Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-020

Стрибки коників з умовою паралельності

Три коники перебувають у точках (0,0)(0,0), (0,1)(0,1) та (1,0)(1,0) аркуша в клітинку. Щохвилини один коник стрибає в іншу точку цілочисельної решітки так, що його стрибок паралельний прямій, яка проходить через двох інших коників. Чи можливо, що через деякий час коники опиняться в точках (−1,0)(-1,0), (1,0)(1,0) та (0,1)(0,1)?
9–11 класиІнші інваріанти
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-014

Незалежна множина в орієнтованому графі

Кожен із 400 депутатів парламенту дав ляпаса рівно одному іншому депутату. Доведіть, що можна створити парламентську комісію зі 134 депутатів так, щоб жоден член комісії не дав ляпаса жодному іншому її члену.
9–11 класиМетод математичної індукції
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-013

Дотична до описаного кола з паралелі через інцентр

У трикутнику ABCABC бісектриси кутів при AA і CC перетинають описане коло трикутника ABCABC відповідно в точках A0A_{0} і C0C_{0}. Пряма, що проходить через II, центр вписаного в трикутник ABCABC кола, і паралельна прямій (AC)(AC), перетинає пряму (A0C0)(A_{0}C_{0}) в точці PP. Доведіть, що пряма (PB)(PB) дотикається до описаного кола трикутника ABCABC.
9–11 класиТеорема про тризуб
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-015

Найменша кількість цифр для відкриття кодового замка

Кодовий замок відкривається, щойно набрано єдину правильну комбінацію з 4 цифр (яка може містити повторення). Наприклад, якщо набрати послідовність цифр 000125, замок відкриється, якщо код — це або 0001, або 0012, або 0125. Малий Петрик не знає коду. Скільки цифр як мінімум йому потрібно набрати, щоб напевно відкрити замок?
9–11 класиШляхи на графах
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-016

Нерівність для додатних чисел з оберненими величинами

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа такі, що x+y+z⩾1x+1y+1zx + y + z \geqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} Доведіть, що xy+yz+zx⩾1xy+1yz+1zx\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geqslant \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-017

Перестановки з обмеженою спадною підпослідовністю

Є 500 комірок для кульок, пронумерованих від 1 до 500 зліва направо. Кульки з номерами від 1 до 500 розкладено в ці комірки безладно: їхні номери не обов’язково збігаються з номерами комірок. (У кожній комірці міститься рівно одна кулька.) Кажуть, що порядок кульок радше зростаючий, якщо найдовша спадна підпослідовність номерів кульок, яку можна виділити з цього порядку, містить не більше ніж 5 елементів. Доведіть, що існує не більше 510005^{1000} радше зростаючих порядків.
9–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-056

Рівні відрізки від перетину бісектриси кута

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай бісектриса кута ∠A\angle A і серединний перпендикуляр до сторони BCBC перетинаються в точці DD. Нехай EE і FF — точки на прямих ABAB і ACAC такі, що DEDE і DFDF перпендикулярні до ABAB і ACAC відповідно. Доведіть, що BE=CFBE = CF.
10–11 класиБісектриса кута
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-058

Переслідування фішки на шаховій дошці

Аліса та Боб грають у гру «Фішки-навздоганялки» на шаховій дошці 8×88 \times 8. На початку гри Боб ставить на дошку фішку кожного гравця. Після цього в кожному раунді спочатку ходить Аліса своєю фішкою, а потім Боб ходить своєю фішкою. Якщо в будь-який момент раунду обидві фішки опиняються на одній клітинці, Аліса одразу перемагає. Якщо Аліса не перемогла до кінця 2012 раундів, то перемагає Боб. a. Припустімо, що фішка за один хід може піти на будь-яку сусідню за горизонталлю чи вертикаллю клітинку. Покажіть, що Боб має виграшну стратегію в цій грі. b. Припустімо натомість, що фішка за один хід може піти на будь-яку сусідню за горизонталлю, вертикаллю чи діагоналлю клітинку. Покажіть, що Аліса має виграшну стратегію в цій грі.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-059

Умова прямого кута A через вписаний XBYC

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай MM — середина сторони BCBC. Через MM проведено пряму ll, перпендикулярну до AMAM, яка перетинає пряму ABAB у точці XX, а пряму ACAC — у точці YY. Доведіть, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ} тоді й лише тоді, коли чотирикутник XBYCXBYC вписаний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-061

