Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

116 задач
Нідерландська математична олімпіада
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-019

Записки у вазах з умовою середнього арифметичного

У кімнаті є 20232023 вази, пронумеровані від 11 до 20232023. У кожну вазу ми хочемо покласти записку з натуральним числом із 1,2,…,20231, 2, \ldots, 2023. Числа на записках не обов'язково мають бути різними. Для кожної вази має виконуватися таке: подивимося на записку всередині вази, знайдемо вазу (не обов'язково іншу) з номером, написаним на записці, і подивимося на записку всередині цієї вази. Тоді середнє арифметичне чисел на цих двох записках має точно дорівнювати номеру першої вибраної вази. Наприклад, якщо покласти записку з числом 55 у вазу 1313, то ваза 55 повинна містити записку з числом 2121: адже середнє арифметичне чисел 55 і 2121 дорівнює 1313. Визначте всі можливі способи забезпечити кожну вазу запискою.
10–11 класиМетод математичної індукції
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-015

Відношення площ вкладених квадратів і кіл

У квадраті ми малюємо вписане коло, в яке малюємо вписаний квадрат, сторони якого паралельні сторонам початкового квадрата. Область між цими квадратами зафарбовуємо темно-сірим кольором. У меншому квадраті ми знову малюємо вписане коло, що містить інший вписаний квадрат з паралельними сторонами; область між ними ми зафарбовуємо світло-сірим кольором. Ми повторюємо цей процес, доки не буде 2023 темно-сірих і 2023 світло-сірих областей. На малюнку зображено перші кроки. Внутрішній квадрат залишається білим. Площа всіх темно-сірих областей разом становить рівно 1. Яка площа всіх світло-сірих областей разом?
10–11 класиПлощі подібних фігур
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-020

Зростання ітерованої послідовності за парністю

Фелікс обирає натуральне число як початкове і записує його на дошці. Потім він повторює такий крок: він замінює число nn на дошці на 12n\frac{1}{2}n, якщо nn — парне, і на n2+3n^2 + 3, якщо nn — непарне. Для скількох початкових чисел, менших за 2023, Фелікс ніколи не запише на дошці число з понад чотирма цифрами?
10–11 класиПарність та непарність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-003

Число із заданою різницею з крабом

Крабом натурального числа називається число, яке дістанемо, записавши його цифри у зворотному порядку. Наприклад, краб числа 82678267 дорівнює 76287628, а краб числа 1562015620 дорівнює 26512651 (оскільки початковий нуль завжди відкидається). Яке найменше натуральне число nn таке, що nn мінус краб числа nn дорівнює 1234567812345678?
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-009

Відстані ходом коня на шаховій дошці

Шахова дошка складається з 8×88 \times 8 клітин. Кінь стоїть на кутовій клітині. Кінь ходить або на дві клітини по горизонталі й одну по вертикалі, або на дві клітини по вертикалі й одну по горизонталі. На кожній клітині шахової дошки записуємо, за скільки ходів кінь може до неї дістатися. Яке число ми записали найчастіше? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-021

Діаметр кола та бісектриса кута

У гострокутному трикутнику ABCABC, де ∣BC∣<∣BA∣|BC| < |BA|, точка NN — середина сторони ACAC. Коло з діаметром ABAB перетинає бісектрису ∠B\angle B у двох точках: BB і XX. Доведіть, що пряма XNXN паралельна BCBC.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-004

Числа з властивістю останніх двох цифр

На другий тур Математичної олімпіади запрошено 999 учнів. Мелані готує листи-запрошення в порядку номерів учасників: 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots. Для деяких значень n≥100n \geq 100 вона помічає таке: кількість номерів учасників від 11 до nn включно, що закінчуються на 55, точно дорівнює цілому числу, утвореному останніми двома цифрами числа nn. Для скількох значень nn (де 100≤n<1000100 \leq n < 1000) це виконується?
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-016

Чотирицифрове число з трьома однаковими цифрами і оберненим квадратом

Натуральне число aa складається з чотирьох цифр, три з яких однакові. Квадрат числа aa складається із семи цифр, усі з яких різні. Число bb утворюється прочитанням числа aa справа наліво. Виявляється, що bb більше за aa. Крім того, виявляється, що b2b^2 точно дорівнює числу a2a^2, прочитаному справа наліво. Знайдіть усі можливі значення aa.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-010

