Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-015

Малі дільники числа 10ⁿ−1

Знайдіть усі дільники kk числа 102013−110^{2013} - 1, для яких 1≤k≤1001 \le k \le 100.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-009

Перевертання карток з цілою частиною

Є 2013 карток з номерами 00, 11, 22, …\ldots, 20122012. Спочатку всі картки лежать числом, що на них написане, донизу. Далі для кожного i=1,2,…,2013i = 1, 2, \dots, 2013 виконуємо таку операцію ii, починаючи з i=1i = 1 у порядку зростання і закінчуючи i=2013i = 2013: Операція ii: перевернути кожну з ii карток з номером ⌊2013ji⌋\left\lfloor \frac{2013j}{i} \right\rfloor для j=0,1,…,i−1j = 0, 1, \dots, i - 1. Скільки карток наприкінці всіх операцій лежатимуть числами догори (показуючи свої номери)? Тут через ⌊r⌋\lfloor r \rfloor для кожного дійсного числа rr позначаємо найбільше ціле число, що не перевищує rr.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-010

Орієнтовані решіткові квадрати в кубі

Нехай nn — натуральне число. Під точкою решітки в xyzxyz-просторі розуміємо точку (k,l,m)(k, l, m), де k,l,mk, l, m — цілі числа. Відрізок, що сполучає дві точки решітки, які містяться в області 0≤x,y,z≤n0 \le x, y, z \le n і відстань між якими дорівнює 1, називається решітковим відрізком. Кожному решітковому відрізку можна надати напрям (наприклад, для решіткового відрізка з кінцями AA і BB надати один і лише один із напрямів A→BA \rightarrow B або A←BA \leftarrow B). Квадрат назвемо решітковим квадратом, якщо всі чотири його сторони є решітковими відрізками. Будемо казати, що два решіткові квадрати конгруентні, якщо поворотом і паралельним перенесенням один із квадратів можна накласти на інший квадрат з додатковою вимогою, щоб напрями всіх чотирьох сторін збігалися. Скільки існує способів надання напрямів решітковим відрізкам, які забезпечують, що всі решіткові квадрати конгруентні?
10–11 класиПарність і непарність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-011

Обмеження на відношення добутків членів послідовності

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \dots — нескінченна послідовність різних ненульових дійсних чисел, для якої ai+1ai+ai+1ai+2\frac{a_{i+1}}{a_i} + \frac{a_{i+1}}{a_{i+2}} набуває одного й того самого значення, що лежить між 0 і 2, для кожного i≥1i \ge 1. Виразіть через a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 найменше число cc, яке задовольняє таку умову: Умова: для будь-яких натуральних чисел x<yx < y виконується нерівність axax+1+ax+1ax+2+⋯+ay−1ayaxay≤c.\frac{a_x a_{x+1} + a_{x+1} a_{x+2} + \dots + a_{y-1} a_y}{a_x a_y} \le c.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-005

Рівні відстані від точки перетину

Нехай ABCABC — трикутник, для якого ∠B>∠C\angle B > \angle C, і нехай DD — точка на стороні ACAC така, що ∠ADC=∠C\angle ADC = \angle C. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а EE — точка перетину описаного кола трикутника CDICDI з прямою AIAI, відмінна від II. Нехай PP — точка перетину прямої BDBD з прямою, паралельною ABAB, що проходить через EE. Нехай JJ — інцентр трикутника ABDABD, а A′A' — точка, симетрична точці AA відносно II. Припустімо, що прямі JPJP і A′CA'C перетинаються в точці QQ. Доведіть, що QJ=QA′QJ = QA'.
10–11 класиТеорема Менелая
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-001

Функціональне рівняння з квадратичною умовою

Знайдіть усі функції f:R→[0,∞)f : \mathbb{R} \to [0, \infty) такі, що для всіх дійсних чисел a,b,c,da, b, c, d, які задовольняють умову ab+bc+cd=0ab + bc + cd = 0, виконується рівність: f(a−b)+f(c−d)=f(a)+f(b+c)+f(d)f(a - b) + f(c - d) = f(a) + f(b + c) + f(d) (Тут R\mathbb{R} — множина дійсних чисел, а [0,∞)[0, \infty) — множина невід'ємних дійсних чисел.)
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-006

