Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Відбіркові тести на IMOTST-2013-043

Непарність частки суми степенів

Доведіть, що частка 11+33+55+⋯+(22012−1)(22012−1)22012\frac{1^1 + 3^3 + 5^5 + \dots + (2^{2012} - 1)^{(2^{2012} - 1)}}{2^{2012}} є непарним цілим числом.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2013-022

Таблиці нулів і одиниць з упорядкованими нулями

У таблиці з nn рядками та 2n2n стовпцями, де nn — фіксоване натуральне число, у кожну клітинку записуємо або нуль, або одиницю так, щоб кожен рядок містив nn нулів і nn одиниць. Для 1≤k≤n1 \le k \le n і 1≤i≤n1 \le i \le n означимо ak,ia_{k,i} так, що ii-й нуль у kk-му рядку стоїть у ak,ia_{k,i}-му стовпці. Нехай F\mathcal{F} — множина таких таблиць, для яких a1,i≥a2,i≥⋯≥an,ia_{1,i} \ge a_{2,i} \ge \dots \ge a_{n,i} для кожного ii з 1≤i≤n1 \le i \le n. Для C∈FC \in \mathcal{F} зіставимо іншу таблицю f(C)f(C) розміру n×2nn \times 2n так: для kk-го рядка таблиці f(C)f(C) запишемо nn одиниць у стовпцях an,k−k+1,an−1,k−k+2,…,a1,k−k+na_{n,k} - k + 1, a_{n-1,k} - k + 2, \dots, a_{1,k} - k + n (а в інші клітинки цього рядка запишемо нулі). a. Доведіть, що f(C)∈Ff(C) \in \mathcal{F}. b. Доведіть, що f(f(f(f(f(f(C))))))=Cf(f(f(f(f(f(C)))))) = C для будь-якого C∈FC \in \mathcal{F}.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2013-023

Цілочисельний многочлен зі значеннями неквадратами

Визначте, чи існує многочлен (від трьох змінних) P(x,y,z)P(x, y, z) з цілими коефіцієнтами, що має таку властивість: натуральне число nn не є повним квадратом тоді й лише тоді, коли існує трійка (x,y,z)(x, y, z) натуральних чисел, для якої P(x,y,z)=nP(x, y, z) = n.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-044

Стабільні трикутні таблиці із заданими сумами рядків

Нехай nn — натуральне число. Розглянемо трикутну таблицю з невід'ємних цілих чисел такого вигляду: Назвемо таку трикутну таблицю стабільною, якщо для всіх 0≤i<j<k≤n0 \le i < j < k \le n виконується ai,j+aj,k≤ai,k≤ai,j+aj,k+1.a_{i,j} + a_{j,k} \le a_{i,k} \le a_{i,j} + a_{j,k} + 1. Для будь-якої неспадної послідовності невід'ємних цілих чисел s1,…,sns_1, \dots, s_n доведіть, що існує єдина стабільна трикутна таблиця, у якій сума всіх елементів у рядку kk дорівнює sks_k.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбіркові тести на IMOTST-2013-045

Класи еквівалентності повних рядків за простої операції

Нехай SS — множина з nn змінних. Бінарна операція ×\times на SS називається простою, якщо вона задовольняє (x×y)×z=x×(y×z)(x \times y) \times z = x \times (y \times z) для всіх x,y,z∈Sx, y, z \in S і x×y∈{x,y}x \times y \in \{x, y\} для всіх x,y∈Sx, y \in S. Для простої операції ×\times на SS будь-який рядок з елементів SS можна звести до одного елемента, наприклад xyz→x×(y×z)xyz \rightarrow x \times (y \times z). Рядок зі змінних множини SS називається повним, якщо він містить кожну змінну з SS принаймні один раз, а два рядки називаються еквівалентними, якщо вони дають ту саму змінну незалежно від того, яку просту операцію ×\times обрано. Наприклад, xxxxxx, xxxx і xx еквівалентні, але вони повні лише якщо n=1n = 1. Нехай TT — множина рядків така, що будь-який повний рядок еквівалентний рівно одному елементу з TT. Визначте кількість елементів множини TT.
10–11 класиПерестановки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2013-001