Трикутник із рівним поділом кута

Маємо трикутник △ABC\triangle ABC і дві точки DD та EE на відрізку BCBC, такі, що ∠BAD=∠DAE=∠EAC\angle BAD = \angle DAE = \angle EAC. Крім того, ∣AB∣=6|AB| = 6, ∣BD∣=4|BD| = 4, ∣DE∣=2|DE| = 2 і ∣EA∣=3|EA| = 3. Дивіться рисунок праворуч: зауважте, його намальовано не в масштабі! Чому дорівнює довжина відрізка CECE? A) 2 B) 2142\frac{1}{4} C) 2122\frac{1}{2} D) 2342\frac{3}{4} E) 3
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-022

Підрахунок послідовностей прибирання карток

Вчителька математики має 1010 карток із числами від 11 до 1010, по одному числу на картці. Вона викладає ці картки в деякому порядку в ряд поруч одна з одною на столі. Учні підходять до столу по одному. Учень, чия черга настала, один раз проходить уздовж ряду карток зліва направо і забирає кожну картку, яка йому трапляється і яка (на той момент) є найменшою карткою на столі. Це триває, доки всі картки не буде забрано зі столу. Наприклад, якщо ряд викладено в порядку 33, 11, 44, 55, 88, 66, 99, 1010, 22, 77 зліва направо, то перший учень забирає картки 11 і 22. Тоді приходить другий учень, який у нашому прикладі забирає картки 33, 44, 55, 66 і 77. Третій учень тоді забирає картки 88, 99 і 1010. Нехай AA — кількість послідовностей карток, які вчителька може обрати так, щоб рівно дев'ять учнів отримали чергу забрати картки. Нехай BB — кількість послідовностей карток, які вчителька може обрати так, щоб рівно двоє учнів отримали чергу забрати картки. Доведіть, що A=BA = B.
10–11 класиБієкції
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-011

Брехуни та лицарі за круглим столом

За круглим столом сидять 20232023 людини. Кожна людина — або брехун, або лицар. Лицарі завжди кажуть правду, а брехуни завжди брешуть. Перша людина каже: «За цим столом є принаймні один брехун». Людина ліворуч від неї каже: «За цим столом є принаймні один лицар». Третя каже: «За цим столом є принаймні два брехуни». Четверта каже: «За цим столом є принаймні два лицарі». Так триває далі, доки остання людина за столом не скаже: «За цим столом є принаймні 10121012 брехунів». Перша людина, яка вже робила заяву, тепер каже: «За цим столом є принаймні 10121012 лицарів». Скільки брехунів сидить за столом? A) 505505 B) 506506 C) 10111011 D) 10121012 E) 15071507
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-012

Пари одиничних дробів із сумою чотири п’ятнадцятих

Скільки існує пар натуральних чисел aa і bb, де a<ba < b, таких, що 1a+1b=415?\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{4}{15} ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-017

Розподіл шести різних олівців між трьома особами

Анна, Белла і Селін збираються малювати. Є шість олівців різних кольорів. Вони ділять олівці між собою так, щоб кожна отримала принаймні один олівець. Скількома різними способами вони можуть розподілити олівці? A) 537 B) 540 C) 720 D) 729 E) 1170
10–11 класиФормула включення-виключення
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-001

Найбільше дільниково просте число

Натуральне число nn називається дільниково простим, якщо для кожного натурального дільника dd числа nn принаймні одне з чисел d−1d-1 і d+1d+1 є простим. Наприклад, 88 — дільниково просте, бо його натуральні дільники 11, 22, 44 і 88 кожен відрізняється на 11 від простого числа (відповідно від 22, 33, 55 і 77), тоді як 99 не є дільниково простим, бо дільник 99 не відрізняється на 11 від простого числа (і 88, і 1010 — складені). Знайдіть найбільше дільниково просте число.
10–11 класиПарність та непарність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-008

