Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

135 задач
Математична олімпіада району затоки (BAMO)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2004-002

Побудова перпендикуляра через зовнішню точку лінійкою

Дана пряма проходить через центр OO кола. Ця пряма перетинає коло в точках AA і BB. Точка PP лежить зовні кола і не лежить на прямій ABA B. Користуючись лише лінійкою без поділок, побудуйте пряму через PP, перпендикулярну до прямої ABA B. Наведіть повний опис побудови та доведіть її правильність.
Точка перетину висот
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2004-003

Мінімальна кількість ребер для зв'язності графа

НАСА запропонувала заселити Марс 2,0042,004 поселеннями. Єдиний спосіб потрапити з одного поселення до іншого — з'єднувальний тунель. Нудьгуючий бюрократ наносить на карту Марса NN тунелів, що з'єднують поселення, розміщуючи їх випадковим чином так, що між двома поселеннями є не більше одного тунелю. Яке найменше значення NN гарантує, що, як би тунелі не було проведено, можна буде подорожувати між будь-якими двома поселеннями?
Зв’язність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2004-004

Циклічна сума добутків сусідніх чисел

Нехай дано nn дійсних чисел, не всі з яких дорівнюють нулю, причому їх сума дорівнює нулю. Доведіть, що ці числа можна позначити a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} так, що a1a2+a2a3+⋯+an−1an+ana1<0.a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n-1} a_{n}+a_{n} a_{1}<0 .
Підрахунок двома способами
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2004-005

Нормовані многочлени з цілими коефіцієнтами, що зберігають ірраціональність

Знайдіть (з доведенням) усі нормовані многочлени f(x)f(x) з цілими коефіцієнтами, які задовольняють такі дві умови. 1. f(0)=2004f(0)=2004. 2. Якщо xx — ірраціональне число, то f(x)f(x) також ірраціональне число. (Зауваження: многочлен називають нормованим, якщо його член найвищого степеня має коефіцієнт 1. Так, f(x)=x4−5x3−4x+7f(x)=x^{4}-5 x^{3}-4 x+7 — приклад нормованого многочлена з цілими коефіцієнтами. Число xx називають раціональним, якщо його можна записати у вигляді відношення двох цілих чисел. Число xx називають ірраціональним, якщо це дійсне число, яке не можна записати у вигляді відношення двох цілих чисел. Наприклад, 2/52 / 5 і −9-9 раціональні, тоді як 2\sqrt{2} і π\pi, як добре відомо, ірраціональні.)
Корені многочлена, розклад на мно…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2003-001

Досконалі числа серед факторіалів

Ціле число є досконалим тоді й лише тоді, коли воно дорівнює сумі всіх своїх дільників, крім самого себе. Наприклад, 2828 — досконале число, оскільки 28=1+2+4+7+1428 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Нехай n!n! позначає добуток 1⋅2⋅3⋯n1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n, де nn — натуральне число. Ціле число є факторіалом тоді й лише тоді, коли воно дорівнює n!n! для деякого натурального числа nn. Наприклад, 2424 — факторіал, оскільки 24=4!=1⋅2⋅3⋅424 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4. Знайдіть усі досконалі числа, більші за 11, які є також факторіалами.
Сума дільників σ(n)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2003-002

Поділ монет із голосуванням більшістю

П'ятеро математиків знаходять у кімнаті мішечок зі 100 золотими монетами. Вони домовляються поділити монети за таким планом: - Найстарша людина в кімнаті пропонує поділ монет між присутніми. (Жодну монету не можна ділити.) Потім усі присутні, включно з тим, хто запропонував, голосують щодо цієї пропозиції. - Якщо за пропозицію проголосує щонайменше 50%50\% присутніх, монети розподіляються відповідно до неї, і всі розходяться по домівках. (Зокрема, пропозиція ухвалюється і тоді, коли голоси розділилися порівну.) - Якщо за пропозицію проголосує менше ніж 50%50\% присутніх, той, хто її запропонував, мусить покинути кімнату, не отримавши жодної монети. Після цього процес повторюється: поділ пропонує найстарша з тих, хто залишився, і так далі. - Не дозволено жодного спілкування чи обговорення будь-якого роду, крім того, що потрібно, щоб той, хто пропонує, виклав свою пропозицію, а виборці віддали свої голоси. Припустімо, що кожна людина однаково розумна і кожна діє оптимально, щоб максимізувати свою частку. Скільки монет отримає кожна людина?
Виграшні та програшні позиції: ан…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2003-003