Цілі швидкості на замкненій трасі

Модель автомобіля випробовують на кількох замкнених трасах завдовжки 600 метрів, складених з рівнинних ділянок та ділянок підйому або спуску. Всі ділянки підйому та спуску мають однаковий нахил. Випробування виявляють деякі цікаві факти: a. швидкість моделі залежить лише від того, чи машина їде ділянкою підйому, рівнини чи спуску; позначивши ці три швидкості відповідно vs,vpv_{s}, v_{p} і vdv_{d}, маємо vs<vp<vdv_{s}<v_{p}<v_{d}; b. vs,vpv_{s}, v_{p} і vdv_{d}, виражені в метрах за секунду, є цілими числами; c. хоч би як було складено трасу (з більшою чи меншою кількістю підйомів і спусків), час проходження завжди становить 50 секунд. Знайти всі можливі значення vs,vpv_{s}, v_{p} і vdv_{d}.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2013-002

Точки дотику вписаних кіл на медіані трикутника

У трикутнику ABCABC припустимо, що a>ba > b, де a=BCa = BC і b=ACb = AC. Нехай MM — середина сторони ABAB, а α\alpha і β\beta — вписані кола відповідно трикутників ACMACM і BCMBCM. Нехай далі A′A^{\prime} і B′B^{\prime} — точки дотику кіл α\alpha і β\beta з відрізком CMCM. Доведіть, що A′B′=a−b2A^{\prime}B^{\prime} = \frac{a-b}{2}.
10–11 класиДотична кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2013-003

Збалансоване розфарбування послідовних цілих чисел

Кожне ціле число пофарбовано в один із двох кольорів — червоний або синій. Відомо, що для кожної скінченної множини AA послідовних цілих чисел абсолютне значення різниці між кількістю червоних цілих чисел і кількістю синіх цілих чисел у множині AA не перевищує 1000. Доведіть, що існує множина з 2000 послідовних цілих чисел, серед яких рівно 1000 червоних чисел і 1000 синіх чисел.
10–11 класиПарність та непарність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2013-004

Запис 5654 як степінь простого числа

У яких основах b>6b>6 запис 5654 є степенем простого числа?
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-001

Взаємно прості трійки з подільністю сум

Знайдіть усі трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c) такі, що - a≤b≤ca \leq b \leq c; - НСД(a,b,c)=1\text{НСД}(a, b, c)=1; - aa є дільником b+cb+c, bb є дільником c+ac+a і cc є дільником a+ba+b.
9–11 класиНСД та НСК
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-002

Послідовність стрибків з поверненням у початок

Нехай nn — натуральне число. Блоха перебуває на числовій прямій і виконує послідовність із nn стрибків завдовжки 1,2,3,…,n1,2,3, \ldots, n. Блоха може вибирати порядок довжин стрибків і для кожного стрибка вирішувати, стрибати праворуч чи ліворуч. a. Доведіть, що при n=2012n=2012 блоха може завершити послідовність стрибків у тій самій точці, з якої вона стартувала. b. Доведіть, що при n=2013n=2013 це неможливо. c. У загальному випадку для яких nn вона може повернутися до початкової точки?
9–11 класиПарність та непарність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-003

Діагоналі трапеції і паралель через їх перетин

Нехай ABCDABCD — трапеція, яка не є паралелограмом. Нехай PP — точка перетину діагоналей, а QQ — точка перетину продовжень бічних сторін. a. Через точку PP проведено пряму, паралельну основам, і нехай XX та YY — точки її перетину з бічними сторонами: доведіть, що XP=YPXP = YP. b. Доведіть, що пряма PQPQ перетинає меншу основу в її середині.
9–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-001

Мінімальна сума при заданому НСК

Нехай найменше спільне кратне трьох натуральних чисел xx, yy, zz дорівнює 21002100. Якого найменшого значення може набувати сума x+y+zx + y + z?
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-002

