Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Італійська математична олімпіадаITAMO-2014-002

НСД сум трьох послідовних степенів

Для кожного натурального числа nn нехай DnD_{n} — найбільший спільний дільник усіх чисел вигляду an+(a+1)n+(a+2)na^{n} + (a+1)^{n} + (a+2)^{n}, де aa пробігає всі натуральні числа. a. Доведіть, що для кожного nn число DnD_{n} має вигляд 3k3^{k} для деякого цілого k≥0k \geq 0. b. Доведіть, що для кожного k≥0k \geq 0 існує ціле число nn таке, що Dn=3kD_{n} = 3^{k}.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-001

Пари m і n для чорно-білої сітки з умовами

Кожну клітинку сітки з mm рядків та nn стовпців пофарбовано в білий або в чорний колір так, щоб виконувалися такі дві умови: a. кожен рядок містить стільки ж білих клітинок, скільки чорних; b. якщо рядок перетинає стовпець у чорній клітинці, то цей рядок і цей стовпець мають однакову кількість чорних клітинок; так само, якщо рядок перетинає стовпець у білій клітинці, то цей рядок і цей стовпець мають однакову кількість білих клітинок. Знайдіть усі можливі пари (m,n)(m, n), для яких може існувати таке розфарбування.
9–11 класиГеометричні розфарбування
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-002

Медіани та коло шести точок у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай AMAM, BNBN і CLCL — медіани, які перетинаються в точці GG (центроїді трикутника). Нехай M′M', N′N' і L′L' — середини відрізків AGAG, BGBG і CGCG відповідно. Доведіть, що шість точок MM, M′M', NN, N′N', LL, L′L' лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли трикутник ABCABC рівносторонній.
9–11 класиТочка перетину медіан
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-003

Подільність b-1 на a+1 і a²+a+2 на b

Знайти всі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел таких, що a+1a+1 є дільником b−1b-1 і bb є дільником a2+a+2a^{2}+a+2.
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-001

Дотичні кола з рівними відрізками

Коло C1C_1 внутрішньо дотикається до кола C2C_2 в точці AA. Нехай OO — центр кола C2C_2. Дотична до кола C1C_1 в точці PP на колі C1C_1 проходить через точку OO. Нехай QQ — точка перетину променя OPOP з колом C2C_2, а RR — точка перетину прямої, дотичної до кола C1C_1 в точці AA, з прямою OPOP. Припустимо, що радіус кола C2C_2 дорівнює 99 і виконується PQ=QRPQ = QR. Тут довжину відрізка XYXY також позначаємо через XYXY. Знайдіть значення OPOP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-002

Різні позначення восьмикутника зі взаємно простими сусідами

Припустімо, що кожній із 8 вершин правильного восьмикутника приписано одне з натуральних чисел nn, що задовольняють нерівність 1≤n≤81 \le n \le 8. Скільки існує способів приписати ці числа так, щоб виконувалися такі 2 умови: приписані числа всі різні. будь-які два числа, приписані сусіднім вершинам, взаємно прості. Два способи приписати 8 чисел вважайте різними, навіть якщо один отримується з іншого поворотом або перевертанням восьмикутника.
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-003

Покриття кліками та незалежними множинами

Нехай nn — натуральне число. Для кожної пари учнів певної школи, в якій навчається nn учнів, ці двоє або є взаємними друзями, або ні. Нехай NN — найменша можлива сума a+ba+b натуральних чисел aa і bb, що задовольняють такі 2 умови щодо учнів цієї школи: (1) Можна поділити учнів на aa команд так, щоб будь-які два учні з однієї команди були взаємними друзями. (2) Можна поділити учнів на bb команд так, щоб будь-які два учні з однієї команди не були взаємними друзями. Припускається, що кожен учень належатиме до однієї й лише однієї команди, коли учнів ділять на команди для виконання умов (1) і (2) вище, а команда може складатися лише з одного учня, і в цьому разі вважається, що ця команда задовольняє обидві умови: і що будь-які два її учні є взаємними друзями, і що не є. Визначте через nn найбільше можливе значення, якого може набувати NN.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-004

Сума за дільниками з квадратним коренем

Знайдіть значення ∑1d+10!\sum \frac{1}{d + \sqrt{10!}} де суму взято за всіма додатними дільниками dd числа 10!10!.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-005

Вписаний шестикутник з діагоналями, що перетинаються в одній точці

На колі розміщено 6 точок AA, BB, CC, DD, EE, FF у цьому порядку проти годинникової стрілки, а три прямі ADAD, BEBE і CFCF перетинаються в одній точці. Якщо AB=1, BC=2, CD=3, DE=4, EF=5,AB = 1,\ BC = 2,\ CD = 3,\ DE = 4,\ EF = 5, знайдіть значення FAFA. Тут довжину відрізка XYXY також позначаємо через XYXY.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-006