Максимум суми попарних добутків

Нехай n≥2n \ge 2 — натуральне число. Визначимо множину TT так: T={(i,j):1≤i<j≤n і i∣j}.T = \{ (i, j) : 1 \le i < j \le n \text{ і } i \mid j \}. Для невід’ємних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n, які задовольняють умову x1+x2+⋯+xn=1x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1, знайдіть найбільше значення (як функцію від nn) виразу ∑(i,j)∈Txixj.\sum_{(i,j) \in T} x_i x_j.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-004

Хорда через центри зовнівписаних кіл і дотик до описаного кола

Нехай B1B_1, C1C_1 — центри зовнівписаних кіл трикутника ABCABC, що відповідають BB, CC відповідно. Пряма B1C1B_1C_1 перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD (≠A\neq A). Нехай EE — точка перетину перпендикуляра до прямої CACA, проведеного через B1B_1, і перпендикуляра до прямої ABAB, проведеного через C1C_1. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ADEADE. Дотична до кола ω\omega у точці DD перетинає пряму AEAE у точці FF. Перпендикуляр з DD до прямої AEAE перетинає AEAE у точці GG, а коло ω\omega — вдруге у точці HH (≠D\neq D). Описане коло трикутника HGFHGF перетинає ω\omega у точці II (≠H\neq H). Нехай JJ — основа перпендикуляра з DD до прямої AHAH. Доведіть, що пряма AIAI проходить через середину відрізка DJDJ.
10–11 класиЗовнівписане коло
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-002

Прості дільники членів послідовності Пелля

Нехай aa, bb — взаємно прості натуральні числа, а послідовності цілих чисел ana_n і bnb_n задовольняють рівність (a+b2)2n=an+bn2(a + b\sqrt{2})^{2n} = a_n + b_n\sqrt{2}. Знайдіть усі прості числа pp такі, що існує натуральне число nn, що не перевищує pp, для якого bn≡0(modp)b_n \equiv 0 \pmod{p}.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-003

Тотожність для множин інверсій перестановки

Нехай f:{1,2,…,n}→{1,2,…,n}f : \{1, 2, \dots, n\} \to \{1, 2, \dots, n\} — взаємно однозначна відповідність для деякого натурального числа nn. Визначимо чотири множини AA, BB, CC, DD так: A={i∣i>f(i)}A = \{i \mid i > f(i)\} B={(i,j)∣i<j≤f(j)<f(i) або f(j)<f(i)<i<j}B = \{(i, j) \mid i < j \le f(j) < f(i) \text{ або } f(j) < f(i) < i < j\} C={(i,j)∣i<j≤f(i)<f(j) або f(i)<f(j)<i<j}C = \{(i, j) \mid i < j \le f(i) < f(j) \text{ або } f(i) < f(j) < i < j\} D={(i,j)∣i<j і f(i)>f(j)}D = \{(i, j) \mid i < j \text{ і } f(i) > f(j)\} Доведіть, що ∣A∣+2∣B∣+∣C∣=∣D∣|A| + 2|B| + |C| = |D|, де ∣X∣|X| — кількість усіх елементів множини XX.
10–11 класиПерестановки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-001

Магічний квадрат з непарних чисел

Магічний квадрат — це квадратна таблиця, в якій сума чисел у будь-якому рядку або стовпці є сталою. Наприклад, | 1 | 5 | 9 | |:--- |:--- |:--- | | 8 | 3 | 4 | | 6 | 7 | 2 | є магічним квадратом, який використовує числа від 1 до 9. Як читач може перевірити, сума в будь-якому рядку або стовпці завжди дорівнює 15. a) Квадрат нижче є частиною магічного квадрата, який використовує непарні числа від 1 до 17. З'ясуйте, яким має бути число XX. | | 1 | | |:---: |:---: |:---: | | 5 | | 13 | | XX | | 3 | b) Магічний квадрат називається гіпермагічним, коли сума в будь-якому рядку, стовпці або діагоналі є сталою. Запишіть числа від 1 до 9 у квадрат нижче так, щоб він став гіпермагічним.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-002

Трицифрові номери без цифр 0 і 8

Велосипедисти не люблять число нуль (бо воно овальне) і число вісім (бо такими стають колеса після аварій). Скільки членів можуть записатися до клубу велосипедистів, якщо кожен має отримати трицифровий ідентифікатор, у якому не використано ні цифру нуль, ні цифру вісім?
10–11 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-003

