Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

116 задач
Нідерландська математична олімпіада
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-015

Монохроматичність розфарбування сітки

Нік має 16 квадратних карток, білих з одного боку і чорних з іншого. Він викладає картки так, щоб утворився квадрат 4×44 \times 4. Деякі картки показують білий бік, а деякі — чорний. Для кольорового візерунка він обчислює монохроматичність так. Для кожної пари сусідніх карток, що мають спільну сторону, він нараховує +1+1 або −1-1 за таким правилом: +1+1, якщо сусідні картки показують однаковий колір, і −1-1, якщо сусідні картки показують різні кольори. Додавши все разом, отримуємо монохроматичність (яка може бути від’ємною). Наприклад, якщо він викладе картки як нижче, то є 15 пар сусідніх карток, що показують однаковий колір, і 9 таких пар, що показують різні кольори. Отже, монохроматичність цього візерунка дорівнює 15⋅(+1)+9⋅(−1)=615 \cdot (+1) + 9 \cdot (-1) = 6. Нік розглядає всі можливі кольорові візерунки і складає список усіх можливих чисел, які хоча б раз трапляються як значення монохроматичності. Тобто Нік складає список з усіх чисел, для яких існує кольоровий візерунок, що має це число як свою монохроматичність. a. Які три найбільші числа в його списку? (Поясніть свою відповідь. Якщо ваша відповідь, наприклад, 12, 9 і 6, то ви маєте показати, що ці числа справді є в списку, навівши розфарбування для кожного з цих чисел, а також довести, що числа 7, 8, 10, 11 та всі числа, більші за 12, не трапляються.) b. Які три найменші (найбільш від’ємні) числа в його списку? c. Яке найменше додатне число (тобто більше за 0) в його списку?
10–11 класиПарність і непарність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-012

Обернення цифр учетверює суму

Маємо два цілі числа, що складаються з двох цифр, причому обидва числа не починаються з 00. Якщо додати ці числа, отримаємо число SS. Якщо поміняти місцями дві цифри в обох числах і додати нові числа, отримаємо 4S4S. Визначте всі можливі пари двоцифрових чисел, що задовольняють ці умови. Чітко вкажіть у відповіді, які числа утворюють пару.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-002

Мінімальна довжина комбі-числа

Ціле число nn називається комбі-числом, якщо кожна пара різних цифр із множини всіх можливих цифр від 00 до 99 трапляється в його записі принаймні один раз як сусідні цифри. Наприклад, у комбі-числі цифри 33 і 55 мають десь стояти поруч. Не має значення, чи вони йдуть у порядку 3535, чи 5353. Домовимося, що комбі-число ніколи не починається з цифри 00. Яка найменша можлива кількість цифр комбі-числа?
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-016

Збалансований турнір із забороненими четвірками

Розглянемо спортивні турніри з n≥4n \ge 4 командами-учасницями, де кожна пара команд грає між собою щонайбільше один раз. Назвемо такий турнір збалансованим, якщо будь-які чотири команди-учасниці грають між собою рівно три матчі. Отже, не всі команди грають одна проти одної. Визначте найбільше значення nn, для якого існує збалансований турнір з nn командами.
10–11 класиСтепені вершин
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-006

Подібні трикутники ABC і AED і довжина CF

Розглянемо трикутник ABCABC і точку DD на продовженні відрізка ABAB за точку BB. Точка EE лежить на стороні ACAC так, що кути ∠DBC\angle DBC і ∠DEC\angle DEC рівні. Перетин прямих DEDE і BCBC — це FF. Припустімо, що ∣BF∣=2|BF| = 2, ∣BD∣=3|BD| = 3, ∣AE∣=4|AE| = 4 і ∣AB∣=5|AB| = 5. (Увага: рисунок зображено не в масштабі.) a. Доведіть, що трикутники △ABC\triangle ABC і △AED\triangle AED подібні. b. Знайдіть ∣CF∣|CF|.
10–11 класиОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-013

Квадрат зі стороною, дотичною до кола

Дано коло радіуса 11 і квадрат, причому коло дотикається до однієї сторони квадрата, а дві вершини квадрата лежать на колі. Знайдіть довжину сторони квадрата.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-017

Стрибки жаби з чергуванням горизонтальних і вертикальних кроків

Жаба стрибає по точках цілочисельної решітки на площині, з однієї точки решітки до іншої. Жаба починає в точці (0,0)(0,0). Потім вона послідовно робить стрибок на один крок по горизонталі, стрибок на 22 кроки по вертикалі, стрибок на 33 кроки по горизонталі, стрибок на 44 кроки по вертикалі і так далі. Знайдіть усі n>0n > 0, для яких жаба може повернутися в (0,0)(0,0) після nn стрибків.
10–11 класиПарність та непарність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-003

Діагоналі паралелограма із заданими сторонами

Паралелограм має дві сторони завдовжки 44 і дві сторони завдовжки 77. Також одна з діагоналей має довжину 77. (Зауважте: рисунок виконано не в масштабі.) Чому дорівнює довжина іншої діагоналі?
10–11 класиВекторний метод
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-018