Точки решітки, що утворюють трикутник цілої площі

Точкою цілочисельної решітки називають точку (x,y)(x, y), у якої обидві координати xx та yy — цілі числа. Знайдіть з доведенням найменше nn, для якого будь-яка множина з nn точок решітки містить три точки, що є вершинами трикутника з цілочисельною площею. (Трикутник може бути виродженим, тобто три точки можуть лежати на одній прямій і тому утворювати трикутник нульової площі.)
Парність та непарність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2003-004

Квадрат з перпендикуляром і рівними відрізками

Нехай ABCDABCD — квадрат, а EE — внутрішня точка сторони ADAD. Нехай FF — основа перпендикуляра, опущеного з BB на пряму CECE. Припустимо, що GG — така точка, що BG=FGBG = FG, а пряма через GG, паралельна до BCBC, проходить через середину відрізка EFEF. Доведіть, що AC<2⋅FGAC < 2 \cdot FG.
Паралельний перенос2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2002-001

Кут із центра квадрата в прямокутному трикутнику

Нехай ABCA B C — прямокутний трикутник із прямим кутом при вершині BB. Нехай ACDEA C D E — квадрат, побудований зовні трикутника ABCA B C. Якщо MM — центр цього квадрата, знайдіть міру кута ∠MBC\angle M B C.
Допоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2002-002

Гра з розділенням стопок монет: виграшні позиції

У цій грі беруть участь двоє гравців і початкова стопка з nn монет (n≥3n \geq 3). Гравці по черзі обирають одну зі стопок монет на столі та розділяють її на дві стопки. Перемагає гравець, чий хід приводить до того, що всі стопки мають висоту 1 або 2. За яких початкових значень nn перемагає гравець, що ходить першим, за найкращої гри обох гравців?
Виграшні та програшні позиції: ан…2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2002-003

Сума найбільших непарних дільників

Для n≥1n \geq 1 нехай ana_{n} — найбільший непарний дільник числа nn, а bn=a1+a2+⋯+anb_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}. Доведіть, що bn≥n2+23b_{n} \geq \frac{n^{2}+2}{3}, і визначте, для яких nn справджується рівність. Наприклад, a1=1, a2=1, a3=3, a4=1, a5=5, a6=3a_{1}=1,\ a_{2}=1,\ a_{3}=3,\ a_{4}=1,\ a_{5}=5,\ a_{6}=3 отже b6=1+1+3+1+5+3=14≥62+23=1223.b_{6}=1+1+3+1+5+3=14 \geq \frac{6^{2}+2}{3}=12 \frac{2}{3} .
Метод математичної індукції
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2002-004

Розфарбування станцій для перевірки простоти

Професор Моріарті придумав «стежку для перевірки простоти». Стежка має 2002 станції, позначені 1,…,20021, \ldots, 2002. Кожна станція пофарбована в червоний або зелений колір і містить таблицю, яка для кожної з цифр 0,…,90, \ldots, 9 вказує номер іншої станції. Учень отримує натуральне число nn і проходить стежкою, починаючи зі станції 11. Учень читає першу (крайню ліву) цифру числа nn і шукає цю цифру в таблиці станції 11, отримуючи номер нової станції. Потім учень іде до цієї нової станції, читає другу цифру числа nn і шукає її в таблиці цієї станції, отримуючи ще один номер станції, і так далі, доки останню (крайню праву) цифру числа nn не буде прочитано і знайдено в таблиці, що й приводить учня до його кінцевої станції. Нижче наведено приклад можливих значень деяких із таблиць. Нехай n=19n=19: | Станція | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 1 (червона) | 15 | 29 | 314 | 16 | 2002 | 97 | 428 | 1613 | 91 | 24 | | ⋮\vdots | | | | | | | | | | | | ⋮\vdots | | | | | | | | | | | | 29 (червона) | 98 | 331 | 1918 | 173 | 15 | 41 | 17 | 631 | 1211 | 1429 | | ⋮\vdots | | | | | | | | | | | | 1429 (зелена) | 7 | 18 | 31 | 43 | 216 | 1709 | 421 | 53 | 224 | 1100 | За цими таблицями станція 11, цифра 11 веде до станції 2929; станція 2929, цифра 99 веде до станції 14291429; станція 14291429 — зелена. Професор Моріарті стверджує, що для будь-якого натурального числа nn кінцева станція (у прикладі 14291429) буде зеленою тоді і тільки тоді, коли nn просте. Чи це можливо?
Мала теорема Ферма
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2001-001

