Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

135 задач
Математична олімпіада району затоки (BAMO)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-001

Ціни коробок цукерок і суми підмножин

Магазин Sugar Station продає 44 різні види цукерок, упакованих по одній в коробку. Кожна коробка коштує цілу додатну кількість центів, а купівля по одній коробці кожного виду коштує 1.511.51. (Жодної знижки залежно від кількості цукерок у покупці немає.) На жаль, Анна має лише 0.750.75. a) Доведіть, що Анна може купити принаймні 22 коробки, у кожній з яких різна цукерка. b) Доведіть, що Анна може зробити навіть краще — купити принаймні 25 коробок, у кожній з яких різна цукерка.
Симетрія та розбиття на пари
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-002

Пакування шести кіл у квадрат

Саша хоче спекти 6 печивок на своєму квадратному деку розміром 88 дюймів ×\times 88 дюймів. За допомогою формочки він вирізає з тіста шість круглих форм, кожна діаметром рівно 33 дюйми. Чи може він розмістити ці шість форм з тіста на деку так, щоб форми не торкалися одна одної? Якщо так, покажіть як. Якщо ні, поясніть чому. (Вважайте, що тісто не розширюється під час випікання.)
Покриття, пакування, фарбування
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-003

Квадрат між сумами перших простих чисел

Нехай SnS_{n} — сума перших nn простих чисел. Наприклад, S5=2+3+5+7+11=28.S_{5}=2+3+5+7+11=28 . Чи існує ціле число kk таке, що S2023<k2<S2024S_{2023}<k^{2}<S_{2024}?
Метод затискання між сусідніми зн…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2023-001

Послідовні числа як довжини сторін трикутника

Зайнеб виготовляє велике намисто з намистин, позначених 290,291,292,…,2023290, 291, 292, \ldots, 2023. Вона використовує кожну намистину рівно один раз і розташовує намистини в намисті у будь-якому бажаному порядку. Доведіть, що яким би не був порядок намистин, обов'язково знайдуться три намистини підряд, мітки яких є довжинами сторін трикутника.
Підрахунок двома способами
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2023-002

Решітковий трикутник із колінеарними внутрішніми точками

Точкою решітки на площині називаємо точку з цілими координатами. Нехай TT — трикутник на площині, вершини якого є точками решітки, але на його сторонах немає інших точок решітки. Крім того, припустимо, що TT містить рівно чотири точки решітки у своїй внутрішності. Доведіть, що ці чотири точки лежать на одній прямій.
Дискретні набори точок та прямих…2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2020-001

Незмінна пряма через рухому хорду

Розглянемо △ABC\triangle A B C. Виберемо точку MM на його стороні BCB C і нехай OO — центр кола, що проходить через вершини трикутника △ABM\triangle A B M. Нехай kk — коло, яке проходить через точки AA і MM і центр якого лежить на прямій BCB C. Нехай пряма MOM O вдруге перетинає kk у точці KK. Доведіть, що пряма BKB K одна й та сама для будь-якого вибору точки MM на відрізку BCB C, за умови, що всі ці побудови визначені.
Допоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2020-002

Площини, що розділяють точки на сфері

Нехай SS — множина з a+b+3a+b+3 точок на сфері, де a,ba, b — невід’ємні цілі числа і жодні чотири точки з SS не компланарні (тобто жодні чотири точки не лежать в одній площині). Визначте, скільки площин проходить через три точки з SS і розділяє решту точок на aa точок з одного боку площини та bb точок з іншого боку.
Підрахунок двома способами
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2019-001

Самовідображення з функціональним рівнянням

Нехай SS — скінченна множина ненульових дійсних чисел, а f:S→Sf: S \rightarrow S — функція з такою властивістю: для кожного x∈Sx \in S виконується або f(f(x))=x+f(x)абоf(f(x))=x+f(x)2f(f(x))=x+f(x) \quad \text{або} \quad f(f(x))=\frac{x+f(x)}{2} Доведіть, що f(x)=xf(x)=x для всіх x∈Sx \in S.
Циклічні підстановки (метод орбіт)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2019-002

