількості балотних послідовностей

Для цілих чисел m,n≥1m, n \geq 1 нехай A(n,m)A(n, m) — кількість послідовностей (a1,⋯ ,anm)(a_{1}, \cdots, a_{n m}) із цілих чисел, які задовольняють такі дві властивості: (a) Кожне ціле число kk з 1≤k≤n1 \leq k \leq n трапляється в послідовності (a1,⋯ ,anm)(a_{1}, \cdots, a_{n m}) рівно mm разів. (b) Якщо i,ji, j і kk — цілі числа, такі, що 1≤i≤nm1 \leq i \leq n m і 1≤j≤k≤n1 \leq j \leq k \leq n, то jj трапляється в послідовності (a1,⋯ ,ai)(a_{1}, \cdots, a_{i}) принаймні стільки ж разів, скільки kk. Наприклад, якщо n=2n=2 і m=5m=5, то можлива послідовність — (a1,⋯ ,a10)=(1,1,2,1,2,2,1,2,1,2)(a_{1}, \cdots, a_{10})=(1,1,2,1,2,2,1,2,1,2). Натомість послідовність (a1,⋯ ,a10)=(1,2,1,2,2,1,1,1,2,2)(a_{1}, \cdots, a_{10})=(1,2,1,2,2,1,1,1,2,2) не задовольняє властивість (b) для i=5,j=1i=5, j=1 і k=2k=2. Доведіть, що A(n,m)=A(m,n)A(n, m)=A(m, n).
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-100

Мінімізація суми зі зваженими замінами

Зафіксуємо додатне дійсне число c>1c>1 і натуральне число nn. Спочатку на дошці написані числа 1,c,…,cn−11, c, \ldots, c^{n-1}. Щохвилини Боб вибирає два числа a,ba, b на дошці й замінює їх на ca+c2bc a + c^{2} b. Доведіть, що через n−1n-1 хвилин на дошці залишиться одне число, не менше за (cn/L−1c1/L−1)L\left(\frac{c^{n / L}-1}{c^{1 / L}-1}\right)^{L} де ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} і L=1+log⁡ϕ(c)L=1+\log _{\phi}(c).
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2014-003

Многочлен з обмеженими коефіцієнтами і дійсним коренем

Знайти найменше натуральне число nn, для якого існує многочлен P(X)=a2nX2n+a2n−1X2n−1+…+a1X+a0P(X)=a_{2 n} X^{2 n}+a_{2 n-1} X^{2 n-1}+\ldots+a_{1} X+a_{0} з дійсними коефіцієнтами, який має обидві такі властивості: - Для i=0,1,…,2ni=0,1, \ldots, 2 n виконується 2014≤ai≤20152014 \leq a_{i} \leq 2015. - Існує дійсне число ξ\xi, для якого P(ξ)=0P(\xi)=0.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-004

Рівняння з кубічним коренем у цілих числах

Знайдіть усі пари (x,y)(x, y) цілих чисел, які задовольняють рівняння 7x2−13xy+7y23=∣x−y∣+1\sqrt[3]{7 x^{2}-13 x y+7 y^{2}} = |x-y| + 1
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Відбіркові тести на IMOTST-2014-005

Сума та сума квадратів двох цілих чисел

Знайдіть усі невід'ємні цілі числа nn, для яких існують цілі числа aa і bb такі, що n2=a+bn^{2}=a+b і n3=a2+b2n^{3}=a^{2}+b^{2}.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-006

Пари натуральних чисел з подільністю a²+b і b²-a

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких a2+b∣a2b+aіb2−a∣ab2+b.a^{2}+b \mid a^{2} b+a \quad \text{і} \quad b^{2}-a \mid a b^{2}+b .
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-001

Значення функції з умовою f(n) = f(n/p) − f(p)

Нехай f:Z>0→Rf: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} — функція, для якої виконується: для всіх n>1n>1 існує простий дільник pp числа nn такий, що f(n)=f(np)−f(p)f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p) Крім того, відомо, що f(22014)+f(32015)+f(52016)=2013f\left(2^{2014}\right)+f\left(3^{2015}\right)+f\left(5^{2016}\right)=2013. Обчисліть f(20142)+f(20153)+f(20165)f\left(2014^{2}\right)+f\left(2015^{3}\right)+f\left(2016^{5}\right).
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2014-002

Рухомі перпендикуляри та нерухома точка

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, а XX — змінна внутрішня точка меншої дуги BC^\widehat{BC} його описаного кола. Нехай PP і QQ — основи перпендикулярів, опущених із XX на прямі CACA і CBCB відповідно. Нехай RR — точка перетину прямої PQPQ із перпендикуляром, опущеним із BB на ACAC. Нехай ℓ\ell — пряма, що проходить через PP паралельно до XRXR. Доведіть, що коли XX рухається меншою дугою BC^\widehat{BC}, пряма ℓ\ell завжди проходить через деяку нерухому точку. (Точніше: доведіть, що існує точка FF, визначена трикутником ABCABC, така, що незалежно від того, де саме лежить XX на дузі BC^\widehat{BC}, пряма ℓ\ell проходить через FF.)
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2014-037

Подібність трикутників, породжена серединами дуг

Нехай ABCABC — трикутник, а D,E,FD, E, F — середини дуг BC,CA,ABBC, CA, AB на описаному колі. Пряма lal_a проходить через основи перпендикулярів, опущених з AA на прямі DBDB і DCDC. Пряма mam_a проходить через основи перпендикулярів, опущених з DD на прямі ABAB і ACAC. Нехай A1A_1 — точка перетину прямих lal_a і mam_a. Точки B1B_1 і C1C_1 визначимо аналогічно. Доведіть, що трикутники DEFDEF і A1B1C1A_1B_1C_1 подібні.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2014-010