Геометрія згинання і розрізання паперу

Прямокутний аркуш паперу має основу 20 см20~\text{см} і висоту 10 см10~\text{см}. Цей аркуш згинають по пунктирних лініях, як показано на рисунку нижче, а наприкінці розрізають ножицями по вказаній лінії, яка паралельна основі й проходить на половині висоти трикутника. а) Після розрізання у вказаному місці на скільки частин поділився аркуш? б) Яка площа найбільшої частини?
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-004

Підрахунок кіл і обгонів на круговій трасі

У місті Кордісбургу відбулася велосипедна гонка на круговому треку, в якій взяли участь троє велосипедистів — Гімарайнш, Роза і Жуан. За першу годину гонки Гімарайнш проїхав рівно 230 повних кіл, Жуан проїхав рівно 111 повних кіл, а скільки кіл проїхала Роза — невідомо, відомо лише, що це ціле число і що Роза проїхала більше кіл, ніж Жуан, і менше, ніж Гімарайнш. Крім того, кожен із них їхав зі сталою швидкістю, і всі стартували разом з однієї точки. Враховуючи також обгони, здійснені в початковий момент, скільки всього обгонів було здійснено за цю першу годину гонки?
10–11 класиІнші інваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-005

Кратні 3, що в сумі з 1 дають квадрат

Запишемо в порядку зростання всі кратні числа 33, сума яких із 11 є повним квадратом: 3,15,24,48,…3, 15, 24, 48, \ldots a) Яке наступне число з'явиться в цій послідовності після 4848? b) Яке восьме число цієї послідовності? c) Яке число з'явиться в цій послідовності на 20132013-й позиції?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-006

Чотирикутник у рівносторонньому трикутнику

Трикутник ABCABC нижче — рівносторонній, тобто має три сторони однакової довжини й усі його кути дорівнюють 60∘60^{\circ}. Пан Сімас позначає довільну точку HH на стороні BCBC трикутника. Далі він проводить відрізок, паралельний стороні ACAC, починаючи в HH і закінчуючи в точці II на стороні ABAB. Потім він проводить відрізок, паралельний стороні ABAB, починаючи в HH і закінчуючи в точці JJ на стороні ACAC, як показано на рисунку нижче: a) Знаючи, що сторона ABAB має довжину 1, обчисліть периметр чотирикутника AIHJAIHJ. b) Пан Сімас продовжує креслити, як показано на рисунку нижче, вибирає точку LL на відрізку IBIB і точку MM на відрізку JCJC та проводить відрізки LOLO і MPMP перпендикулярно до сторони BCBC (точки OO і PP лежать на стороні BCBC). Нехай dd — довжина відрізка ILIL, нехай ff — довжина відрізка JMJM і нехай xx — довжина відрізка OPOP. Доведіть, що x=1+d+f2x=\frac{1+d+f}{2}
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-007

Рік народження за умовою квадрата віку

Мексиканський історичний діяч Беніто Хуарес народився в першій половині XIX століття (XIX століття триває від 1801 року до 1900 року). Відомо, що Беніто Хуаресу виповнилося xx років у році x2x^{2}. У якому році він народився?
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-008

Кути п'ятикутника зі складеного квадрата

Жуліо Даніель має паперовий квадрат з вершинами AA, BB, CC і DD. Спочатку він складає цей паперовий квадрат ABCDABCD, сумістивши вершини BB і DD з діагоналлю, як показано на рисунку нижче: Потім Жуліо Даніель згинає папір так, щоб вершина CC сумістилася з вершиною AA, і отримує таким чином п'ятикутник, як показано нижче: a) Покажіть, що кут aa дорівнює 90∘90^\circ. b) Знайдіть міру кута bb.
10–11 класиБісектриса кута
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-009

Перетворення кота на собаку трьома машинами

Професор Гільєрме створив три дивні машини. Машина AA перетворює кота на собаку з імовірністю 13\frac{1}{3}. Машина BB перетворює кота на собаку з імовірністю 25\frac{2}{5}. Машина CC перетворює кота на собаку з імовірністю 14\frac{1}{4}. А якщо тварина — собака, жодна з машин не виконує жодного перетворення. Професор Гільєрме помістив кота в машину AA, потім помістив тварину, отриману з машини AA, в машину BB і, нарешті, помістив тварину, отриману з машини BB, в машину CC. Яка ймовірність того, що з машини CC вийшов собака?
10–11 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-010

Десять повних квадратів в інтервалі

Нехай aa — натуральне число таке, що існує рівно 10 повних квадратів, більших за aa і менших за 2a2a. a) Знайдіть найменше можливе значення aa. b) Знайдіть найбільше можливе значення aa.
10–11 класиЧислові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-011

