Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

24 задачі
Європейський математичний кубок
Європейський математичний кубокEMC-2024-001

Найменше 2024-цифрове число в грі зі стиранням цифри

Катерина написала на дошці натуральне число з 20242024 цифр. У кожному раунді гри вона стирає останню цифру цілого числа, наприклад, ця цифра буде dd, і записує суму числа, що залишилося, та 2d2d замість старого числа. Вона повторює ті самі дії з новоотриманим числом. Після певної кількості раундів Катерина виявила, що нове отримане число збігається із числом в останньому раунді, і вона припинила гру. З якого найменшого можливого 20242024-цифрового натурального числа Катерина почала цю гру?
7–10 класиМала теорема Ферма
Європейський математичний кубокEMC-2024-002

Максимум суми мінімумів і мінімум суми максимумів

Нехай XX — найбільше можливе значення виразу min⁡{bc,2−a2}+min⁡{ac,2−b2}+min⁡{ab,2−c2},\min\{bc, 2-a^2\} + \min\{ac, 2-b^2\} + \min\{ab, 2-c^2\}, де aa, bb та cc — довільні додатні дійсні числа. Аналогічно, нехай YY — найменше можливе значення виразу max⁡{2−bc,a2}+max⁡{2−ac,b2}+max⁡{2−ab,c2},\max\{2-bc, a^2\} + \max\{2-ac, b^2\} + \max\{2-ab, c^2\}, де aa, bb та cc — довільні додатні дійсні числа. Доведіть, що X=YX = Y.
7–10 класиНерівність Коші
Європейський математичний кубокEMC-2024-003

Рівність кутів при дотичній до вписаного кола

У трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола ω\omega. Пряма ll дотикається до кола ω\omega і паралельна прямій BC≠lBC \neq l. Точка D=l∩ACD = l \cap AC, точка MM — середина відрізка IDID. Доведіть, що ∠AMD=∠DBC\angle AMD = \angle DBC.
7–10 класиЛанцюжок подібних трикутників
Європейський математичний кубокEMC-2024-004

Підмножини з умовою CA ∪ B та входження чисел

Нехай FF — сукупність попарно різних підмножин множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} таких, що для довільних множин A,B∈FA, B \in F ми маємо CA∪B∈FCA \cup B \in F, де CA={1,2,…,n}∖ACA = \{1, 2, \ldots, n\} \setminus A. Доведіть, що кожне значення k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \ldots, n\} є елементом принаймні половини множин сукупності FF.
7–10 класиБієкції
Європейський математичний кубокEMC-2024-005

Максимальна кількість двійкових пар серед n чисел

Ми називаємо пару різних чисел (a,b)(a, b) двійковою парою, якщо ab+1ab + 1 є степенем двійки. Яка максимальна можлива кількість двійкових пар у множині SS, що містить nn попарно різних натуральних чисел?
10–11 класиДерева
Європейський математичний кубокEMC-2024-006

Магічні кругові інтервали та непарна кількість відмічених чисел

Нехай nn — натуральне число. Числа 1,2,…,2n+11, 2, \ldots, 2n+1 розташовані по колу в указаному порядку, і деякі з них відмічені. Ми визначаємо для кожного k∈{1,2,…,2n+1}k \in \{1, 2, \ldots, 2n+1\} замкнений круговий інтервал IkI_k, що починається числом kk і закінчується числом k+nk+n, де додавання відбувається за модулем 2n+12n+1. Ми називаємо інтервал IkI_k магічним, якщо він містить строго більше половини всіх відмічених елементів. Доведіть, що наступні два твердження еквівалентні: - принаймні n+1n+1 з інтервалів I1,I2,…,I2n+1I_1, I_2, \ldots, I_{2n+1} є магічними; - кількість відмічених чисел непарна.
10–11 класиПарність і непарність
Європейський математичний кубокEMC-2024-007

Півколо, паралелограм і середина відрізка PQ

Нехай ω\omega — півколо з діаметром ABAB і точка MM — середина відрізка ABAB. Нехай XX та YY — точки в тій самій півплощині, що й ω\omega відносно прямої ABAB, так що AMXYAMXY — паралелограм. Нехай II — центр вписаного кола трикутника MXYMXY. Прямі MXMX та MYMY перетинають півколо ω\omega у точках CC та DD відповідно. Нехай T=AC∩BDT = AC \cap BD, E=MT∩XYE = MT \cap XY, P=EI∩ABP = EI \cap AB, а точка QQ є проєкцією точки EE на пряму ABAB. Доведіть, що точка MM є серединою відрізка PQPQ.
10–11 класиІнверсія
Європейський математичний кубокEMC-2024-008

Функціональне рівняння з виразом x + y f(x)

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty), при яких для всіх додатних чисел x,yx, y справджується рівність: f(x+yf(x))=xf(1+y).f(x + yf(x)) = xf(1+y).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Європейський математичний кубокEMC-2023-001