Коло через точки перетину, дотичне до сторони

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а ℓ\ell — пряма, дотична до кола Γ\Gamma в точці AA. Нехай D,ED, E — внутрішні точки сторін AB,ACAB, AC відповідно, що задовольняють умову BD:DA=AE:ECBD : DA = AE : EC. Нехай F,GF, G — дві точки перетину прямої DEDE і кола Γ\Gamma, HH — точка перетину прямої ℓ\ell і прямої, паралельної до ACAC, що проходить через точку DD, а II — точка перетину прямої ℓ\ell і прямої, паралельної до ABAB, що проходить через точку EE. Доведіть, що чотири точки F,G,H,IF, G, H, I лежать на колі, яке дотикається до прямої BCBC. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-007

Триноміальна сума біноміальних коефіцієнтів

Знайдіть значення ∑C17a⋅C17b⋅C17c,\sum C_{17}^a \cdot C_{17}^b \cdot C_{17}^c, де сума береться за всіма трійками (a,b,c)(a, b, c) невід'ємних цілих чисел, що задовольняють умову a+b+c=5a+b+c=5.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-008

Взаємно прості множини з найбільшим добутком

Є дві дошки AA і BB, на кожній з яких написано деяку кількість різних цілих чисел, не менших від 22 і не більших за 2020, так, що будь-які два числа, одне з яких узято з AA, а друге — з BB, є взаємно простими. Визначте найбільше можливе значення, якого може набувати добуток кількості цілих чисел, написаних на AA, і кількості цілих чисел, написаних на BB.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-009

Розподіл підкомітетів за вподобаннями

У певній школі є комітет, що складається з 4 членів. Для цього комітету є 4 підкомітети, і кожному членові комітету буде запропоновано очолити окремий підкомітет. Припустімо, що кожен член комітету має 2 підкомітети, які він волів би очолювати. Відомо, що існує рівно 2 способи розподілити підкомітети між членами так, щоб задовольнити вподобання всіх членів. Скільки можливих комбінацій вподобань усіх чотирьох членів є в цій ситуації?
10–11 класиСтепені вершин
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-010

Нулі у цілій частині частки

Нехай mm — натуральне число із 10001000 цифр, усі цифри якого ненульові. Для натурального числа nn розглянемо ⌊mn⌋\left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor, де для будь-якого дійсного числа rr через ⌊r⌋\lfloor r \rfloor позначаємо найбільше ціле число, що не перевищує rr. Знайдіть найбільшу можливу кількість цифр, які дорівнюють 00, у числі ⌊mn⌋\left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor, де 1≤n≤m1 \le n \le m.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-011

Колінеарність перетинів прямих із точками на діагоналях квадрата

Нехай OO — точка перетину двох діагоналей квадрата ABCDABCD. Точки P,Q,R,SP, Q, R, S лежать на відрізках OA,OB,OC,ODOA, OB, OC, OD відповідно, причому OP=3OP = 3, OQ=5OQ = 5, OR=4OR = 4. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY. Якщо точка перетину прямих ABAB і PQPQ, точка перетину прямих BCBC і QRQR та точка перетину прямих CDCD і RSRS лежать на одній прямій, чому дорівнює довжина відрізка OSOS?
10–11 класиТеорема Менелая
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-012

Розфарбування сітки з обмеженнями на сусідство

Для сітки з 55×5555 \times 55 клітинок розглянемо таку операцію: Операція: вибрати прямокутну область, що складається з кількох клітинок сітки, і пофарбувати цю область або в білий, або в чорний колір. Визначте найменшу можливу кількість операцій, необхідну, щоб з початкової конфігурації, в якій усі клітинки пофарбовані в білий колір, отримати конфігурацію, що задовольняє такі умови: клітинка у верхньому лівому куті пофарбована в чорний колір. кожна клітинка, що має спільну сторону з клітинкою, пофарбованою в чорний колір, пофарбована в білий колір. кожна клітинка, що має спільну сторону з клітинкою, пофарбованою в білий колір, пофарбована в чорний колір.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-013

Таблиця бінарної операції з ідемпотентною діагоналлю

Розглянемо операцію вписування в кожну клітинку клітинної дошки 6×66 \times 6 цілого числа, більшого або рівного 11 і меншого або рівного 66. Для пари цілих чисел (i,j)(i, j) з 1≤i,j≤61 \le i, j \le 6 позначимо через i⋄ji \diamond j ціле число, вписане в клітинку, розташовану в ii-му рядку та jj-му стовпці після операції. Скільки існує різних операцій, які задовольняють такі 2 умови? Для кожного ii (1≤i≤61 \le i \le 6) виконується i⋄i=ii \diamond i = i. Для будь-якого вибору i,j,k,ℓi, j, k, \ell з 1≤i,j,k,ℓ≤61 \le i, j, k, \ell \le 6 виконується (i⋄j)⋄(k⋄ℓ)=i⋄ℓ(i \diamond j) \diamond (k \diamond \ell) = i \diamond \ell.
10–11 класиПерестановки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-001