Некішні числа серед послідовних чисел

Натуральне число nn називається некішним, якщо його можна записати у вигляді n=ab+bn = a^{b} + b з двома цілими числами a,b≥2a, b \geq 2. З'ясуйте, чи існують 102 послідовні натуральні числа, серед яких рівно 100 некішних.
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові тести на IMOTST-2014-011

Ортогональні прямі в трикутнику з вписаним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом kk та центром вписаного кола II. Перпендикуляр до CICI, проведений через II, перетинає сторону BCBC в точці UU, а коло kk — в точці VV, причому VV і AA лежать по різні боки від прямої BCBC. Пряма, паралельна AIAI і проведена через UU, перетинає AVAV у точці XX. Доведіть: якщо прямі XIXI та AIAI перпендикулярні між собою, то XIXI перетинає сторону ACAC в її середині MM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2014-013

Рівні відрізки при перетині медіани та чевіани

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник. Нехай MM — середина сторони BCBC, а DD — внутрішня точка сторони ABAB. Точку перетину відрізків AMAM і CDCD позначимо через EE. Припустімо, що ∣AD∣=∣DE∣|AD|=|DE|. Доведіть, що ∣AB∣=∣CE∣|AB|=|CE|.
10–11 класиТеорема Менелая5 розв’язків
Відбіркові тести на IMOTST-2014-007

Множини сум і часток цілих чисел

Множини AA і BB є підмножинами натуральних чисел. Сума будь-яких двох різних елементів із AA є елементом BB. Частка будь-яких двох різних елементів із BB (при цьому більше ділимо на менше) є елементом AA. Визначте найбільшу можливу кількість елементів у A∪BA \cup B.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-012

Рівняння x f(x y) + f(-y) = x f(x)

Знайдіть усі функції f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}, для яких: xf(xy)+f(−y)=xf(x)x f(x y)+f(-y)=x f(x) для всіх дійсних x,yx, y, відмінних від 00.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-008

Переставляння сусідніх фішок у ряді

Дано 2n2 n фішок, які лежать у ряд. За один хід можна поміняти місцями дві сусідні фішки. Скільки ходів треба зробити, щоб кожна фішка один раз побувала на початку ряду й один раз — у кінці ряду?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-038

Змушені члени послідовності з цілими частинами

Скінченну послідовність цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n називають регулярною, якщо існує дійсне число xx, яке задовольняє ⌊kx⌋=akдля 1≤k≤n.\lfloor kx \rfloor = a_k \quad \text{для } 1 \le k \le n. Для регулярної послідовності a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, при 1≤k≤n1 \le k \le n кажемо, що член aka_k є вимушеним, якщо виконано таку умову: послідовність a1,a2,…,ak−1,ba_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b є регулярною тоді й лише тоді, коли b=akb = a_k. Знайдіть найбільшу можливу кількість вимушених членів у регулярній послідовності з 1000 членів.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Відбіркові тести на IMOTST-2014-009

Послідовність, усі середні якої — точні квадрати

Нехай a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots — послідовність цілих чисел із властивістю, що середнє арифметичне будь-якої групи послідовних aia_i є точним квадратом. Точніше, для будь-яких натуральних чисел nn і kk величина an+an+1+⋯+an+k−1k\frac{a_n + a_{n+1} + \dots + a_{n+k-1}}{k} завжди є квадратом цілого числа. Доведіть, що послідовність обов'язково є сталою (усі aia_i дорівнюють одному й тому ж точному квадрату).
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-017

Рівність відрізків при перетині описаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC|. Нехай DD та EE — середини сторін AB‾\overline{AB} та AC‾\overline{AC} відповідно. Нехай описані кола трикутників BCDBCD і BCEBCE перетинають описане коло трикутника ADEADE у точках PP та QQ відповідно, причому P≠DP \neq D і Q≠EQ \neq E. Доведіть, що ∣AP∣=∣AQ∣|AP| = |AQ|.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-018

Мощення багатокутника S- та Z-тетраміно

З двох доміно 2×12 \times 1 можна побудувати тетраміно, якщо прикласти два доміно одне до одного довшими сторонами так, щоб середина довшої сторони одного доміно була вершиною іншого доміно. При цьому виникають два типи тетраміно, що відрізняються своєю орієнтацією, які ми назвемо SS- та ZZ-тетраміно. SS-тетраміно: ZZ-тетраміно: Клітчастий багатокутник PP — це однозв'язна область, граничні лінії якої лежать лише на лініях цілочисельної координатної сітки площини. Замощення PP — це повне та без перекриттів покриття PP фігурами, жодна з яких не виходить за межі PP. Тепер припустимо, що клітчастий багатокутник PP може бути замощений лише SS-тетраміно. Доведіть: якщо також можливе замощення PP за допомогою SS- та ZZ-тетраміно, то кількість використаних ZZ-тетраміно завжди парна.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-019

Коло через вершину, дотичне в інцентрі

У трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола. Коло дотикається до прямої AIAI в точці II і проходить через точку BB. Це коло перетинає ABAB ще раз у точці PP, а BCBC — ще раз у точці QQ. Пряма QIQI перетинає ACAC у точці RR. Доведіть, що ∣AR∣⋅∣BQ∣=∣PI∣2|AR| \cdot |BQ| = |PI|^{2}.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2014-014

Рівні хорди з кола ортоцентра

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCA B C. Пряма через AA, перпендикулярна до сторони ACA C, і пряма через BB, перпендикулярна до сторони BCB C, перетинаються в точці DD. Коло з центром CC, що проходить через HH, перетинає описане коло трикутника ABCA B C в точках EE і FF. Доведіть, що ∣DE∣=∣DF∣=∣AB∣|D E|=|D F|=|A B|.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.