Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Відбіркові тести на IMOTST-2012-041

Рекурентна послідовність із цілою частиною середнього та взаємно простими зсувами

Нехай x0,x1,…,xn0−1x_0, x_1, \dots, x_{n_0-1} — цілі числа, а d1,d2,…,dkd_1, d_2, \dots, d_k — натуральні числа, причому n0=d1>d2>⋯>dkn_0 = d_1 > d_2 > \dots > d_k і НСД(d1,d2,…,dk)=1\text{НСД}(d_1, d_2, \dots, d_k) = 1. Для кожного цілого n≥n0n \ge n_0 визначимо xn=⌊xn−d1+xn−d2+⋯+xn−dkk⌋.x_n = \left\lfloor \frac{x_{n-d_1} + x_{n-d_2} + \dots + x_{n-d_k}}{k} \right\rfloor. Доведіть, що послідовність {xn}\{x_n\} зрештою стає сталою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2012-029

Прості дільники різниці степенів і попередні показники

Знайдіть усі пари (a,n)(a, n) натуральних чисел з n>1n > 1 таких, що для кожного простого pp, яке ділить an−1a^n - 1, існує 0<k<n0 < k < n таке, що pp ділить ak−1a^k - 1.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Відбіркові тести на IMOTST-2012-030

Розбиття натуральних чисел і суми двох елементів

Знайдіть найбільше натуральне число kk з такою властивістю: множину натуральних чисел можна розбити на kk попарно неперетинних підмножин A1,…,AkA_{1}, \ldots, A_{k} так, щоб кожне натуральне число n≥15n \geq 15 для кожного i∈{1,…,k}i \in\{1, \ldots, k\} записувалося як сума двох різних елементів із AiA_{i}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-042

Симетричні різниці забарвлених множин

Нехай nn — натуральне число. Припустимо, що дано 2n+12^n + 1 різних множин, кожна з яких містить скінченну кількість об'єктів. Кожну множину віднесено до однієї з двох категорій — червоних множин і синіх множин — так, щоб у кожній категорії була принаймні одна множина. Визначимо симетричну різницю двох множин як множину об'єктів, що належать рівно одній з цих двох множин. Доведіть, що існує принаймні 2n2^n різних множин, які можна одержати як симетричну різницю червоної множини та синьої множини.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2012-031

Циклічна нерівність з добутком не меншим за одиницю

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, для яких abc≥1a b c \geq 1. Доведіть нерівність a4−1ab3+abc+ac3+b4−1bc3+abc+ba3+c4−1ca3+abc+cb3≥0\frac{a^{4}-1}{a b^{3}+a b c+a c^{3}}+\frac{b^{4}-1}{b c^{3}+a b c+b a^{3}}+\frac{c^{4}-1}{c a^{3}+a b c+c b^{3}} \geq 0
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2012-032

Центр вписаного кола і перпендикулярність до діаметра

Нехай II — центр вписаного кола, а ADAD — діаметр описаного кола трикутника ABCABC. Нехай EE і FF — точки на променях BABA і CACA такі, що BE=CF=AB+BC+CA2BE = CF = \frac{AB + BC + CA}{2} Доведіть, що прямі EFEF і DIDI перетинаються під прямим кутом.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2012-033

Сума степенів m і просте число m+1

Знайдіть усі цілі числа m,n≥2m, n \geq 2, які задовольняють такі дві умови: (i) m+1m+1 — просте число виду 4k+34k+3 для деякого цілого числа kk. (ii) Існує просте число pp і невід'ємне ціле число aa такі, що m2n−1−1m−1=mn+pa\frac{m^{2^{n}-1}-1}{m-1}=m^{n}+p^{a}
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-001

Квадрат у прямокутному трикутнику і рівність для 1/x

На сторонах прямокутного трикутника ABCABC з прямим кутом при вершині AA вибрано три точки DD, EE та FF (відповідно на BCBC, ACAC і ABAB) так, щоб чотирикутник AFDEAFDE був квадратом. Якщо xx — довжина його сторони, доведіть, що 1x=1AB+1AC\frac{1}{x} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-002

Числа, що дорівнюють 300-кратній сумі своїх цифр

Знайдіть усі натуральні числа, які дорівнюють 300-кратній сумі своїх цифр.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-003

Добуток членів рекурентно заданої послідовності

Нехай x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots — послідовність, задана рекурентно так: {x1=4xn+1=x1x2x3⋯xn+5 при n≥1\left\{\begin{array}{l} x_{1}=4 \\ x_{n+1}=x_{1} x_{2} x_{3} \cdots x_{n}+5 \quad \text{ при } n \geq 1 \end{array}\right. (Отже, перші члени послідовності — x1=4,x2=4+5=9,x3=4⋅9+5=41,…x_{1}=4, x_{2}=4+5=9, x_{3}=4 \cdot 9+5=41, \ldots.) Знайти всі пари натуральних чисел {a,b}\{a, b\} такі, що xaxbx_{a} x_{b} є повним квадратом.
10–11 класиМіркування за модулем
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-004

