Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-016

Дружні зв'язки в групі з п'яти учнів

Арналдо, Берналдо, Серналдо, Дерналдо й Ерналдо — учні з різних частин Бразилії, яких обрали представляти свою країну на міжнародних олімпіадах. Після кількох тижнів тренувань між ними зав'язалася дружба. Тоді ми запитали в кожного з них, скільки друзів він знайшов у групі. Арналдо, Берналдо, Серналдо і Дерналдо відповіли відповідно, що знайшли всередині групи 1, 2, 3 і 4 друзів. Скільки учасників групи дружать з Ерналдо?
10–11 класиСтепені вершин
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-017

Квадрат з перпендикулярними відстанями

На рисунку PQRSPQRS — квадрат, QE‾=17\overline{QE} = 17 і PH‾=12\overline{PH} = 12. Обчисліть SE‾\overline{SE}.
10–11 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-018

Різні дільники в послідовності цілих чисел

Числа xx, yy, zz і ww на рисунку — цілі числа, усі різні між собою, більші за 11, і їх розміщено в клітинках нижче так, що кожне число (починаючи з yy) є дільником числа в клітинці ліворуч. | | | | | | --- | --- | --- | --- | | xx | yy | zz | ww | Знайдіть усі можливі розв’язки для xx, yy, zz і ww, знаючи, що їхня сума дорівнює 329329.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-019

Замощення дошки 2×n доміно

Малий Абель отримав у подарунок дошку 2×n2 \times n і nn фішок розміром 2×12 \times 1. Наприклад, на рисунку нижче показано випадок, коли n=10n=10, тобто коли Абель має дошку 2×102 \times 10 і 10 фішок розміром 2×12 \times 1. Він бавиться, заповнюючи дошку за допомогою nn фішок. Наприклад, при n=10n=10 Абель міг би заповнити її способами, проілюстрованими нижче: Зауважте, однак, що існує багато інших способів, якими Абель може заповнити свою дошку. a) Обчисліть загальну кількість способів, якими Абель може заповнити свою дошку у випадках, коли n=1,n=2n=1, n=2 і n=3n=3, тобто у випадку, коли дошки мають розміри 2×1,2×22 \times 1,2 \times 2 і 2×32 \times 3. b) Нехай ana_{n} — кількість способів, якими Абель може заповнити дошку 2×n2 \times n, використавши nn фішок 2×12 \times 1. Покажіть, що a10=a9+a8a_{10}=a_{9}+a_{8}. c) Обчисліть загальну кількість способів, якими Абель може заповнити свою дошку, коли n=10n=10.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-020

Кут перетину в рівносторонньому трикутнику

На сторонах ABAB і BCBC рівностороннього трикутника ABCABC взято дві точки DD і EE відповідно так, що AD‾=BE‾\overline{AD} = \overline{BE}. Якщо відрізки AEAE і CDCD перетинаються в точці PP, знайдіть ∡APC\measuredangle APC.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-021

Попарні суми різних цілих чисел

Торговець отримав чотири мішки картоплі й хоче виміряти вагу кожного з них. Він знає, що ваги цих мішків у кілограмах є різними цілими числами. Припустимо, що ваги мішків (у кілограмах) дорівнюють a,b,ca, b, c і dd, причому a<b<c<da<b<c<d. a) Покажіть, що при зважуванні мішків по два найбільший результат дорівнює c+dc+d, а другий за величиною — b+db+d. Покажіть також, що найменший результат дорівнює a+ba+b, а другий найменший — a+ca+c. b) Терези торговця зламалися. Тепер вони здатні показувати лише ваги, не менші за 100 кілограмів. Тоді він вирішує зважити мішки по два, виконавши таким чином шість зважувань. У чотирьох зважуваннях він отримав такі результати (у кілограмах): 101, 112, 116 і 127. В інших двох він зміг лише з'ясувати, що суми не перевищували 100 кілограмів. Знайдіть ваги чотирьох мішків.
10–11 класиЧислові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-022

Непарні числа на діагоналях дошки 5×5

На дошці 5×55 \times 5 розставлено числа 1,2,3,…,251,2,3, \ldots, 25 так, що кожна клітинка зайнята одним числом і будь-які два послідовні числа завжди стоять у сусідніх клітинках. На рисунку нижче показано приклад такого розставлення. | 3 | 4 | 5 | 24 | 23 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 1 | 6 | 25 | 22 | | 9 | 8 | 7 | 20 | 21 | | 10 | 13 | 14 | 19 | 18 | | 11 | 12 | 15 | 16 | 17 | a) Доведіть, що за будь-якого розставлення, яке задовольняє цю умову, усі числа, поставлені в клітинках обох діагоналей, є непарними. Назвемо головною діагоналлю діагональ дошки, пофарбовану в білий колір на рисунку нижче. Зауважимо, що головна діагональ ділить дошку на дві зони, верхню та нижню. b) Нехай xx і yy — два числа з {1,2,…,25}\{1,2, \ldots, 25\} такі, що x<yx<y. Доведіть, що якщо xx і yy належать різним зонам, то існує число zz, розташоване на головній діагоналі, таке, що x≤z≤yx \leq z \leq y. c) Знайдіть найменше значення, якого може набувати сума чисел, поставлених на головній діагоналі, коли числа розставлено на дошці з дотриманням умови задачі.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-023