Триангуляція з багатобарвними трикутниками

Кожну вершину правильного 17-кутника пофарбовано в червоний, синій або зелений колір так, що ніякі дві сусідні вершини не пофарбовані в один і той самий колір. Трикутник назвемо «багатобарвним», якщо його вершини пофарбовані в червоний, синій і зелений кольори у довільному порядку. Доведіть, що цей 17-кутник можна розрізати по діагоналях, що не перетинаються, так, щоб утворилося щонайменше два багатобарвні трикутники. (Діагоналлю многокутника називається відрізок, що сполучає дві несусідні вершини. Діагоналі називаються такими, що не перетинаються, якщо будь-які дві з них або перетинаються в одній вершині, або взагалі не перетинаються.)
Парність і непарність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2001-002

Колінеарність точок у прямокутнику з перпендикулярами

Нехай JHIZJ H I Z — прямокутник, а точки AA і CC лежать на сторонах ZIZ I та ZJZ J відповідно. Перпендикуляр, проведений з AA на пряму CHC H, перетинає пряму HIH I у точці XX, а перпендикуляр, проведений з CC на пряму AHA H, перетинає пряму HJH J у точці YY. Доведіть, що точки X,YX, Y і ZZ колінеарні (лежать на одній прямій).
Відношення відрізків в подібних т…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2001-003

Строго зростаюче функціональне рівняння

Нехай f(n)f(n) — функція, яка для всіх натуральних чисел nn задовольняє такі три умови: (a) f(n)f(n) є натуральним числом, (b) f(n+1)>f(n)f(n+1) > f(n), (c) f(f(n))=3nf(f(n)) = 3n. Знайдіть f(2001)f(2001).
Властивості монотонності або обме…2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2001-004

Закляття мага на кільцевій дорозі з 12 міст

Королівство складається з 12 міст, розташованих на кільцевій дорозі з одностороннім рухом. Маг приходить 13-го числа кожного місяця, щоб накладати закляття. Він починає з міста, яке розташоване 5-м за дорогою від того, з якого він починав минулого місяця (наприклад, якщо міста пронумеровано 1–12 за годинниковою стрілкою, напрям руху — за годинниковою стрілкою, і минулого місяця він починав з міста №9, то цього місяця він почне з міста №2). У кожному місті, яке він відвідує, маг накладає закляття, якщо місто ще не під закляттям, а потім переходить до наступного міста. Якщо він прибуває до міста, яке вже під закляттям, то він знімає закляття з цього міста і залишає королівство до наступного місяця. Минулого Дня подяки столиця була вільною від закляття. Доведіть, що вона буде вільною від закляття і цього Дня подяки.
Системи числення
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2001-005

Перестановки з потрійним застосуванням і подільність їх кількості

Для кожного натурального числа nn нехай ana_{n} — кількість перестановок τ\tau множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} таких, що τ(τ(τ(x)))=x\tau(\tau(\tau(x)))=x для x=1,2,…,nx=1,2, \ldots, n. Перші кілька значень такі: a1=1, a2=1, a3=3, a4=9.a_{1}=1,\ a_{2}=1,\ a_{3}=3,\ a_{4}=9. Доведіть, що 33343^{334} ділить a2001a_{2001}. (Перестановка множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} — це перевпорядкування чисел {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}, або, рівносильно, взаємно однозначна функція з {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} на {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Наприклад, одна з перестановок множини {1,2,3}\{1,2,3\} — це перевпорядкування {2,1,3}\{2,1,3\}, якому відповідає функція σ:{1,2,3}→{1,2,3}\sigma:\{1,2,3\} \rightarrow\{1,2,3\}, задана як σ(1)=2, σ(2)=1, σ(3)=3\sigma(1)=2,\ \sigma(2)=1,\ \sigma(3)=3.)
Рекурентний підрахунок
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2000-001

Сума двох взаємно простих чисел, більших за 1

Доведіть, що кожне ціле число, не менше від 77, можна подати у вигляді суми двох взаємно простих цілих чисел, обидва з яких більші за 11. (Два цілі числа взаємно прості, якщо вони не мають спільного додатного дільника, відмінного від 11. Наприклад, числа 2222 і 1515 взаємно прості, і тому рівність 37=22+1537=22+15 подає число 3737 у бажаному вигляді.)
Дільники та кратні (базові власти…4 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2000-002