Строго спадний розподіл торта між клубами

Нехай n,kn, k — натуральні числа, для яких n≥kn \ge k. Є група з nn осіб. Кожна особа цієї групи належить одному й лише одному з kk клубів, які називаються клубами C1,C2,…,CkC_1, C_2, \dots, C_k. Кожен клуб має принаймні одного члена. Доведіть, що можна роздати n2n^2 шматків торта цим nn особам так, щоб виконувалися всі такі умови: Кожен отримає принаймні 1 шматок торта. Для кожного ii, 1≤i≤k1 \le i \le k, кожен член клубу CiC_i отримає aia_i шматків торта. Якщо 1≤i<j≤k1 \le i < j \le k, то ai>aja_i > a_j.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-014

Нумерація клітинок таблиці за рядками та стовпцями

Нехай дано дві прямокутні таблиці 20×1320 \times 13, що складаються з 260260 маленьких клітинок. У кожну клітинку обох таблиць вписуємо числа 1,2,…,2601, 2, \ldots, 260 таким чином: Для першої таблиці спочатку вписуємо числа 1,2,…,131, 2, \ldots, 13 у клітинки верхнього рядка зліва направо. Далі вписуємо числа 14,15,…,2614, 15, \ldots, 26 у клітинки другого рядка зліва направо. Продовжуємо так, доки не впишемо числа 248,249,…,260248, 249, \ldots, 260 у клітинки нижнього рядка зліва направо. Для другої таблиці спочатку вписуємо числа 1,2,…,201, 2, \ldots, 20 у клітинки крайнього правого стовпця зверху вниз. Далі вписуємо числа 21,22,…,4021, 22, \ldots, 40 у клітинки другого справа стовпця зверху вниз. Продовжуємо так, доки не впишемо числа 241,242,…,260241, 242, \ldots, 260 у клітинки крайнього лівого стовпця зверху вниз. Перелічіть усі натуральні числа, які за описаних вище способів розподілу чисел потрапляють у клітинки, розташовані в однакових місцях обох таблиць.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-003

Функції з рівністю f(m) + f(n) = f(mn) + f(m + n + mn)

Знайдіть усі функції ff з дійсними значеннями, визначені на множині всіх цілих чисел, які задовольняють таку тотожність для довільної пари m,nm, n цілих чисел: f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn).f(m) + f(n) = f(mn) + f(m + n + mn).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-004

Зростаюча послідовність із квадратними середніми

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Знайдіть найменше натуральне число mm, для якого існує послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n натуральних чисел, що задовольняє такі дві умови: a1<a2<⋯<an=ma_1 < a_2 < \dots < a_n = m. Усі n−1n-1 чисел a12+a222,…,an−12+an22\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}, \dots, \frac{a_{n-1}^2 + a_n^2}{2} є повними квадратами.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-005

П'ятикутник, утворений перетином хорд

На колі радіуса 11 у вказаному порядку розміщено точки A1A_1, A2A_2, A3A_3, A4A_4, A5A_5, які задовольняють умову ∠A5A2A4=∠A1A3A5=∠A2A4A1=∠A3A5A2=30∘.\angle A_5A_2A_4 = \angle A_1A_3A_5 = \angle A_2A_4A_1 = \angle A_3A_5A_2 = 30^{\circ}. Нехай B1B_1, B2B_2, B3B_3, B4B_4, B5B_5 — точки перетину відрізків A2A4A_2A_4 і A3A5A_3A_5, A3A5A_3A_5 і A4A1A_4A_1, A4A1A_4A_1 і A5A2A_5A_2, A5A2A_5A_2 і A1A3A_1A_3, A1A3A_1A_3 і A2A4A_2A_4 відповідно. Знайдіть площу п'ятикутника B1B2B3B4B5B_1B_2B_3B_4B_5.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-006

Коефіцієнти при парних степенях добутку кубів

Нехай для kk, 0≤k≤90 \le k \le 9, aka_k — коефіцієнт при xkx^k у многочлені (x+1)3(x+2)3(x+3)3(x+1)^3(x+2)^3(x+3)^3. Знайдіть значення a2+a4+a6+a8a_2 + a_4 + a_6 + a_8.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-016