Перетин і об’єднання множин цілих чисел

Алісія записує aa різних цілих чисел на аркуші паперу, а Брітт записує bb різних цілих чисел на іншому аркуші паперу. Алісія записала принаймні одне ціле число, якого не записала Брітт, а Брітт записала принаймні одне ціле число, якого не записала Алісія. Вера підраховує кількість різних цілих чисел на двох аркушах паперу; позначимо цю кількість різних цілих чисел через vv. Даан підраховує, скільки з цілих чисел, записаних Алісією, також записала Брітт; позначимо це число через dd. Наприклад, якщо Алісія записала 11, 22 і 55, а Брітт записала 22, 55, 77 і 88, то маємо a=3a = 3 і b=4b = 4, тоді як v=5v = 5 і d=2d = 2. a. Знайдіть приклад, для якого a=b=2022a = b = 2022 і a⋅b=d⋅(v+d)a \cdot b = d \cdot (v + d). b. Чи можливо, що a⋅b=d⋅(v+4)a \cdot b = d \cdot (v + 4)? Наведіть приклад або доведіть, що це неможливо. c. Чи можливо, що a⋅b=d⋅va \cdot b = d \cdot v? Наведіть приклад або доведіть, що це неможливо.
10–11 класиФормула включення-виключення
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-002

Цілі середні значення столітніх множин

Множина, яка складається щонайменше з двох різних натуральних чисел, називається столітньою, якщо її найбільший елемент дорівнює 100100. Розглядатимемо середнє арифметичне всіх чисел столітньої множини, яке називатимемо середнім цієї множини. Наприклад, середнє столітньої множини {1,2,20,100}\{1, 2, 20, 100\} дорівнює 1234\frac{123}{4}, а середнє столітньої множини {74,90,100}\{74, 90, 100\} дорівнює 8888. Визначте всі цілі числа, які можуть траплятися як середнє деякої столітньої множини.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-009

Властивості чотирицифрових сонячних чисел

Натуральне число називаємо сонячним, якщо воно має чотири цифри і до того ж кожна з двох крайніх цифр рівно на 1 більша за сусідню з нею цифру. Числа 87238723 і 10011001, наприклад, сонячні, а 12341234 і 8724587245 — ні. a) Скільки існує сонячних чисел таких, що подвоєне число знову є сонячним числом? b) Доведіть, що кожне сонячне число, більше за 20002000, ділиться на трицифрове число з 99 посередині.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-007

Периметр фрактального квадрата після ітерацій

Починаємо з квадрата зі стороною 11. Протягом першої хвилини на серединах вертикальних сторін виростають маленькі квадрати зі стороною 13\frac{1}{3}. Протягом наступної хвилини на середині кожного вертикального відрізка нової фігури виростає новий маленький квадрат, сторони якого становлять 13\frac{1}{3} довжини цих відрізків. Нижче можна побачити ситуацію після 00, 11 і 22 хвилин. Цей процес триває далі. Щохвилини на середині кожного вертикального відрізка виростає новий квадрат, сторони якого становлять 13\frac{1}{3} довжини цього відрізка. Через годину цей процес нарощування нових квадратів на фігурі відбувся 6060 разів. Який периметр фігури через годину?
10–11 класиГеометрична прогресія
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-006

Граф знайомств математиків і біологів

На конгресі всі учасники — або математики, або біологи, і немає нікого, хто був би водночас і тим, і іншим. Усі математики знають один одного, і кожен з них знає чотирьох із біологів. Біологи також усі знають один одного, і кожен з них знає дев'ятьох із математиків. Виявляється, що кожен математик знає вдвічі більше людей, ніж кожен біолог. (Якщо особа AA знає особу BB, то особа BB також знає особу AA.) Скільки математиків на конгресі?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-003

Послідовність дробів з ітеративним скороченням

Нехай задано натуральне число cc, побудуємо послідовність дробів a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots так: a1=cc+1a_1 = \frac{c}{c+1}; щоб отримати ana_n, беремо an−1a_{n-1} (у найпростішому вигляді, з додатними чисельником і знаменником) і додаємо 2 до чисельника та 3 до знаменника. Потім результат знову максимально скорочуємо, з додатними чисельником і знаменником. Наприклад, якщо взяти c=20c = 20, то a1=2021a_1 = \frac{20}{21} і a2=2224=1112a_2 = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}. Тоді дістаємо, що a3=1315a_3 = \frac{13}{15} (який уже є нескоротним) і a4=1518=56a_4 = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}. a. Нехай c=10c = 10, отже a1=1011a_1 = \frac{10}{11}. Знайдіть найбільше nn, для якого при побудові ana_n потрібне скорочення. b. Нехай c=99c = 99, отже a1=99100a_1 = \frac{99}{100}. Визначте, чи знадобиться десь у послідовності скорочення. c. Знайдіть два значення cc, для яких на першому кроці побудови a5a_5 (до скорочення) чисельник і знаменник діляться на 5.
10–11 класиНСД та НСК
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-004