Найбільше зигзагоподібне число

Натуральне число називається зигзагоподібним, якщо воно задовольняє такі три умови: - Його цифри ненульові й різні. - Воно не має трьох послідовних цифр у порядку зростання. - Воно не має трьох послідовних цифр у порядку спадання. Наприклад, 1438514385 і 29172917 — зигзагоподібні, а 25642564 і 7154471544 — ні. a) Знайдіть найбільше зигзагоподібне число. b) Скільки існує чотирицифрових зигзагоподібних чисел?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-024

Прямокутник з перпендикулярними відрізками

На рисунку показано прямокутник ABCDABCD зі стороною AD‾=4\overline{AD}=4, де точка MM — середина відрізка ABAB. Відомо, що відрізки ACAC і DMDM перпендикулярні. Обчисліть площу прямокутника ABCDABCD.
10–11 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-025

Квадрат суми цифр і його оцінки

Сержіу попросив Івана задумати натуральне число. Потім попросив Івана обчислити суму його цифр і, нарешті, піднести результат до квадрата. Не називаючи число, яке задумав спочатку, Іван повідомив, що як остаточний результат отримав xx. Покажіть Сержіу, як дійти таких висновків: a) Якщо Іван задумав число з 3 або менше цифр, то xx буде менше ніж 730. b) Якщо Іван задумав число з 4 цифр, то xx буде менше ніж число, яке задумав Іван. c) Якщо Іван задумав число з 5 або більше цифр, то xx буде менше ніж число, яке задумав Іван. Після цього Сержіу зробив таке: розглянув число xx, яке назвав Іван, обчислив суму його цифр і підніс результат до квадрата. Коли Сержіу повідомив Івану число, яке отримав, Іван здивовано сказав, що саме це число він і задумав. d) Знайдіть усі можливі значення числа, яке задумав Іван.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-001

Точки на сторонах трикутника і відношення відрізків на чевіані

У трикутнику ABCABC точки P,Q,RP, Q, R лежать на сторонах BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Нехай ωA,ωB,ωC\omega_A, \omega_B, \omega_C позначають описані кола трикутників AQR,BRP,CPQAQR, BRP, CPQ відповідно. Відрізок APAP вдруге перетинає ωA,ωB,ωC\omega_A, \omega_B, \omega_C у точках X,Y,ZX, Y, Z відповідно. Доведіть, що YX/XZ=BP/PCYX/XZ = BP/PC. (Задачу запропонував Зумін Фен.)
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…3 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-002

Обходи кола із забороненими ходами

Для натурального числа n≥3n \ge 3 позначимо на колі nn точок, що ділять його на рівні дуги. Одну з них позначимо AA і поставимо в неї фішку. Фішку можна рухати вперед за годинниковою стрілкою або в наступну точку, або через одну. Отже, загалом є 2n2n різних ходів; по два з кожної точки. Нехай ana_n — кількість способів рівно двічі обійти коло, починаючи і закінчуючи в AA, не повторюючи жодного ходу. Доведіть, що an−1+an=2na_{n-1} + a_n = 2^n для всіх n≥4n \ge 4.
10–11 класиРекурентний підрахунок4 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-003

Максимальна кількість перевертань у трикутній решітці

Нехай nn — натуральне число. Є n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} фішок, у кожної з яких один бік чорний, а другий білий; вони розкладені у рівносторонній трикутник, причому найбільший ряд містить nn фішок. Спочатку кожна фішка лежить чорним боком угору. Операція полягає у виборі прямої, паралельної одній зі сторін трикутника, та перевертанні всіх фішок на цій прямій. Конфігурацію називають допустимою, якщо її можна одержати з початкової конфігурації, виконавши скінченну кількість операцій. Для кожної допустимої конфігурації CC нехай f(C)f(C) позначає найменшу кількість операцій, потрібну для одержання CC з початкової конфігурації. Знайдіть найбільше значення f(C)f(C), де CC пробігає всі допустимі конфігурації.
10–11 класиПарність і непарність
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-004

Кратні з однаковою кількістю кожної цифри

Дано натуральні числа mm і nn. Доведіть, що існує натуральне число cc таке, що числа cmcm і cncn містять однакову кількість входжень кожної ненульової цифри в десятковому записі.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-005

Кратні cm і cn з однаковою кількістю ненульових цифр

Дано додатні цілі числа mm і nn. Доведіть, що існує додатне ціле число cc таке, що числа cmcm і cncn мають однакову кількість входжень кожної ненульової цифри при записі в десятковій системі числення.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-006

Точка на відрізку з відношенням дотичних

Нехай ABCABC — трикутник. Знайдіть усі точки PP на відрізку BCBC, що задовольняють таку властивість: якщо XX і YY — точки перетину прямої PAPA зі спільними зовнішніми дотичними до описаних кіл трикутників PABPAB і PACPAC, то (PAXY)2+PB⋅PCAB⋅AC=1.\left( \frac{PA}{XY} \right)^2 + \frac{PB \cdot PC}{AB \cdot AC} = 1.
10–11 класиДотична кола
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-001