Подібні трикутники із серединами та перпендикулярами

У трикутнику ABCABC маємо ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ. Точка MM — середина сторони ABAB. Пряма, що проходить через MM паралельно стороні BCBC, перетинає сторону ACAC в точці DD. Середина відрізка CDCD — точка EE. Прямі BDBD і CMCM перпендикулярні. Зауважте: рисунок виконано не в масштабі. a. Доведіть, що трикутники CMECME і ABDABD подібні. b. Доведіть, що прямі EMEM і ABAB перпендикулярні.
10–11 класиОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-014

Антиланцюгове розфарбування чотирицифрових кодів

Розглянемо коди безпеки, що складаються з чотирьох цифр. Кажемо, що один код домінує над іншим кодом, якщо кожна цифра першого коду не менша за відповідну цифру другого коду. Наприклад, 49614961 домінує над 07610761, оскільки 4≥04 \ge 0, 9≥79 \ge 7, 6≥66 \ge 6 і 1≥11 \ge 1. Ми хочемо призначити кожному коду безпеки від 00000000 до 99999999 колір, але якщо один код домінує над іншим кодом, то ці коди не можуть мати однаковий колір. Яка найменша кількість кольорів нам потрібна, щоб це зробити?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-004

Обертові колеса з вирівнюванням стрілок

Три колеса притиснуті одне до одного так, що вони не проковзують, якщо їх обертати. Довжини кіл коліс становлять 1414, 1010 і 66 см відповідно. На кожному колесі намальована стрілка, що вказує вниз. Хтось обертає велике колесо, і інші колеса обертаються разом з ним. Це зупиняється в перший момент, коли всі стрілки знову вказують вниз. Кожного разу, коли одна зі стрілок вказує вгору, лунає свисток. Якщо дві або три стрілки вказують вгору одночасно, лунає лише один свисток. Скільки всього свистків пролунає?
10–11 класиНСД та НСК
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-019

Дільники плюс один ділять наступне число

Розглянемо ціле число n>1n > 1 з такою властивістю: для кожного додатного дільника dd числа nn число d+1d+1 є дільником числа n+1n+1. Доведіть, що nn — просте число.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-008

Мінімальна кількість ходів до 2021

На дошці написано число 11. Хід полягає в тому, що число на дошці стирають і замінюють його подвоєним числом або числом на один меншим. Наприклад, 11 можна замінити на 22 (подвоєння) або 00 (на один менше), а якщо на дошці 55, то його можна замінити на 1010 або 44. Яка найменша кількість ходів потрібна, щоб написати на дошці число 20212021? A) 1414 B) 1515 C) 1616 D) 1717 E) 1818
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-009

Рівні відрізки в трикутнику

У трикутнику ABC точка DD лежить на стороні BCBC, а точка EE лежить на стороні ACAC, причому відрізки BDBD, DEDE і AEAE мають однакову довжину. Точка FF — перетин відрізків ADAD і BEBE. Кут CC дорівнює 68∘68^\circ. Чому дорівнює кут FF у трикутнику AFBAFB? A) 120∘120^\circ B) 121∘121^\circ C) 122∘122^\circ D) 123∘123^\circ E) 124∘124^\circ
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-010

Витерте число за середнім арифметичним

На дошці написано числа від 11 до nn. Одне з чисел витерли. Середнє арифметичне чисел, що залишилися, дорівнює 111411\frac{1}{4}. Яке число витерли? A) 66 B) 77 C) 1111 D) 1212 E) 2121
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-011

Розміщення непарних чисел у таблиці

Додатні непарні числа впорядковано так: | | стовпець 1 | стовпець 2 | стовпець 3 | стовпець 4 | стовпець 5 | стовпець 6 |... | |--------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|-----| | рядок 1 | 1 | 3 | 11 | 13 | 29 | 31 |... | | рядок 2 | 5 | 9 | 15 | 27 | 33 |... | | | рядок 3 | 7 | 17 | 25 | 35 |... | | | | рядок 4 | 19 | 23 | 37 |... | | | | | рядок 5 | 21 | 39 |... | | | | | | рядок 6 | 41 |... | | | | | | |... |... | | | | | | | Для кожного непарного числа можна визначити, у якому рядку і в якому стовпці воно розміщене. Наприклад, число 3535 розміщене в рядку 33 і стовпці 44. Яке число розміщене в рядку 2222 і стовпці 2424? A) 20212021 B) 20232023 C) 20252025 D) 20272027 E) 20292029
10–11 класиСуми послідовностей
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-012

Найменша додатна сума зі знаками плюс-мінус

Замінивши кожен символ у виразі 1∗2∗3∗4∗5∗⋯∗2019∗20201 * 2 * 3 * 4 * 5 * \cdots * 2019 * 2020 на знак ++ або −-, отримаємо довгий вираз для обчислення. Розставте знаки ++ і −- так, щоб результат був додатним числом (більшим за 00), яке є якомога меншим. Чому дорівнює цей результат?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-001