Рівні кути від основи до спільної хорди кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай HH — його ортоцентр. Припустімо, що коло, яке проходить через точки BB, CC, і коло, що має відрізок AHAH своїм діаметром, перетинаються у двох різних точках XX і YY. Нехай DD — основа перпендикуляра, проведеного з AA до прямої BCBC, а KK — основа перпендикуляра, проведеного з DD до прямої XYXY. Доведіть, що виконується рівність ∠BKD=∠CKD\angle BKD = \angle CKD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-017

Перетини ортогональної замкненої ламаної

Нехай nn — натуральне число. Точки P1,P2,…,P4nP_1, P_2, \dots, P_{4n} розміщено на площині так, що жодні 3 точки серед них не лежать на одній прямій. Крім того, для кожного i=1,2,…,4ni = 1, 2, \dots, 4n, якщо півпряму PiPi−1P_i P_{i-1} з початком у точці PiP_i повернути навколо точки PiP_i на 90∘90^\circ за годинниковою стрілкою, то вона перейде у півпряму PiPi+1P_i P_{i+1} з початком у точці PiP_i. Визначте найбільшу можливу кількість пар (i,j)(i, j), для яких відрізки PiPi+1P_i P_{i+1} і PjPj+1P_j P_{j+1} перетинаються в точці, відмінній від кінців цих відрізків. Тут покладаємо P0=P4n,P4n+1=P1P_0 = P_{4n}, P_{4n+1} = P_1 і вважаємо, що 1≤i<j≤4n1 \le i < j \le 4n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-012

Дотичні в точках перетину кіл і відношення радіусів

Два кола O1O_1 і O2O_2 перетинаються у двох різних точках PP і QQ. Дотична до кола O1O_1 в точці PP перетинає коло O2O_2 в точці RR, відмінній від PP, а дотична до кола O2O_2 в точці QQ перетинає коло O1O_1 в точці SS, відмінній від QQ. Нехай XX — точка перетину двох прямих PRPR і QSQS. Якщо XR=9XR = 9 і XS=2XS = 2, чому дорівнює відношення r1r2\frac{r_1}{r_2}, де r1r_1 і r2r_2 — радіуси кіл O1,O2O_1, O_2 відповідно? Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-007

Розподіл тортів з умовою мажорування

Є по 2424 шматки тортів двох різних видів AA і BB. Усі торти розподілять між трьома людьми XX, YY, ZZ. Допускаються розподіли, за яких хтось може не отримати жодного шматка торта певного виду. Скільки існує різних способів розподілити торти так, щоб для жодної пари людей не виникла описана нижче ситуація? Один з них отримує aa шматків AA і bb шматків BB, а інший — a′a' шматків AA і b′b' шматків BB, де виконуються всі умови a≤a′a \le a', b≤b′b \le b' і a+b<a′+b′a+b < a'+b'.
10–11 класиКомбінації
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-013

Невід'ємні розв'язки рівняння з сумою квадратів

Скільки існує наборів (x1,x2,…,x25)(x_1, x_2, \dots, x_{25}) із 25 невід'ємних цілих чисел, які задовольняють таку рівність? x12+x22+⋯+x252=2+x1x2+x2x3+⋯+x24x25.x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{25}^2 = 2 + x_1x_2 + x_2x_3 + \dots + x_{24}x_{25}.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-008

Коло, дотичне до чотирьох кіл з центрами у вершинах

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якому відрізки ACAC і BDBD перетинаються в точці XX під прямим кутом. Припустімо, що AX=5AX = 5, BX=6BX = 6 і CX=20CX = 20. Позначимо через O1,O2,O3O_1, O_2, O_3 і O4O_4 відповідно коло з центром у точці AA і радіусом AXAX, коло з центром у точці BB і радіусом BXBX, коло з центром у точці CC і радіусом CXCX та коло з центром у точці DD і радіусом DXDX. Знайдіть значення DXDX, якщо існує коло, яке дотикається до всіх кіл O1,O2,O3O_1, O_2, O_3 і O4O_4. Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиМетод координат

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.