Нерівність зі зваженими показниками

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа. Доведіть, що x2+xy2+xyz2≥4xyz−4x^{2} + x y^{2} + x y z^{2} \geq 4 x y z - 4.
10–11 класиЧислові нерівності
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-002

Відношення НСК послідовних цілих чисел

Для будь-яких натуральних чисел nn і kk нехай L(n,k)L(n, k) — найменше спільне кратне kk послідовних цілих чисел n,n+1,…,n+k−1n, n+1, \dots, n+k-1. Доведіть, що для будь-якого цілого числа bb існують цілі числа nn і kk такі, що L(n,k)>bL(n+1,k)L(n, k) > b L(n + 1, k).
10–11 класиНСД та НСК
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-003

Роботи на прямокутній дошці з прохідними ребрами

На клітинках скінченної прямокутної дошки розміщено кілька роботів. В одній клітинці може перебувати будь-яка кількість роботів. Кожне ребро сітки класифіковано як прохідне або непрохідне. Усі ребра на межі дошки — непрохідні. Можна подавати будь-яку з команд вгору, вниз, вліво або вправо. Тоді всі роботи одночасно намагаються рухатися у вказаному напрямку. Якщо ребро, прилегле до робота в цьому напрямку, прохідне, робот переходить через нього в сусідню клітинку. Інакше робот залишається на своїй поточній клітинці. Після цього можна подати ще одну команду вгору, вниз, вліво або вправо, потім ще одну, і так далі, скільки завгодно. Припустимо, що для будь-якого окремого робота і будь-якої клітинки дошки існує скінченна послідовність команд, яка перемістить цього робота в цю клітинку. Доведіть, що можна також подати таку скінченну послідовність команд, щоб усі роботи одночасно опинилися в одній клітинці.
10–11 класиНапівінваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-004

Сортування вставленням томів на своє місце

На полиці стоїть nn томів, позначених числами від 11 до nn у деякому порядку. Бібліотекар хоче поставити їх у правильному порядку в такий спосіб. Бібліотекар вибирає том, що стоїть занадто праворуч, скажімо, том з номером kk, виймає його і вставляє так, щоб він опинився на kk-му місці. Наприклад, якщо на полиці томи стоять у порядку 11, 33, 22, 44, бібліотекар може взяти том 22 і поставити його на друге місце. Тоді книги стоятимуть у правильному порядку 11, 22, 33, 44. a. Доведіть, що якщо повторювати цей процес, то, хоч би як бібліотекар робив вибір, усі томи зрештою опиняться у правильному порядку. b. Яка найбільша кількість кроків може знадобитися для цього процесу?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-001

Трикутник із вписаним колом і рівними кутами

Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма через II перетинає внутрішність відрізка ABAB в точці MM та внутрішність відрізка BCBC в точці NN. Припустимо, що BMNBMN — гострокутний трикутник. Нехай тепер KK і LL — точки на відрізку ACAC такі, що ∠BMI=∠ILA\angle BMI = \angle ILA і ∠BNI=∠IKC\angle BNI = \angle IKC. Доведіть, що ∣AM∣+∣KL∣+∣CN∣=∣AC∣|AM| + |KL| + |CN| = |AC|.
10–11 класиВписане коло
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-002

Циклічна нерівність для дійсних чисел

Нехай aa, bb, cc і dd — додатні дійсні числа. Доведіть, що a−bb+c+b−cc+d+c−dd+a+d−aa+b≥0\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b} \geq 0
10–11 класиІнші класичні нерівності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-003

Цілі числа як сума двох дробів

Знайдіть усі натуральні числа, які не можна записати у вигляді ab+a+1b+1\frac{a}{b}+\frac{a+1}{b+1}, де a,ba, b — натуральні числа.
10–11 класиНСД та НСК
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-004

Перестановки з умовою на суму індексів

Нехай nn — натуральне число, кратне 4. Розглянемо перестановки (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n) з такою властивістю: для кожного jj, якщо покласти i=aji=a_{j}, то ai+j=n+1a_{i}+j=n+1. Доведіть, що існує рівно (12n)!(14n)!\frac{\left(\frac{1}{2} n\right)!}{\left(\frac{1}{4} n\right)!} таких перестановок.
10–11 класиПерестановки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-005

Колінеарність у трикутнику з бісектрисами

Нехай Γ\Gamma — описане коло гострокутного трикутника ABCA B C. Бісектриса кута ABCA B C перетинає ACA C в точці B1B_{1}, а меншу дугу ACA C кола Γ\Gamma в точці PP. Пряма, що проходить через B1B_{1} перпендикулярно до BCB C, перетинає меншу дугу BCB C кола Γ\Gamma в точці KK. Пряма, що проходить через BB перпендикулярно до AKA K, перетинає ACA C в точці LL. Доведіть, що K,LK, L і PP лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.