Медіани в числовій таблиці 3 на 3

Даан розміщує числа від 11 до 99 у дев'яти клітинках таблиці 3×33 \times 3 (у кожну клітинку — рівно одне число). Потім у кожному рядку Даан обводить медіанне число (число, яке не є ні найменшим, ні найбільшим із трьох). Наприклад, якщо в одному рядку стоять числа 88, 11 і 22, він обводить число 22. Те саме він робить для кожного стовпця та кожної з двох діагоналей. Якщо число вже обведене, він не обводить його вдруге. | | | | |---|---|---| | (⑧) | 1 | (②) | | 7 | (⑥) | (③) | | 9 | (⑤) | 4 | Він називає результат цього процесу медіанною таблицею. Вище можна побачити медіанну таблицю, що має 55 обведених чисел. a. Яка найменша можлива кількість обведених чисел у медіанній таблиці? Доведіть, що менша кількість неможлива, і наведіть приклад, у якому обведена мінімальна кількість чисел. b. Яка найбільша можлива кількість обведених чисел у медіанній таблиці? Доведіть, що більша кількість неможлива, і наведіть приклад, у якому обведена максимальна кількість чисел.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-006

Прямокутник, що накриває три чверті квадрата

У Франциски є квадратний аркуш паперу зі стороною 1010 см. Також у неї є прямокутний аркуш паперу з такою самою площею, як у квадратного. Вона кладе прямокутник поверх квадрата так, щоб їхні ліві нижні кути збігалися. Рівно чверть квадрата залишається непокритою прямокутником. Яка довжина в сантиметрах довгої сторони прямокутника? A) 1212 B) 121412\frac{1}{4} C) 121212\frac{1}{2} D) 123412\frac{3}{4} E) 131313\frac{1}{3}
10–11 класиПлоща чотирикутника
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-019

Добутки факторіалів як повні квадрати

Для натурального числа nn через n!n! («ен факторіал») позначимо число, яке одержимо, перемноживши всі цілі числа від 11 до nn. Наприклад: 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=1205! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120. a. Знайдіть усі цілі числа nn, 1≤n≤1001 \le n \le 100, для яких n!⋅(n+1)!n! \cdot (n+1)! є повним квадратом. Також доведіть, що ви знайшли всі розв’язки nn. b. Доведіть, що не існує натурального числа nn такого, що n!⋅(n+1)!⋅(n+2)!⋅(n+3)!n! \cdot (n+1)! \cdot (n+2)! \cdot (n+3)! є повним квадратом.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-013

Послідовні числа із сумами цифр, кратними 5

Сума цифр числа утворюється додаванням усіх цифр цього числа. Наприклад, сума цифр числа 13031303 дорівнює 1+3+0+3=71 + 3 + 0 + 3 = 7. Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого як сума цифр числа nn, так і сума цифр числа n+1n + 1 діляться на 55.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-007

Логічна задача про брехунів і правдомовців

Кожен із Квіка, Квека і Квака бреше два послідовні дні тижня, а в інші п'ять днів каже правду. Жодні двоє з них не брешуть в один і той самий день. Дядько Дональд хоче дізнатися, хто з його племінників з'їв його цукерки. Троє племінників добре знають, хто це зробив. У неділю Квік каже, що Квек з'їв цукерки. У понеділок Квік каже, що насправді не Квек з'їв цукерки, а Квак стверджує, що Квік невинний. У вівторок же Квак каже, що це Квік з'їв цукерки. Хто з'їв цукерки? A) Це був Квік. B) Це був Квек. C) Це був Квак. D) Це був або Квік, або Квек, але визначити, хто саме, неможливо. E) Це був або Квік, або Квак, але визначити, хто саме, неможливо.
10–11 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-020

Рівносторонній трикутник з кіл восьмикутника

Три послідовні вершини AA, BB і CC правильного восьмикутника є центрами кіл, які проходять через сусідні вершини восьмикутника. Точки перетину PP, QQ і RR цих трьох кіл утворюють трикутник (див. рисунок). Доведіть, що трикутник PQRPQR є рівностороннім.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-002

Послідовність із раціональним рекурентним співвідношенням

Для заданого значення tt розглядаємо числові послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots такі, що an+1=an+tan+1a_{n+1} = \frac{a_n + t}{a_n + 1} для всіх n≥1n \ge 1. a. Нехай t=2t = 2. Знайдіть усі початкові значення a1>0a_1 > 0 такі, що 43≤an≤32\frac{4}{3} \le a_n \le \frac{3}{2} виконується для всіх n≥2n \ge 2. b. Нехай t=−3t = -3. Дослідіть, чи a2020=a1a_{2020} = a_1 для всіх початкових значень a1a_1, відмінних від −1-1 і 11.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-008

Двозначні числа із сумою цифр не меншою за добуток

Розглянемо двозначні числа (перша цифра не може дорівнювати 00). Таке число називається марним, якщо сума двох його цифр більша або дорівнює добутку двох його цифр. Наприклад, число 3636 не є марним, оскільки 3+63 + 6 менше, ніж 3⋅63 \cdot 6. Скільки існує двозначних марних чисел? A) 1717 B) 1818 C) 2626 D) 2727 E) 3737
10–11 класиРозбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.