Стрибки решіткою у прямокутному трикутнику

Нещодавно виявилося, що прямокутний трикутник з вершинами (0,0)(0,0), (0,2012)(0,2012) і (2012,0)(2012,0) — це величезний ставок, у якому живе багато жаб. Жаби мають особливу здатність: якщо вони перебувають у точці цілочисельної решітки (x,y)(x, y), вони можуть стрибнути в будь-яку з трьох точок решітки (x+1,y+1)(x+1, y+1), (x−2,y+1)(x-2, y+1) і (x+1,y−2)(x+1, y-2), за умови, що дана точка решітки лежить всередині трикутника або на його межі. Жаба Джефф стартує з вершини (0,0)(0,0), а жаба Кенні стартує з вершини (0,2012)(0,2012). Доведіть, що множина точок, яких може досягти Джефф, містить стільки ж точок, скільки й множина точок, яких може досягти Кенні.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-063

Функції з обмеженою різницею та функції з одиничними кроками

Для цілих n,m≥1n, m \geq 1 нехай A(n,m)A(n, m) позначає кількість функцій f:{1,2,…,n}→{1,2,…,m}f:\{1,2, \ldots, n\} \rightarrow \{1,2, \ldots, m\} таких, що f(j)−f(i)≤j−if(j)-f(i) \leq j-i для всіх 1≤i<j≤n1 \leq i < j \leq n, а B(n,m)B(n, m) позначає кількість функцій g:{0,1,…,2n+m}→{0,1,…,m}g:\{0,1, \ldots, 2n+m\} \rightarrow \{0,1, \ldots, m\} таких, що g(0)=0g(0)=0, g(2n+m)=mg(2n+m)=m і ∣g(i)−g(i−1)∣=1|g(i)-g(i-1)|=1 для всіх 1≤i≤2n+m1 \leq i \leq 2n+m. Доведіть, що A(n,m)=B(n,m)A(n, m) = B(n, m).
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-071

Доганяння фішок на шаховій дошці

Аліса й Боб грають фішками у «квача» на шаховій дошці 8×88 \times 8. На початку гри Боб ставить на дошку фішку кожного гравця. Після цього в кожному раунді спочатку Аліса ходить своєю фішкою, а потім Боб ходить своєю. Якщо в будь-який момент раунду обидві фішки опиняються на одній клітинці, Аліса одразу перемагає. Якщо Аліса не перемогла до кінця 2012 раундів, то перемагає Боб. a. Припустімо, що фішка за хід може перейти на будь-яку сусідню по горизонталі чи вертикалі клітинку. Доведіть, що Боб має виграшну стратегію в цій грі. b. Припустімо натомість, що фішка за хід може перейти на будь-яку сусідню по горизонталі, вертикалі чи діагоналі клітинку. Доведіть, що Аліса має виграшну стратегію в цій грі.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-072

Перпендикуляр до медіани і вписаний чотирикутник XBYC

Нехай ABCABC — трикутник з AB<ACAB < AC. Нехай MM — середина сторони BCBC. Через MM проведено пряму ll, перпендикулярну до AMAM, яка перетинає пряму ABAB в точці XX і пряму ACAC в точці YY. Доведіть, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ} тоді й лише тоді, коли чотирикутник XBYCXBYC вписаний.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-064

Циклічна сума зі значеннями функції Ейлера

Для будь-якого натурального числа nn нехай N=φ(1)+φ(2)+…+φ(n)N=\varphi(1)+\varphi(2)+\ldots+\varphi(n). Доведіть, що існує послідовність a1,a2,…,aNa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}, яка містить рівно φ(k)\varphi(k) входжень числа kk для всіх натуральних чисел k≤nk \leq n, і для якої 1a1a2+1a2a3+⋯+1aNa1=1.\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{N} a_{1}}=1 .
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-065

Симетричні латинські квадрати та нижня оцінка

Нехай nn — непарне натуральне число, а f(n)f(n) позначає кількість матриць AA, що задовольняють такі умови: - AA має розмір n×nn \times n. - Кожен рядок і кожен стовпець містять кожне з 1,2,…,n1,2, \ldots, n рівно один раз у деякому порядку. - AT=AA^{T}=A. (Тобто елемент у рядку ii та стовпці jj дорівнює елементу в рядку jj та стовпці ii для всіх 1≤i,j≤n1 \leq i, j \leq n.) Доведіть, що f(n)≥n!(n−1)!φ(n)f(n) \geq \frac{n!(n-1)!}{\varphi(n)}.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2012-004

Найменша кількість змін клітинок для різних сум рядків і стовпців

Знайдіть найменше натуральне число kk, для якого виконується таке: якщо Каїн записує цілі числа в клітинки дошки 2011×20112011 \times 2011 так, що 4022 суми, які можна отримати додаванням усіх чисел рядка або стовпця, попарно збігаються, то Абель може, змінивши записи лише в kk клітинках, домогтися того, щоб ці 4022 суми стали попарно різними.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-001