Класифікація чисел за сумами дільників

Кожне натуральне число є або хорошим, або поганим, і Оракул Чисел знає, які саме які. Однак Оракул не скаже вам напряму, чи число хороше, чи погане. Єдині запитання, на які Оракул відповідатиме, — це запитання виду «Чому дорівнює сума всіх хороших дільників числа nn?», де nn — число на вибір запитувача. Наприклад, припустімо (лише для цього прикладу), що 22 і 33 — хороші, а 11 і 66 — погані. Тоді, якби ви запитали Оракула: «Чому дорівнює сума всіх хороших дільників числа 66?», відповідь Оракула була б 55. Доведіть, що для будь-якого даного натурального числа nn, меншого за 11 мільйон, ви можете визначити, чи є nn хорошим, чи поганим, поставивши Оракулові щонайбільше чотири запитання.
Сума дільників σ(n)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2018-001

Найвища з найнижчих проти найнижчої з найвищих

Двадцять п'ять людей різного зросту стоять у сітці 5×55 \times 5 клітинок, по одній людині в кожній клітинці. Відомо, що в кожному рядку є найнижча людина; нехай Ана — найвища з цих п'яти людей. Аналогічно, в кожному стовпці є найвища людина; нехай Бев — найнижча з цих п'яти людей. Припустімо, що Ана і Бев — різні люди. Хто з них вищий: Ана чи Бев? Доведіть, що ваша відповідь завжди правильна.
Розбиття на випадки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2018-002

Сума периметрів при розрізанні квадрата

Дано квадрат зі стороною 1 см1~\text{см}. Існує багато різних способів розрізати квадрат на чотири прямокутники. Нехай SS — сума периметрів цих чотирьох прямокутників. Опишіть з обґрунтуванням усі можливі значення SS.
Розрізання, покриття та замощення
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2018-003

Квадратичний тричлен, що завжди є повним квадратом

Ціле число cc називається квадратно-дружнім, якщо воно має таку властивість: для кожного цілого числа mm число m2+18m+cm^{2}+18 m+c є повним квадратом. (Повний квадрат — це число виду n2n^{2}, де nn — ціле число. Наприклад, 49=7249=7^{2} є повним квадратом, тоді як 4646 не є повним квадратом. До того ж, як приклад, 66 не є квадратно-дружнім, бо для m=2m=2 маємо (2)2+(18)(2)+6=46(2)^{2}+(18)(2)+6=46, а 4646 не є повним квадратом.) Насправді існує рівно одне квадратно-дружнє ціле число. Доведіть, що це так, виконавши таке: a. Знайдіть квадратно-дружнє ціле число і доведіть, що воно є квадратно-дружнім. b. Доведіть, що не може існувати двох різних квадратно-дружніх цілих чисел.
Метод затискання між сусідніми зн…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2018-004

Числа ±1 по колу з від'ємною сумою добутків сусідніх

Нехай по колу записані 20022002 числа, кожне з яких дорівнює 11 або −1-1. Для кожних двох сусідніх чисел береться їхній добуток; виявляється, що сума всіх 20022002 таких добутків від'ємна. Доведіть, що модуль суми початкових чисел не перевищує 10001000. (Модуль числа xx зазвичай позначають ∣x∣|x|. Він дорівнює xx, якщо x≥0x \geq 0, і −x-x, якщо x<0x<0. Наприклад, ∣6∣=6|6|=6, ∣0∣=0|0|=0 і ∣−7∣=7|-7|=7.)
Підрахунок двома способами
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2018-005

