Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

85 задач
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-003

Шлях равлика на прямих з чергуванням поворотів

На площині проведено 20172017 прямих так, що жодні 33 з них не проходять через одну точку. Равлик Турбо може повзти вздовж прямих у такий спосіб: спочатку вона рухається однією з прямих і продовжує рухатись даною прямою, доки не досягне перетину 22 прямих. У точці перетину вона продовжує свою подорож іншою прямою, повертаючи ліворуч або праворуч, чергуючи напрям, який обирає, у кожній точці перетину, через яку проходить. Чи може статися так, що вона вдруге проповзе відрізок прямої, але у протилежному напрямі, ніж першого разу?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…4 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-004

Шаховий турнір із заданими ступенями

Нехай n≥1n \geq 1 — ціле число, і нехай t1<t2<…<tnt_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n} — додатні цілі числа. У групі з tn+1t_{n}+1 людей грають у шахи. Дві людини можуть грати одна з одною щонайбільше один раз. Доведіть, що можуть одночасно виконуватися такі умови: i) Кількість зіграних партій кожною людиною є одним із чисел t1,t2,…,tnt_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}, ii) Для кожного ii з 1≤i≤n1 \leq i \leq n є хтось, хто зіграв рівно tit_{i} шахових партій.
10–11 класиСтепені вершин4 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-005

n-ки зі степенем 2 у добутку

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. nn-ка (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) додатних цілих чисел є дорогою, якщо існує додатне ціле число kk таке, що (a1+a2)(a2+a3)⋯(an−1+an)(an+a1)=22k−1.(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3}) \cdots (a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})=2^{2k-1}. a) Знайдіть усі додатні цілі числа n≥2n \geq 2, для яких існує дорога nn-ка. b) Доведіть, що для кожного непарного додатного цілого числа mm існує ціле число n≥2n \geq 2 таке, що mm належить до дорогої nn-ки. У добутку в лівій частині рівно nn множників.
10–11 класиМетод нескінченного спуску2 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-001

Суми квадратів і подвоєні добутки сусідніх чисел

Нехай nn — непарне натуральне число і x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n — невід'ємні дійсні числа. Доведіть, що min⁡i=1,…,n(xi2+xi+12)⩽max⁡j=1,…,n2xjxj+1,\min_{i=1,\ldots,n}\left(x_i^2 + x_{i+1}^2\right) \leqslant \max_{j=1,\ldots,n} 2x_jx_{j+1}, де xn+1=x1x_{n+1} = x_1.
10–11 класиЧислові нерівності
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-002

Вписаний чотирикутник, середини відрізків і дотична до кола

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, діагоналі ACAC та BDBD якого перетинаються в точці XX. Літерами C1C_1, D1D_1 та MM позначимо середини відрізків CXCX, DXDX та CDCD відповідно. Нехай YY — точка перетину прямих AD1AD_1 та BC1BC_1, а пряма MYMY перетинає діагоналі ACAC і BDBD у різних точках EE і FF відповідно. Доведіть, що пряма XYXY є дотичною до кола, що проходить через точки EE, FF та XX.
10–11 класиДотична кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-003

Найменша кількість блакитних клітинок таблиці 4m × 4m

Нехай mm — натуральне число. Розглянемо таблицю розміром 4m×4m4m \times 4m, що складається з одиничних клітинок. Дві різні клітинки назвемо пов’язаними одна з одною, якщо вони знаходяться в одному рядку чи в одному стовпчику. Жодна клітинка не є пов’язаною сама із собою. Деякі клітинки пофарбовані блакитним кольором так, що кожна клітинка дошки пов’язана хоча б із двома блакитними клітинками. Визначте найменшу можливу кількість блакитних клітинок.
10–11 класиДвочасткові графи
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-004

Точка перетину прямих на дотичному колі

Два кола однакових радіусів w1w_1 та w2w_2 перетинаються в різних точках X1X_1 та X2X_2. Розглянемо коло ww, що дотикається зовнішнім чином до кола w1w_1 у точці T1T_1 та дотикається внутрішнім чином до кола w2w_2 у точці T2T_2. Доведіть, що точка перетину прямих X1T1X_1T_1 та X2T2X_2T_2 належить колу ww.
10–11 класиІнверсія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-005