Сума трьох НСД та НСД чисел b і c

Натуральні числа aa, bb, cc задовольняють умову НСД(a,b)+НСД(a,c)+НСД(b,c)=b+c+2023.\text{НСД}(a, b) + \text{НСД}(a, c) + \text{НСД}(b, c) = b + c + 2023. Доведіть, що НСД(b,c)=2023\text{НСД}(b, c) = 2023.
7–10 класиНСД та НСК
Європейський математичний кубокEMC-2023-002

Видалення точок і сума змін вершин опуклої оболонки

Задано натуральне число n⩾5n \geqslant 5. На площині позначено nn точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Кожного дня Том прибирає одну з точок, допоки не залишиться лише три точки. В ii-день, 1⩽i⩽n−31 \leqslant i \leqslant n-3, перед тим як прибрати чергову точку, Том записує кількість вершин v(i)v(i), які має опукла оболонка всіх точок, що залишилися. В останній день він записує число v(n−2)=3v(n-2)=3. Знайдіть найбільше можливе значення виразу: ∣v(1)−v(2)∣+∣v(2)−v(3)∣+…+∣v(n−3)−v(n−2)∣|v(1)-v(2)|+|v(2)-v(3)|+\ldots+|v(n-3)-v(n-2)| серед усіх можливих початкових конфігурацій nn точок на площині та всіх можливих послідовностей ходів Тома. Примітка. Опуклою оболонкою скінченного набору точок на площині називають найменший опуклий многокутник, що містить усі зазначені точки (як усередині, так і на межі).
7–10 класиОпуклі множини
Європейський математичний кубокEMC-2023-003

Перетин прямих NF, DE та GM у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точки MM та NN — це середини відрізків BCBC та ABAB відповідно. Коло, побудоване на відрізку ABAB як на діаметрі, перетинає прямі BCBC, AMAM та ACAC у точках DD, EE та FF відповідно. Точка GG є серединою відрізка FCFC. Доведіть, що прямі NFNF, DEDE та GMGM перетинаються в одній точці.
7–10 класиРадикальна вісь
Європейський математичний кубокEMC-2023-004

Найменша зважена сума приємного набору

Набір із 20232023 невід’ємних цілих чисел (a1,a2,…,a2023)(a_1, a_2, \ldots, a_{2023}) назвемо приємним, якщо виконуються такі дві умови: - a1+a2+…+a2023=2023a_1 + a_2 + \ldots + a_{2023} = 2023; - a121+a222+…+a202322023⩽1\frac{a_1}{2^1} + \frac{a_2}{2^2} + \ldots + \frac{a_{2023}}{2^{2023}} \leqslant 1. Знайдіть найбільше натуральне число LL, для якого нерівність a1+2a2+…+2023a2023⩾La_1 + 2a_2 + \ldots + 2023a_{2023} \geqslant L справджується для всіх приємних наборів (a1,a2,…,a2023)(a_1, a_2, \ldots, a_{2023}).
7–10 класиМетод Штурма
Європейський математичний кубокEMC-2023-005

Усі множини дійсних чисел з коренем різниці квадратів

Знайдіть усі множини дійсних чисел SS такі, що: - 11 є найменшим елементом множини SS, - для всіх x,y∈Sx, y \in S таких, що x>yx > y, справджується умова x2−y2∈S\sqrt{x^2 - y^2} \in S.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Європейський математичний кубокEMC-2023-006

Прямокутний трикутник і рівні радіуси двох кіл

Дано трикутник ABCABC такий, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Точка MM є серединою відрізка EFEF. Точка PP — це проєкція точки AA на пряму BCBC. Прямі MPMP та ADAD перетинаються в точці KK. Доведіть, що описані кола трикутників AFEAFE та PDKPDK мають рівні радіуси.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейський математичний кубокEMC-2023-007

Найбільша розділена підмножина двійкових послідовностей

Дано натуральне число nn. Нехай BnB_n — це множина всіх двійкових послідовностей завдовжки nn. Для двійкової послідовності s1s2…sns_1s_2\ldots s_n визначимо її зміну таким чином. Спершу порахуємо, зі скількох блоків послідовних однакових цифр складається ця послідовність. Позначимо цю кількість як bb. Тоді замінимо член послідовності sbs_b на число 1−sb1-s_b. Послідовність (a)(a) назвемо нащадком послідовності (b)(b), якщо aa можна отримати з підмножини bb за допомогою скінченної кількості змін. Підмножину множини BnB_n назвемо розділеною, якщо жодні два елементи цієї підмножини не мають спільного нащадка. Знайдіть найбільшу кількість елементів, яку може мати розділена підмножина множини BnB_n.
10–11 класиЗв’язність
Європейський математичний кубокEMC-2023-008

Ін'єктивність функції з умовою про повні квадрати

Нехай функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} така, що для всіх натуральних чисел xx та yy число f(x)+yf(x) + y є повним квадратом тоді й тільки тоді, коли число x+f(y)x + f(y) є повним квадратом. Доведіть, що ff — ін’єктивна функція. Примітка. Функцію f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} називають ін’єктивною, якщо для всіх пар (x,y)(x, y) різних натуральних чисел справджується умова f(x)≠f(y)f(x) \neq f(y).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Європейський математичний кубокEMC-2020-001