Цілість суми циклічних відношень і повний куб

a. Знайдіть дві четвірки натуральних чисел (a,b,c,n)(a, b, c, n) з різними значеннями nn, більшими за 33, такі, що ab+bc+ca=n\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = n b. Доведіть, що якщо a,b,ca, b, c — ненульові цілі числа, для яких ab+bc+ca\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} є цілим числом, то abca b c є повним кубом. (Повний куб — це число виду n3n^3, де nn — ціле число.)
Функція vₚ(n) та її властивості
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2018-006

Розрізання многокутника на прямокутні трикутники з цілим відношенням сторін

Розрізати многокутник — означає розбити його на кілька областей, проводячи розрізи вздовж скінченної кількості відрізків. Наприклад, діаграма нижче показує розрізання шестикутника на два трикутники і два чотирикутники: Прямокутний трикутник з цілим відношенням сторін — це прямокутний трикутник, довжини сторін якого відносяться як цілі числа. Наприклад, трикутник зі сторонами 3,4,53, 4, 5 є прямокутним трикутником з цілим відношенням сторін, як і трикутник зі сторонами 523,63,1323\frac{5}{2} \sqrt{3}, 6 \sqrt{3}, \frac{13}{2} \sqrt{3}. Натомість прямокутний трикутник зі сторонами 2,5,7\sqrt{2}, \sqrt{5}, \sqrt{7} не є прямокутним трикутником з цілим відношенням сторін. Визначте, з доведенням, усі цілі числа nn, для яких можна повністю розрізати правильний nn-кутник на прямокутні трикутники з цілим відношенням сторін.
Раціональні та ірраціональні числа
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-001

Однакові множини різних простих дільників

Різні прості дільники цілого числа — це його прості дільники, перелічені без повторень. Наприклад, різні прості дільники числа 4040 — це 22 і 55. Нехай A=2k−2A = 2^{k} - 2 і B=2k⋅AB = 2^{k} \cdot A, де kk — ціле число (k>1)(k > 1). Доведіть, що для кожного вибору kk: a. числа AA і BB мають ту саму множину різних простих дільників. b. числа A+1A+1 і B+1B+1 мають ту саму множину різних простих дільників.
Прості числа (базові властивості)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-002

Шестикутник із середин і перпендикулярів

У гострокутному трикутнику ABCA B C нехай K,LK, L і MM — середини сторін AB,BCA B, B C і CAC A відповідно. З кожної з точок K,LK, L і MM опустимо по два перпендикуляри на інші дві сторони трикутника; наприклад, з точки KK опустимо перпендикуляри на сторони BCB C і CAC A тощо. Отримані 6 перпендикулярів перетинаються в точках Q,SQ, S і TT, як показано на рисунку, утворюючи шестикутник KQLSMTK Q L S M T усередині трикутника ABCA B C. Доведіть, що площа шестикутника KQLSMTK Q L S M T дорівнює половині площі початкового трикутника ABCA B C.
Розбиття і перекидання площ
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-003

Паралелограми з фігур на шаховій дошці

Для n>1n > 1 розглянемо шахову дошку розміром n×nn \times n і розставимо фігури в центрах різних клітинок. a. Якщо на дошці стоїть 2n2n фігур, доведіть, що серед них знайдеться 4 фігури, які є вершинами паралелограма. b. Доведіть, що можна розставити (2n−1)(2n-1) фігур так, щоб жодні 4 з них не утворювали вершин паралелограма.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-004

Знаки перед кубами для суми 20162016

Знайдіть натуральне число NN та числа a1,a2,…,aNa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}, де ak=1a_{k}=1 або ak=−1a_{k}=-1 для кожного k=1,2,…,Nk=1,2, \ldots, N, такі, що a1⋅13+a2⋅23+a3⋅33+⋯+aN⋅N3=20162016,a_{1} \cdot 1^{3}+a_{2} \cdot 2^{3}+a_{3} \cdot 3^{3}+\cdots+a_{N} \cdot N^{3}=20162016, або доведіть, що це неможливо.
Конструкція через періодичність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-005