Мінімальна кількість прямокутників 1×k на дошці n×n

Нехай kk та nn — такі цілі числа, що k⩾2k \geqslant 2 та k⩽n⩽2k−1k \leqslant n \leqslant 2k - 1. На дошку розміром n×nn \times n викладають прямокутники, кожний з яких має розміри 1×k1 \times k чи k×1k \times 1 так, що кожний прямокутник покриває рівно kk клітинок на дошці та жодні два прямокутники не перекриваються один одним. Цей процес закінчується, коли черговий прямокутник неможливо покласти в такий спосіб. Визначте для кожного kk і nn мінімальну кількість прямокутників, що можуть опинитися на дошці в кінці цього процесу.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-006

Дільник четвертого степеня у проміжку після квадрата

Нехай SS — множина всіх натуральних чисел nn таких, що n4n^4 має хоча б один дільник у проміжку n2+1n^2+1, n2+2n^2+2, …, n2+2nn^2+2n. Доведіть, що в множині SS існує нескінченно багато елементів кожного з видів 7m7m, 7m+17m+1, 7m+27m+2, 7m+57m+5 та 7m+67m+6 і не існує жодного елемента вигляду 7m+37m+3 та 7m+47m+4, де mm — ціле число.
10–11 класиРівняння Пелля
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-001

Основа висоти, бісектриса і дотична до кола

Нехай точка DD — основа висоти, проведеної з вершини CC гострокутного трикутника ABCABC. Бісектриса кута ABCABC перетинає пряму CDCD у точці EE і вдруге перетинає описане коло ω\omega трикутника ADEADE у точці FF. Доведіть, що пряма CFCF дотикається до кола ω\omega, якщо відомо, що ∠ADF=45∘\angle ADF = 45^\circ.
10–11 класиДотична кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-002

Розміщення n² доміношок на дошці 2n×2n з квадратами 2×2

Доміношкою назвемо прямокутник розміром 2×12 \times 1 або 1×21 \times 2. Скільки існує способів розмістити рівно n2n^2 доміношок (без перекриття) на дошці розміром 2n×2n2n \times 2n так, щоб у довільному квадраті 2×22 \times 2 було хоча б дві непокриті клітинки, що розташовані в одному рядку або одному стовпчику?
10–11 класиБієкції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-003

Додавання малих чисел для малого спільного дільника

Нехай nn, mm — натуральні числа, більші за 11, і нехай a1,a2,…,ama_1, a_2, \ldots, a_m — деякі натуральні числа, що не перевищують nmn^m. Доведіть, що існують натуральні числа b1,b2,…,bmb_1, b_2, \ldots, b_m такі, що не перевищують nn і (a1+b1,a2+b2,…,am+bm)<n,(a_1+b_1, a_2+b_2, \ldots, a_m+b_m) < n, де через (x1,x2,…,xm)(x_1, x_2, \ldots, x_m) позначено найбільший спільний дільник чисел x1,x2,…,xmx_1, x_2, \ldots, x_m.
10–11 класиНСД та НСК
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-004

Існування нескінченної послідовності натуральних чисел з коренем

З’ясуйте, чи існує нескінченна послідовність натуральних чисел a1, a2, a3, …a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots така, що для довільного натурального nn справджується рівність an+2=an+1+an+1+an.a_{n+2} = a_{n+1} + \sqrt{a_{n+1} + a_n}.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-005

Пари чисел 1 до 2m і сума n

Нехай mm та nn — натуральні числа, причому m>1m > 1. Настя розбиває множину чисел 1,2,…,2m1, 2, \ldots, 2m на mm пар. Після цього Софійка вибирає по одному числу з кожної пари й обчислює суму всіх вибраних чисел. Доведіть, що Настя може вказати такі пари чисел, що Софійка не отримає суму, яка дорівнює nn.
10–11 класиОстача від ділення
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2015-006

Умова рівності відрізків HG і GP' у трикутнику

Нехай HH — ортоцентр, а GG — центроїд гострокутного трикутника ABCABC (AB≠AC)(AB \ne AC). Пряма AGAG перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках AA та PP. Нехай точка P′P' симетрична точці PP відносно прямої BCBC. Доведіть, що ∠CAB=60∘\angle CAB = 60^\circ тоді і лише тоді, коли HG=GP′HG = GP'.
10–11 класиСиметрія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-001