Нерівність для циклічного добутку сум

Нехай x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} — додатні числа, причому n≥2n \geq 2. Доведіть, що (x1+1x1)(x2+1x2)⋯(xn+1xn)≥(x1+1x2)(x2+1x3)⋯(xn−1+1xn)(xn+1x1).\left(x_{1}+\frac{1}{x_{1}}\right)\left(x_{2}+\frac{1}{x_{2}}\right) \cdots\left(x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\right) \geq\left(x_{1}+\frac{1}{x_{2}}\right)\left(x_{2}+\frac{1}{x_{3}}\right) \cdots\left(x_{n-1}+\frac{1}{x_{n}}\right)\left(x_{n}+\frac{1}{x_{1}}\right) .
Нерівність Коші2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2000-003

Велика множина точок із фіксованими відстанями

Доведіть, що існує множина SS з 310003^{1000} точок на площині, така, що для кожної точки PP із SS знайдеться щонайменше 2000 точок у SS, відстань від яких до PP дорівнює рівно 1 дюйму.
Конструкція за індукцією
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2000-004

Зняття монет із шахової дошки за правилами суміжності

Аліса грає в такий пасьянс на дошці 20×2020 \times 20. Спочатку вона кладе на дошку 100 пенні, 100 монет по 5 центів, 100 монет по 10 центів і 100 монет по 25 центів так, щоб у кожній із 400 клітинок лежало рівно по одній монеті. Потім вона вибирає 59 із цих монет і знімає їх з дошки. Після цього вона знімає монети по одній, дотримуючись таких правил: - Пенні можна зняти, лише якщо чотири клітинки дошки, суміжні з його клітинкою (зверху, знизу, ліворуч і праворуч), вільні (не містять монет). Клітинки «поза дошкою» не зараховуються до цих чотирьох: наприклад, некутова клітинка на краю дошки, що межує з краєм дошки, має три суміжні клітинки, тому пенні в такій клітинці не можна зняти за цим правилом, навіть якщо всі три суміжні клітинки вільні. - Монету в 5 центів можна зняти, лише якщо є принаймні три вільні клітинки, суміжні з її клітинкою. (І знову клітинки «поза дошкою» не зараховуються.) - Монету в 10 центів можна зняти, лише якщо є принаймні дві вільні клітинки, суміжні з її клітинкою (клітинки «поза дошкою» не зараховуються). - Монету в 25 центів можна зняти, лише якщо є принаймні одна вільна клітинка, суміжна з її клітинкою (клітинки «поза дошкою» не зараховуються). Аліса виграє, якщо їй зрештою вдасться зняти всі монети. Доведіть, що виграти їй неможливо.
Напівінваріанти
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-002

Подільність суми степенів 1993–1996 на 10

Доведіть, що 19931993+19941994+19951995+199619961993^{1993} + 1994^{1994} + 1995^{1995} + 1996^{1996} ділиться на 1010.
Степені за модулем. Періодичність…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-001

Надлишкове число серед послідовних цілих чисел

Доведіть, що серед будь-яких 12 послідовних натуральних чисел знайдеться принаймні одне число, яке менше за суму своїх власних дільників. (Власними дільниками натурального числа nn називаються всі натуральні числа, відмінні від 1 і nn, які ділять nn. Наприклад, власні дільники числа 14 — це 2 і 7.)
Дільники та кратні (базові власти…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-003

Порівняння відсотків одужання у двох лікарнях

Нехай AA і BB — дві різні лікарні, які лікують однакову кількість пацієнтів протягом року. Кожен пацієнт страждає на одне з двох захворювань: XX або YY. Лікарня AA виліковує більший відсоток своїх пацієнтів, ніж лікарня BB. Чи можливо, що лікарня BB виліковує більший відсоток як XX-пацієнтів, ніж AA, так і YY-пацієнтів, ніж AA?
Числові нерівності
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-005

Гамільтонів шлях у графі куба 3×3×3

Білдерт працює в кабінетику в офісі, що складається з 27 кабінетиків, розташованих у кубі 3×3×33 \times 3 \times 3. Будь-які два кабінетики зі спільною стіною мають з'єднувальні двері в цій стіні; наприклад, кутові кабінетики мають рівно 3 двері, тоді як центральний кабінетик — 6 дверей: по одних дверях у кожній стіні, а також на підлозі та на стелі. Якщо Білдерт починає з центрального кабінетика, чи зможе він відвідати кожен з решти 26 кабінетиків рівно один раз (тобто жодного кабінетика не відвідуючи вдруге)?
Шляхи на графах

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.