Найбільша кількість видимих порядків вершин n-кутника

Вершини фіксованого опуклого (але не обов'язково правильного) nn-кутника позначено різними літерами. Якщо спостерігач стоїть у точці площини многокутника поза межами многокутника, то він бачить літери в певному порядку зліва направо, і вони складають «слово» (тобто рядок літер; це не обов'язково має бути слово якоюсь мовою). Наприклад, на діаграмі нижче (де n=4n=4) спостерігач у точці XX прочитає «BAMO», а спостерігач у точці YY прочитає «MOAB». Знайдіть, у вигляді формули від nn, найбільшу кількість різних nn-літерних слів, які можна прочитати таким чином з одного nn-кутника. Не враховуйте слова, у яких якоїсь літери бракує через те, що з позиції спостерігача вона розташована точно за іншою літерою.
Дискретні набори точок та прямих…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-006

Прямокутник, замощений заданими квадратами

Наведена нижче схема — приклад прямокутника, замощеного квадратами: Кожен квадрат позначено довжиною його сторони. Квадрати заповнюють прямокутник без перекриттів. Аналогічним чином прямокутник можна замостити дев'ятьма квадратами, довжини сторін яких дорівнюють 22, 55, 77, 99, 1616, 2525, 2828, 3333 і 3636. Накресліть можливе розташування цих квадратів. Вони мають заповнювати прямокутник без перекриттів. Позначте кожен квадрат на своєму рисунку довжиною його сторони, як на малюнку вище.
Розрізання, покриття та замощення
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2015-001

Порівняння нормованих гармонічних сум

Яке з чисел більше — AA чи BB, де A=12015(1+12+13+⋯+12015)іB=12016(1+12+13+⋯+12016)?A=\frac{1}{2015}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2015}\right) \quad \text{і} \quad B=\frac{1}{2016}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2016}\right) ? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
Числові нерівності
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2015-002

Рівні відрізки між серединами протилежних сторін чотирикутника

У чотирикутнику два відрізки, що з'єднують середини його протилежних сторін, рівні за довжиною. Доведіть, що діагоналі чотирикутника перпендикулярні. (Іншими словами, нехай MM, NN, PP і QQ — середини сторін ABAB, BCBC, CDCD і DADA чотирикутника ABCDABCD. Відомо, що відрізки MPMP і NQNQ рівні за довжиною. Доведіть, що діагоналі ACAC і BDBD перпендикулярні.)
Паралельні прямі і теорема Фалеса
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2015-003

Сума квадратів дорівнює степеню трійки

Нехай kk — натуральне число. Доведіть, що існують цілі числа xx і yy, жодне з яких не ділиться на 33, такі, що x2+2y2=3kx^{2} + 2y^{2} = 3^{k}.
Метод математичної індукції
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2015-004

Розбиття кубів на конгруентні прямокутні паралелепіпеди

Дано nn однакових кубів, кожен розміру 1×1×11 \times 1 \times 1. Ми розкладаємо всі ці nn кубів так, щоб отримати один або кілька конгруентних прямокутних паралелепіпедів; нехай B(n)B(n) — кількість способів це зробити. Наприклад, якщо n=12n=12, то один зі способів — дванадцять кубів 1×1×11 \times 1 \times 1, інший — один паралелепіпед 3×2×23 \times 2 \times 2, інший — три паралелепіпеди 2×2×12 \times 2 \times 1, інший — три паралелепіпеди 4×1×14 \times 1 \times 1 тощо. Скажімо, 2×2×12 \times 2 \times 1 та 1×2×21 \times 2 \times 2 ми не вважаємо різними; ці паралелепіпеди конгруентні. За бажанням можна перевірити, наприклад, що B(12)=11B(12)=11. Знайдіть з доведенням ціле число mm, для якого 10m<B(2015100)<10m+110^{m}<B\left(2015^{100}\right)<10^{m+1}.
Комбінації

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.