Геометричне місце точок із сумою кутів у квадраті

Нехай ABCDABCD — квадрат. Опишіть геометричне місце точок PP площини, відмінних від A,B,C,DA, B, C, D, для яких APB^+CPD^=180∘.\widehat{APB} + \widehat{CPD} = 180^{\circ} \text{.}
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-005

Аналіз стратегії подвоєння в рулетці

Мартіно думає, що відкрив метод, щоб вигравати в рулетку, або принаймні щоб не програвати забагато грошей. Він завжди ставить на червоне. Починає зі ставки 1 євро; щоразу, коли програє, подвоює попередню ставку, а щоразу, коли виграє, у наступній ставці ставить 1 євро. Одного дня він має при собі 31 євро і йде грати, вирішивши, що піде геть, щойно або програє 5 разів поспіль, або виграє 5 разів поспіль, або ж залишиться без грошей раніше, ніж станеться одна з цих двох можливостей. a. Якою буде найменша кількість ігор, яку він муситиме зіграти, щоб закінчити гру з 31 євро, якщо він виходить із 5 поразками? b. Якою буде найменша кількість ігор, яку він муситиме зіграти, щоб закінчити гру з 31 євро, якщо він виходить із 5 перемогами? c. Якщо він виходить із 5 перемогами, яким щонайменше буде його підсумковий капітал?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-007

Повторене число і подільність на 9 та 11

Для довільного натурального числа nn назвемо циклостилатом числа nn число, яке дістаємо, записавши поспіль 2012 копій числа nn (у десятковій системі). Наприклад, циклостилатом числа 314 є 314314314…314314314314 \ldots 314, де запис «314» повторюється 2012 разів. a) Знайдіть усі натуральні числа mm такі, що циклостилат числа mm кратний 9. b) Знайдіть усі натуральні числа mm такі, що циклостилат числа mm кратний 11.
10–11 класиОзнаки подільності на 2, 3, …
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-006

Рекурентний дефіцит сну

Зазвичай Давіде потрібно спати щонайменше 8 годин за ніч. Якщо однієї ночі він спить на kk годин менше, ніж йому потрібно, то виявляється, що в кожну з kk наступних ночей йому потрібно на kk годин сну більше. Щоночі він усе одно спить цілу кількість годин, не більшу за його потребу. Наприклад, якщо в ніч на понеділок йому потрібно 8 годин, а спить він 7, то у вівторок йому знадобиться 9 годин. Якщо в середу йому потрібно 8 годин, а спить він 6, то в четвер і п'ятницю йому знадобиться щонайменше 10 годин сну; якщо в четвер він спить лише 9, то в п'ятницю він відчуватиме потребу в 11 годинах (8(8, плюс 2 за години, втрачені в середу, плюс 1 за годину, недоспану в четвер). Одного понеділка вночі Давіде мав потребу спати 8 годин; те саме відбувається в ніч на понеділок наступного тижня. Протягом тижня було 7 годин, які йому треба було проспати, але він цього не зробив: скільки годин щонайменше проспав Давіде за сім ночей від понеділка до неділі?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-008

Квадратичне рекурентне співвідношення зі сталою послідовністю

Послідовність {xn∣n=0,1,2,…}\{x_{n} \mid n=0,1,2, \ldots\} дійсних чисел задано залежно від дійсного параметра aa так: {x0=axn+1=2−xn2 при n≥0\left\{ \begin{array}{l} x_{0}=a \\ x_{n+1}=2-x_{n}^{2} \quad \text{ при } n \geq 0 \end{array} \right. a. Знайдіть усі значення aa, для яких xnx_{n} є сталою (тобто виконується xn=ax_{n}=a для всіх nn). b. Доведіть, що для одного зі значень, знайдених у пункті (a) (позначимо його yy), якщо ∣a∣<∣y∣|a|<|y|, то ∣xn∣<∣y∣\left|x_{n}\right|<|y| для всіх nn. c. Доведіть, що якщо ∣a∣>∣y∣|a|>|y|, то послідовність xnx_{n} строго спадна.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-010

Центр описаного кола і подібні трикутники в гострокутному трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC з AB<ACAB < AC бісектриса, проведена з AA, перетинає сторону BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через PP паралельно стороні ABAB, перетинає сторону ACAC у точці QQ; на цій прямій нехай RR — точка, що лежить на промені з початком у QQ, який не містить PP, і така, що QR=QAQR = QA. Позначимо далі через SS ортогональну проєкцію RR на пряму BCBC, а через TT — перетин сторони ACAC з прямою, що проходить через PP і перпендикулярна до APAP. a. Доведіть, що центром описаного кола трикутника APRAPR є QQ; b. Доведіть, що трикутник STCSTC подібний до трикутника APCAPC.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-009