Довжина гамільтонового шляху в кубі

На рисунку нижче показано куб з ребром 1. а) Яка найменша можлива довжина шляху, утвореного ребрами куба, що проходить через усі 8 вершин? На рисунку нижче показано куб з ребром 1, в якому проведено всі 12 діагоналей граней. Таким чином, створено мережу з 14 вершинами (8 вершин куба та 6 центрів граней) і 36 ребрами (12 ребер куба та ще по 4 на кожній із 6 граней). б) Яка найменша можлива довжина шляху, утвореного ребрами цієї мережі, що проходить через усі 14 вершин?
10–11 класиШляхи на графах
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-012

Досяжність чисел дозволеними операціями

Даніел вигадав гру, в якій дозволено виконувати лише такі операції: - додати чотири одиниці; - помножити на чотири; - піднести до квадрата. Починаючи з певного числа, Даніел пропонує другові отримати інше число, послідовно виконуючи будь-яку з дозволених операцій. Наприклад, Даніел запропонував Алану отримати число 152 з числа 3. Алан зумів виграти, виконавши такі операції: a) Даніел запропонував Алану отримати число 340 з числа 3. Алан зумів виграти у спосіб, проілюстрований нижче: 3⟶9⟶81⟶85⟶3403 \longrightarrow 9 \longrightarrow 81 \longrightarrow 85 \longrightarrow 340 Опишіть, яку операцію використав Алан на кожному з етапів. b) Покажіть, що Алан міг би також отримати число 340, починаючи з числа 5. c) Припустімо, що Алан починає випробування з числа, яке при діленні на 4 дає остачу 1. Покажіть, що після будь-якого етапу випробування отримане число може мати лише остачу 1 або 0. d) Покажіть, що можна виграти випробування з отриманням числа 43 з числа 3. Покажіть також, що неможливо виграти його, починаючи з числа 5.
10–11 класиОстача від ділення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-013

Підрахунок незвичайних шляхів у діаграмі

Розглянемо діаграму, зображену нижче: Аугушту любить рахувати шляхи, що починаються в деякій точці, приходять у точку AA і ніколи не проходять через одну й ту саму вершину двічі. Для цього він зображує шлях послідовністю точок, які відвідує шлях. Наприклад, пунктирний шлях на рисунку нижче зображується послідовністю DCBAD C B A. Аугушту називає шлях незвичайним, якщо послідовність, що зображує цей шлях, упорядкована у зворотному алфавітному порядку. Іншими словами, шлях є незвичайним, якщо він ніколи не йде вліво, чи то вгору, чи то вниз. Наприклад, шлях DCBAD C B A є незвичайним. А шлях DBCAD B C A не є незвичайним, оскільки літера CC з'являється перед літерою BB. a) Скільки існує незвичайних шляхів, що починаються в DD і закінчуються в AA? b) Покажіть, що кількість незвичайних шляхів, які починаються в EE, дорівнює сумі кількості незвичайних шляхів, які починаються в DD, і кількості незвичайних шляхів, які починаються в CC. c) Аугушту обчислив кількість незвичайних шляхів, що виходять з KK і приходять в AA. Чому дорівнює це число?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-014

Правильний тетраедр усередині одиничного куба

Правильний тетраедр — це тіло з чотирма гранями, кожна з яких є рівностороннім трикутником того самого розміру. На рисунку нижче показано правильний тетраедр. Довжина будь-якого ребра правильного тетраедра однакова. Наприклад, у наведеному вище тетраедрі AB‾=AC‾=CD‾=BC‾=AD‾=BD‾\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{CD} = \overline{BC} = \overline{AD} = \overline{BD}. Покажіть, як помістити тетраедр з ребром 2\sqrt{2} цілком усередину куба з ребром 1.
10–11 класиПокриття, пакування, фарбування
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-015

Добуток збільшених на один цифр дорівнює числу

а) Знайдіть усі натуральні двоцифрові числа ab‾\overline{a b} такі, що: (a+1)(b+1)=ab‾+1(a+1)(b+1)=\overline{a b}+1 б) Знайдіть усі натуральні трицифрові числа abc‾\overline{a b c} такі, що: (a+1)(b+1)(c+1)=abc‾+1(a+1)(b+1)(c+1)=\overline{a b c}+1
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.