Добуток дев'яти лінійних множників, подільний на велике просте число

Для дев'яти різних натуральних чисел d1,d2,…,d9d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{9} розглянемо многочлен P(n)=(n+d1)(n+d2)⋅…⋅(n+d9)P(n)=\left(n+d_{1}\right)\left(n+d_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(n+d_{9}\right). Доведіть, що існує ціле число NN з такою властивістю: для всіх цілих чисел n≥Nn \geq N число P(n)P(n) ділиться на просте число, більше за 20.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-005

Квадратична композиція із заданими нулями

Чи існують квадратні многочлени P(x)P(x) і Q(x)Q(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що многочлен P(Q(x))P(Q(x)) має рівно такі нулі: x=2,x=3,x=5x=2, x=3, x=5 і x=7x=7?
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-006

Степені простих чисел через умову на НСД

Для натуральних чисел aa і bb означимо a⊖b=a−bНСД(a,b)a \ominus b=\frac{a-b}{\text{НСД}(a, b)}. Доведіть, що для кожного цілого числа n>1n>1 виконується: nn є степенем простого числа (тобто nn можна записати як n=pkn=p^{k}, де pp — просте число, а kk — натуральне число) тоді й лише тоді, коли для всіх натуральних m<nm<n виконується НСД(n,n⊖m)=1\text{НСД}(n, n \ominus m)=1.
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові тести на IMOTST-2012-003

Найбільша мінімальна різниця в перестановці

Нехай n≥2n \geq 2 — натуральне число. Знайдіть залежно від nn найбільше натуральне число dd, для якого існує перестановка a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} чисел 1,2,…,n1,2, \ldots, n така, що ∣ai−ai+1∣≥d, для i=1,2,…,n−1\left|a_{i}-a_{i+1}\right| \geq d, \quad \text{ для } i=1,2, \ldots, n-1
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-034

Функції двох змінних, що зберігають медіану

Знайдіть усі дійснозначні функції ff, визначені на парах дійсних чисел, які мають таку властивість: для всіх дійсних чисел a,b,ca, b, c медіана чисел f(a,b)f(a, b), f(b,c)f(b, c), f(c,a)f(c, a) дорівнює медіані чисел a,b,ca, b, c. (Медіана трьох дійсних чисел, не обов’язково різних, — це число, яке стоїть посередині, коли ці три числа впорядковано за неспаданням.)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-002

Нерухома точка на описаному колі

У гострокутному трикутнику ABCABC виконуються нерівності ∠A<∠B\angle A < \angle B і ∠A<∠C\angle A < \angle C. Нехай PP — змінна точка на стороні BCBC. Точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що BP=PDBP = PD і CP=PECP = PE. Доведіть, що коли PP рухається вздовж сторони BCBC, описане коло трикутника ADEADE проходить через нерухому точку, відмінну від AA.
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-009

Бісектриса кута в рівнобедреному трикутнику

Нехай Γ\Gamma — описане коло рівнобедреного трикутника ABCA B C з вершиною CC. На стороні BCB C вибрано внутрішню точку MM. Нехай NN — точка на промені AMA M, для якої MM лежить між AA і NN і ∣AN∣=∣AC∣|A N|=|A C|. Описане коло трикутника CMNC M N перетинає Γ\Gamma у двох різних точках CC і PP. Прямі ABA B і CPC P перетинаються в точці QQ. Доведіть, що ∡BMQ=∡QMN\measuredangle B M Q=\measuredangle Q M N.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2012-007

Коло з центром на BC через точку O

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай kk — коло з такими властивостями: (1) Центр KK кола kk лежить усередині сторони BCBC. (2) Коло kk дотикається до сторони ABAB в точці B′B' і до сторони ACAC в точці C′C'. (3) OO лежить на меншій з двох дуг B′C′B'C' кола kk. Доведіть, що описане коло трикутника ABCABC і коло kk перетинаються у двох різних точках.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2012-010

Чотири точки на одному колі

Нехай ABCABC — трикутник, а XX — точка всередині трикутника. Прямі XAXA, XBXB і XCXC перетинають описане коло трикутника △ABC\triangle ABC вдруге відповідно в точках P,QP, Q і RR. Нехай UU — точка на промені XPXP (тобто на прямій XPXP така, що PP і UU лежать з одного боку від XX). Пряма через UU, паралельна до ABAB, перетинає BQBQ в точці VV. Пряма через UU, паралельна до ACAC, перетинає CRCR в точці WW. Доведіть, що точки Q,R,VQ, R, V і WW лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.