Перетин бісектриси та серединного перпендикуляра

У трикутнику ABCABC точка DD лежить на відрізку ABAB так, що CDCD — бісектриса кута CC. Серединний перпендикуляр до відрізка CDCD перетинає пряму ABAB у точці EE. Нехай ∣BE∣=4|BE| = 4 і ∣AB∣=5|AB| = 5. a. Доведіть, що ∠BAC=∠BCE\angle BAC = \angle BCE. b. Доведіть, що 2∣AD∣=∣ED∣2|AD| = |ED|.
10–11 класиОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-005

Максимум різних відстаней у послідовності блоків

Кіра має 33 блоки з літерою AA, 33 блоки з літерою BB і 33 блоки з літерою CC. Вона викладає ці 99 блоків у послідовність. Вона хоче мати якомога більше різних відстаней між блоками з однаковою літерою. Наприклад, у послідовності ABCAABCBCABCAABCBC блоки з літерою AA мають між собою відстані 11, 33 і 44, блоки з літерою BB мають між собою відстані 22, 44 і 66, а блоки з літерою CC мають між собою відстані 22, 44 і 66. Загалом отримали відстані 11, 22, 33, 44 і 66; це 55 різних відстаней. Яка найбільша можлива кількість різних відстаней?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-001

Суми зсунутої послідовності, кратні трьом

Пітер нудьгував під час локдауну, тож вирішив цілий день писати числа. Він складає послідовність чисел, яка починається з 00, 11 і −1-1, а далі продовжується нескінченно. У наступному рядку він пише ту саму послідовність чисел, але зсунуту на одну позицію праворуч. У третьому рядку він знову пише ту саму послідовність чисел, зсунуту ще на одну позицію праворуч. Він додає всі три числа, що стоять в одному вертикальному стовпчику. (Він пропускає перші два місця, тож починає з −1+1+0-1 + 1 + 0.) Відповідь у кожному стовпчику — це наступне кратне трьом. Тож аркуш Пітера має такий вигляд: 01−1……………01−1…………+01−1………036912…\begin{array}{rrrrrrrrr} & 0 & 1 & -1 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ & & 0 & 1 & -1 & \dots & \dots & \dots & \dots \\ + & & & 0 & 1 & -1 & \dots & \dots & \dots \\ \hline & & & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 & \dots \end{array} Перше число у верхній послідовності дорівнює 00, друге число дорівнює 11, третє число дорівнює −1-1 тощо. Знайдіть 20212021-е число у верхній послідовності.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-005

Перерозподіл монет за круглим столом

Навколо круглого столу сидять n≥3n \ge 3 гравців. Ведучий роздає nn монет гравцям так, що не кожен отримує рівно одну монету. Кожен гравець бачить кількість монет у кожного іншого гравця. Кожні 10 секунд ведучий дзвонить у дзвінок. У цей момент кожен гравець дивиться, скільки монет мають його двоє сусідів. Потім вони всі одночасно роблять таке: Якщо гравець має більше монет, ніж принаймні один із його сусідів, гравець віддає рівно одну монету. Він віддає цю монету сусідові з найменшою кількістю монет. Якщо обидва його сусіди мають однакову кількість монет, він віддає монету сусідові ліворуч. Якщо гравець не має більше монет, ніж принаймні один із його сусідів, гравець нічого не робить і чекає наступного раунду. Гра закінчується, якщо кожен має рівно одну монету. a) Для кожного n≥3n \ge 3 знайдіть початковий розподіл монет так, щоб гра ніколи не закінчилася (і доведіть, що для вашого початкового розподілу гра не закінчується). b) Для кожного n≥4n \ge 4 знайдіть початковий розподіл монет на початку гри так, щоб гра закінчилася (і доведіть, що для вашого початкового розподілу гра закінчується).
10–11 класиКонструкція через періодичність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-007

Можливі різниці в ланцюжку цілих чисел

Для цілих чисел aa, bb, cc і dd різниця між aa і bb дорівнює 22, різниця між bb і cc дорівнює 33, а різниця між cc і dd дорівнює 44. Яке з наведених значень не може бути різницею між aa і dd? A) 11 B) 33 C) 55 D) 77 E) 99
10–11 класиРозбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.