Середини сторін трикутника і точки F, G, H

Нехай трикутник ABCABC — гострокутний, точки DD і EE — середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Точку FF вибирають таким чином, що точка DD є серединою відрізка EFEF. Коло Γ\Gamma — описане навколо трикутника FDBFDB. Нехай GG — така точка відрізка CDCD, що середина відрізка BGBG лежить на колі Γ\Gamma. Позначимо літерою HH другу точку перетину кола Γ\Gamma з прямою FCFC. Доведіть, що точки BB, HH, GG, CC лежать на одному колі.
7–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейський математичний кубокEMC-2020-002

Цікаві числа та дільники з умовою суми

Натуральне число k⩾3k \geqslant 3 називають цікавим, якщо існує натуральне число nn та натуральні числа d1<d2<…<dkd_1 < d_2 < \ldots < d_k, що задовольняють такі властивості: - dj+2=dj+1+djd_{j+2} = d_{j+1} + d_j для кожного j=1,k−2‾j = \overline{1, k-2}; - d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k — дільники числа nn; - усі інші дільники числа nn або менші від d1d_1, або більші за dkd_k. Знайдіть усі цікаві числа.
7–10 класиДільники та кратні (базові власти…
Європейський математичний кубокEMC-2020-003

Покриття дошки n × n фігурками F і Z

Дано фігурки двох типів — FF і ZZ, що зображені на рис. 9.1. Знайдіть усі такі натуральні nn, щоб дошку розміром n×nn \times n, яка складається з n2n^2 одиничних квадратиків, можна було покрити без накладань одна на одну та без виходу за межі дошки цих фігурок, які дозволено повертати та перегортати.
7–10 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Європейський математичний кубокEMC-2020-004

Додатні числа з умовою та нерівність з коренями

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, що задовольняють умову ab+bc+ca=a+b+cab + bc + ca = a + b + c. Доведіть, що справджується нерівність a+bc+b+ca+c+ab⩽2⋅min⁡{ab+bc+ca,ba+cb+ac}.\sqrt{a+\frac{b}{c}}+\sqrt{b+\frac{c}{a}}+\sqrt{c+\frac{a}{b}} \leqslant \sqrt{2} \cdot \min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}, \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right\}.
7–10 класиНерівність Коші
Європейський математичний кубокEMC-2020-005

Паралелограм, коло і перетин прямих AT та BO

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому AB>BCAB > BC. Позначимо літерою OO точку на прямій CDCD, для якої OB=ODOB = OD. Нехай дано коло ww із центром у точці OO та радіусом OCOC. Нехай TT — це друга точка перетину кола ww та прямої CDCD. Доведіть, що точка перетину прямих ATAT і BOBO лежить на колі ww.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Європейський математичний кубокEMC-2020-006

Пари n і k з різними k-мутаціями перестановок

Нехай nn та kk — натуральні числа. Кортеж (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) називають перестановкою, якщо кожне число з множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} трапляється в ньому рівно один раз. Для перестановки (p1,p2,…,pn)(p_1, p_2, \ldots, p_n) назвемо kk-мутацією такий кортеж (p1+p1+k,p2+p2+k,…,pn+pn+k),(p_1 + p_{1+k}, p_2 + p_{2+k}, \ldots, p_n + p_{n+k}), де індекси пораховано за модулем nn. Знайдіть усі такі пари чисел (n,k)(n, k), для яких кожні дві різні перестановки мають різні kk-мутації. Примітка. Наприклад, якщо (n,k)=(4,2)(n, k) = (4, 2), то 22-мутацією перестановки (1,2,4,3)(1, 2, 4, 3) є кортеж (1+4,2+3,4+1,3+2)=(5,5,5,5)(1 + 4, 2 + 3, 4 + 1, 3 + 2) = (5, 5, 5, 5).
10–11 класиПарність і непарність
Європейський математичний кубокEMC-2020-007

Гра з додаванням і множенням до кратності простому числу

Нехай pp — просте число. Трой та Абед грають у таку гру. Трой записує натуральне число XX на дошці та задає для Абеда послідовність натуральних чисел (an)(a_n). Після цього Абед робить послідовність ходів, nn-й хід є таким: записане на дошці число YY замінив на число Y+anY + a_n або на число Y⋅anY \cdot a_n. Абед перемагає, якщо в певний момент число, що записане на дошці, кратне pp. Визначте, чи може Абед виграти незалежно від вибору Троя, якщо: а) p=109+7p = 10^9 + 7; б) p=109+9p = 10^9 + 9. Примітка. Обидва числа p=109+7p = 10^9 + 7 та p=109+9p = 10^9 + 9 є простими.
10–11 класиРозв’язування конгруенцій ax ≡ b…
Європейський математичний кубокEMC-2020-008

Рівняння з f(x + y) і f(x f(y) + 1)

Позначимо множину як R+=(0,+∞)\mathbb{R}^+ = (0, +\infty). Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ такі, що для довільних x,y∈R+x, y \in \mathbb{R}^+ справджується рівність xf(x+y)+f(xf(y)+1)=f(xf(x)).xf(x + y) + f(xf(y) + 1) = f(xf(x)).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.