Значення t для збереження сторін трикутника

Знайдіть усі дійсні значення tt, для яких виконується така властивість: якщо числа aa, bb, cc є довжинами сторін деякого невиродженого трикутника, то числа a2+bcta^2+bct, b2+catb^2+cat, c2+abtc^2+abt теж є довжинами сторін деякого невиродженого трикутника.
10–11 класиНерівність трикутника
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-002

Інцентр, ортоцентр і середина дуги BAC

На сторонах ABAB та ACAC трикутника ABCABC позначено відмінні від вершин точки DD та EE відповідно так, що DB=BC=CEDB = BC = CE. Прямі CDCD і BEBE перетинаються в точці FF. Доведіть, що інцентр II трикутника ABCABC, ортоцентр HH трикутника DEFDEF і середина MM дуги BACBAC описаного кола трикутника ABCABC лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-003

Дільники n з w(n)=k та a²+b² при a+b=n

Позначимо кількість додатних дільників натурального числа mm через d(m)d(m), а кількість різних простих дільників — через w(m)w(m). Нехай kk — натуральне число. Доведіть, що існує нескінченна кількість натуральних nn таких, що w(n)=kw(n)=k і d(a2+b2)d(a^2+b^2) не ділиться на d(n)d(n) для довільних натуральних чисел aa, bb, що задовольняють умову a+b=na+b=n.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-004

Цілі n з існуванням чисел з нерівностями

Знайдіть усі цілі числа n>2n > 2, для яких існують цілі числа x1,x2,…,xn−1x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, що задовольняють умову: якщо 0<i<n0 < i < n, 0<j<n0 < j < n, i≠ji \neq j та 2i+j2i + j ділиться на nn, то xi<xjx_i < x_j.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-005

Негарні розміщення камінців, що стають гарними від одного камінця

Нехай nn — натуральне число. Маємо nn коробок, кожна з яких містить невід'ємну кількість камінців. На кожному кроці ми можемо взяти два камінці з довільної коробки, один із них викинути, а другий покласти в іншу коробку на свій розсуд. Початкове розміщення камінців назвемо гарним, якщо з нього за скінченну кількість кроків (можливо за 00 кроків) можна отримати розміщення камінців без порожніх коробок. Знайдіть усі початкові розміщення камінців, які не є гарними, а при додаванні ще одного камінця до довільної коробки стають гарними.
10–11 класиНапівінваріанти
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2014-006

Функціональне рівняння з квадратом і добутком

Знайдіть усі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють співвідношення f(y2+2xf(y)+f2(x))=(y+f(x))(x+f(y))f\left(y^2+2xf(y)+f^2(x)\right)=(y+f(x))(x+f(y)) для довільних дійсних чисел xx, yy.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-001

Прямокутність трикутника з рівними відрізками на продовженнях

На продовженні сторони BCBC трикутника ABCABC за точку CC відмітили точку DD так, що CD=BCCD=BC, а на продовженні сторони CACA за точку AA відмітили точку EE так, що AE=2CAAE=2CA. Доведіть, що коли AD=BEAD=BE, то трикутник ABCABC є прямокутним.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-002

Квадрат, розрізаний на п’ять прямокутників зі сторонами 1–10

Знайдіть усі цілі числа mm, для яких квадрат m×mm\times m може бути розрізаний на 5 прямокутників, довжинами сторін яких є числа 1,2,…,101, 2, \ldots, 10, узяті в деякому порядку.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-003

Найменші спільні кратні пар у множині з 6n чисел

Нехай nn — натуральне число. а) Доведіть, що існує множина SS, яка складається з 6n6n попарно різних натуральних чисел, причому найменше спільне кратне довільних двох елементів множини SS не перевищує 32n232n^2. б) Доведіть, що у довільній множині TT, яка складається із 6n6n попарно різних натуральних чисел, знайдуться два елементи, найменше спільне кратне яких буде більшим за 9n29n^2.
10–11 класиНСД та НСК
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2013-004

Три послідовні цілі значення дробу з n⁵

Знайдіть усі натуральні числа aa і bb, для яких існує три послідовні цілі числа, при яких значення многочлена P(n)=n5+abP(n)=\frac{n^5+a}{b} є цілими.
10–11 класиМіркування за модулем

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.