Нерівність із симетричними сумами та кубами

Нехай xx, yy, zz — додатні дійсні числа, які задовольняють x+y+z=1x + y + z = 1. Доведіть, що (1+xy+yz+zx)(1+3x3+3y3+3z3)9(x+y)(y+z)(z+x)≥(x1+x3+9x24+y1+y3+9y24+z1+z3+9z24)2\frac{(1 + xy + yz + zx)(1 + 3x^3 + 3y^3 + 3z^3)}{9(x + y)(y + z)(z + x)} \ge \left( \frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}} + \frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}} + \frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}} \right)^2
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-002

Вписаність і серединний перпендикуляр у трикутнику

Дано трикутник ABCABC, у якого AC=BC>ABAC = BC > AB. Нехай EE і FF — середини сторін ACAC і ABAB відповідно. Серединний перпендикуляр ℓ\ell до сторони ACAC перетинає ABAB у точці KK, а пряма, паралельна до KCKC, що проходить через точку BB, перетинає ACAC у точці LL. Для точки PP на відрізку BFBF нехай HH — ортоцентр трикутника ACPACP. Відрізки BHBH і CPCP перетинаються в точці JJ, а прямі FJFJ і ℓ\ell перетинаються в точці MM. Нехай WW — точка перетину прямих FLFL і ℓ\ell. Доведіть, що AW=PWAW = PW тоді й лише тоді, коли точки B,E,F,MB, E, F, M лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-003

Перестановки, що переживають чотири видалення нерухомих точок

nn учнів з різними іменами стають у коло обличчям до центра кола. Спочатку nn бейджів з іменами учнів роздають їм навмання. Учні повторюють такий процес: [процес] Кожен учень, що має бейдж зі своїм іменем, виходить з кола, а решта учнів передають свої бейджі праворуч. Знайдіть кількість початкових роздач бейджів, за яких після 4 процесів ще залишаться деякі учні.
10–11 класиПерестановки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-004

Дотик і перпендикулярність у рівнобедреній конфігурації

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AC=BCAC = BC. Нехай DD — точка на прямій BABA така, що AA лежить між BB і DD. Нехай O1O_1 — описане коло трикутника DACDAC. Коло O1O_1 перетинає BCBC у точці EE. Нехай FF — точка на прямій BCBC така, що пряма FDFD дотикається до кола O1O_1, а O2O_2 — описане коло трикутника DBFDBF. Два кола O1,O2O_1, O_2 перетинаються в точці GG (G≠DG \neq D). Нехай OO — центр описаного кола трикутника BEGBEG. Доведіть, що пряма FGFG дотикається до кола OO тоді й лише тоді, коли пряма DGDG перпендикулярна до прямої FOFO.
10–11 класиДотична кола
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-005

Еквівалентні умови оборони замків

На континенті є скінченна кількість замків, і кожен замок належить рівно одній з двох країн AA і BB. У кожному замку є один генерал. Будемо казати, що два замки сусідні, якщо між цими двома замками є шлях. Також будемо казати, що замок PP і множина замків QQ сусідні, якщо PP є сусіднім з деяким замком із QQ. Доведіть, що такі дві умови рівносильні: 1. Якщо деякі генерали з країни BB перейдуть у деякі сусідні замки й атакують, генерали з країни AA можуть перейти у деякі сусідні замки так, щоб у кожному замку з країни AA кількість генералів з AA була не меншою за кількість генералів з BB. 2. Якщо XX — множина замків з країни AA, то кількість генералів з AA, які перебувають у XX або в замках, сусідніх з XX, не менша за кількість генералів з BB, які перебувають у замках, сусідніх з XX.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2014-001

Паралельна хорда у колах, що перетинаються

Два кола k1k_{1}, k2k_{2} з центрами M1M_{1} та M2M_{2} відповідно перетинаються в точках AA і BB. Дотична до кола k1k_{1} в точці AA перетинає k2k_{2} ще раз у точці PP. Крім того, пряма M1BM_{1} B також перетинає k2k_{2} ще раз у точці QQ. Припустимо, що QQ лежить поза колом k1k_{1} і що P≠QP \neq Q. Доведіть, що пряма PQPQ паралельна прямій M1M2M_{1} M_{2}.
10–11 класиДотична кола
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-001

Найменший добуток зсунутих квадратів дійсних коренів

Нехай aa, bb, cc, dd — дійсні числа, для яких b−d≥5b - d \ge 5 і всі корені x1x_1, x2x_2, x3x_3, x4x_4 многочлена P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d є дійсними. Знайдіть найменше значення, яке може набувати добуток (x12+1)(x22+1)(x32+1)(x42+1)(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)(x_3^2 + 1)(x_4^2 + 1).
10–11 класиТеорема Вієта2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-002

Колінеарні точки з умовою на суму індексів

Доведіть, що існує нескінченна множина точок …,P−3,P−2,P−1,P0,P1,P2,P3,…\dots, P_{-3}, P_{-2}, P_{-1}, P_0, P_1, P_2, P_3, \dots на площині з такою властивістю: для будь-яких трьох різних цілих чисел a,ba, b і cc точки Pa,PbP_a, P_b і PcP_c лежать на одній прямій тоді і лише тоді, коли a+b+c=2014a + b + c = 2014.
10–11 класиМетод координат2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.