Перетин висоти з описаним колом і рівність трикутників

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник; нехай OO — центр його описаного кола, а P,QP, Q — точки (відмінні від AA), в яких відповідно висота, проведена з вершини AA, і продовження відрізка AOAO перетинають описане коло трикутника ABCABC. a. Доведіть, що кути BA^PB\widehat{A}P і QA^CQ\widehat{A}C рівні; b. Доведіть, що трикутники BCPBCP і CBQCBQ рівні; c. Доведіть, що, якщо MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC, то площа чотирикутника ABPCABPC у чотири рази більша за площу чотирикутника AMONAMON.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-001

Підйом сходами кроками по 2 і по 5

Двоє людей, AA і BB, піднімаються сходами, що мають певну кількість сходинок. AA за один крок долає 2 сходинки, а BB за один крок долає 5 сходинок, за винятком того, що якщо перед останнім кроком у AA залишилася лише 1 сходинка, то він долає лише 1 сходинку, щоб завершити підйом, а якщо перед останнім кроком у BB залишилося 4 або менше сходинок, то BB долає всі сходинки, що залишилися, щоб завершити підйом. BB зробив на 6 кроків менше, ніж AA, щоб піднятися цими сходами. Знайдіть усі можливі кількості сходинок цих сходів.
7–9 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-011

П'ятикутник із квадратом та умовою вписаності

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п'ятикутник, у якому чотирикутник ABCDABCD є квадратом. Якщо ∠AEC+∠BED=180∘\angle AEC + \angle BED = 180^\circ, доведіть, що п'ятикутник ABCDEABCDE вписаний у коло. Тут під опуклим п'ятикутником ми розуміємо п'ятикутник, у якого кожен із внутрішніх кутів менший від 180∘180^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-012

Переставні кратні 7 із цифрами від 1 до 7

Нехай кожна цифра натурального числа не менша за 11 і не більша за 77. Припустимо далі, що nn кратне 77 і кожне число, отримане перестановкою цифр числа nn, також кратне 77. Знайдіть усі такі числа nn.
7–9 класиАрифметика остач (базові властиво…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-002

Підрахунок паліндромних чисел до 2012

Натуральне число, цифра одиниць якого не дорівнює 0, називається паліндромним числом, якщо воно не змінюється, коли його цифри прочитати у зворотному порядку. Наприклад, число 1232112321 є паліндромним числом, оскільки число, отримане читанням його цифр у зворотному порядку, — це те саме 1232112321, а 12341234 — ні, оскільки при читанні його цифр у зворотному порядку отримуємо число 43214321. Скільки існує паліндромних чисел, не більших за 20122012?
7–9 класиПравила суму та добутку
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-013

Мінімальна початкова кількість позначок у таблиці

Нехай aa і bb — натуральні числа. Припустімо, що дано дошку a×ba \times b з квадратних клітинок і NN з abab квадратних клітинок дошки позначено ✓\checkmark. Виявилося можливим позначити всі abab клітинок, повторюючи таку процедуру: Процедура: якщо в якомусь рядку або стовпці позначено всі клітинки, крім однієї, то позначте й цю останню клітинку. Виразіть найменше можливе значення NN, за якого це можливо, через aa і bb.
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-003

Шестикутник із квадратів на сторонах трикутника

Зовні трикутника ABCABC побудовано 3 квадрати PQBAPQBA, RSCBRSCB і TUACTUAC, кожен з яких має одну зі сторін трикутника як одну зі своїх сторін. Якщо AB=3AB = 3, BC=4BC = 4 і CA=3CA = 3, знайдіть площу шестикутника PQRSTUPQRSTU. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY.
7–9 класиПоворот
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-004

Паралельні відрізки в чотирикутнику

Точка EE лежить на стороні DADA чотирикутника ABCDABCD так, що прямі ABAB і ECEC паралельні. Якщо AB=3AB = 3, BC=3BC = 3, CD=5CD = 5, DE=3DE = 3 і EA=2EA = 2, знайдіть довжину відрізка ECEC. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY.
7–9 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-014

Трикутник з кутом 30° і кут PMQ

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. Виберемо точку XX всередині трикутника ABCABC так, щоб ∠XBC=∠XCB=30∘\angle XBC = \angle XCB = 30^\circ. Також візьмемо точки PP і QQ на прямих BXBX і CXCX відповідно так, щоб виконувалися рівності AP=BPAP = BP і AQ=CQAQ = CQ. Нехай MM — середина відрізка BCBC. Доведіть, що ∠PMQ=90∘\angle PMQ = 90^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.