Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

290 задач
Французька математична олімпіада
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-027

Сторони трикутника з умовами подільності

Знайдіть усі натуральні числа a,ba, b і cc такі, що НСД(a,b,c)=1\text{НСД}(a, b, c)=1, a∣(b−c)2,b∣(a−c)2,c∣(a−b)2a\mid (b-c)^2, \quad b\mid (a-c)^2, \quad c \mid (a-b)^2 і такі, що існує невироджений трикутник зі сторонами aa, bb і cc.
10–11 класиНСД та НСК
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-029

Перетинні підмножини скінченної множини

Нехай A1,A2,…,AmA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m} — різні підмножини множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} такі, що для всіх 1⩽i,j⩽m1 \leqslant i, j \leqslant m виконується Ai∩Aj≠∅A_{i} \cap A_{j} \neq \emptyset. Доведіть, що m⩽2n−1m \leqslant 2^{n-1}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-063

Вписаний чотирикутник із бісектриси кута

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з прямим кутом CC. Нехай DD — основа висоти, проведеної з CC, а ZZ — точка на відрізку [AB][AB] така, що AC=AZAC = AZ. Бісектриса кута BAC^\widehat{BAC} перетинає прямі (CB)(CB) і (CZ)(CZ) у точках XX і YY відповідно. Доведіть, що чотири точки BB, XX, YY, DD лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-048

Многочлени з попарними сумами без коренів

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3, для яких існують nn многочленів P1,…,PnP_{1}, \ldots, P_{n} з дійсними коефіцієнтами таких, що для всіх попарно різних i,j,ki, j, k: Pi+PjP_{i}+P_{j} не має жодного дійсного кореня, а Pi+Pj+PkP_{i}+P_{j}+P_{k} має принаймні один дійсний корінь.
9–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-049

Підрахунок латинських квадратів

Скільки таблиць 3×33 \times 3 можна побудувати, заповнивши їх числами від 1 до 3 так, щоб у жодному рядку й у жодному стовпці не було двічі того самого числа? А таблиць 4×44 \times 4 з числами від 1 до 4?
9–11 класиПравила суму та добутку
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-044

Нерівність для додатних чисел з умовою на суму та добуток

Нехай aa, bb і cc — три додатні числа такі, що a+b+c+abc=4a + b + c + abc = 4. Доведіть, що (1+ab+ca)(1+bc+ab)(1+ca+bc)⩾27\left(1 + \frac{a}{b} + ca\right)\left(1 + \frac{b}{c} + ab\right)\left(1 + \frac{c}{a} + bc\right) \geqslant 27
9–11 класиНерівність Коші
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-070

Вписані чотирикутники за висотами трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Висоти [AA1][AA_{1}], [BB1][BB_{1}] і [CC1][CC_{1}] перетинаються в точці HH. Нехай A2A_{2} — точка, симетрична точці AA відносно [B1C1][B_{1}C_{1}], а OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. a) Доведіть, що точки O,A2,B1,CO, A_{2}, B_{1}, C лежать на одному колі. b) Доведіть, що точки O,H,A1,A2O, H, A_{1}, A_{2} лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-045

Симпатичні числа для симетричних виразів

Натуральне число dd називається симпатичним, якщо для будь-якої пари цілих чисел (x,y)(x, y), d∣(x+y)5−x5−y5⟺d∣(x+y)7−x7−y7d\left|(x+y)^{5}-x^{5}-y^{5} \Longleftrightarrow d\right|(x+y)^{7}-x^{7}-y^{7} Доведіть, що існує нескінченно багато симпатичних чисел. Чи є числа 2017, 2018 симпатичними?
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-046

Паралельні прямі при дотику кіл

Два кола C\mathcal{C} і C′\mathcal{C}^{\prime} з центрами OO і O′O^{\prime} дотикаються зовні в точці BB. Спільна зовнішня дотична дотикається до кола C\mathcal{C} в точці MM, а до кола C′\mathcal{C}^{\prime} — в точці NN. Спільна дотична до кіл C\mathcal{C} і C′\mathcal{C}^{\prime} в точці BB перетинає (MN)(M N) в точці AA. Позначимо через CC перетин прямих (OA)(O A) і (BM)(B M), а через DD — перетин прямих (O′A)\left(O^{\prime} A\right) і (BN)(B N). Доведіть, що пряма (CD)(C D) паралельна прямій (MN)(M N).
9–11 класиДотична кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-071

Стала згортка додатних послідовностей

Нехай a0,a1,…,a99,b0,b1,…,b99a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{99}, b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{99} — додатні дійсні числа. Для k=0,1,…,198k=0,1, \ldots, 198 покладемо Sk=∑i=0198aibk−iS_{k} = \sum_{i=0}^{198} a_{i} b_{k-i}, де aj=0a_{j} = 0 і bj=0b_{j} = 0, якщо j<0j < 0 або j>99j > 99. Чи можливо, щоб числа S0,S1,…,S198S_{0}, S_{1}, \ldots, S_{198} були всі рівні?
9–11 класиЧислові нерівності
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-050

НСД виразів зі степенями двійки

Нехай m,nm, n — натуральні числа такі, що НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1, де a∧ba \wedge b позначає найбільший спільний дільник чисел aa і bb. Яких значень може набувати (2m−2n∧2m2+mn+n2−1)?\left(2^{m}-2^{n} \wedge 2^{m^{2}+m n+n^{2}}-1\right) ?
9–11 класиНСД та НСК
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-053

Послідовність Ленгфорда для числа 50

Чи можна розташувати числа 1,1,2,2,…,50,501,1,2,2, \ldots, 50,50 так, щоб для будь-якого 1⩽k⩽501 \leqslant k \leqslant 50 між двома числами kk було рівно kk елементів?
9–11 класиМіркування за модулем
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-054

Функціональне рівняння з квадратами значень

a) Визначте всі функції f:R⟶Zf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{Z} такі, що f(f(y)−x)2+f(x)2+f(y)2=f(y)(1+2f(f(y)))f(f(y)-x)^{2}+f(x)^{2}+f(y)^{2}=f(y)(1+2 f(f(y))) для всіх дійсних xx і yy. b) Визначте всі функції f:R⟶Rf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} такі, що f(f(y)−x)2+f(x)2+f(y)2=f(y)(1+2f(f(y)))f(f(y)-x)^{2}+f(x)^{2}+f(y)^{2}=f(y)(1+2 f(f(y))) для всіх дійсних xx і yy.
9–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-052

Паралельність із дотичною до описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, усі три кути якого гострі, а Γ\Gamma — його описане коло. Дотична до кола Γ\Gamma в точці AA перетинає пряму (BC)(BC) в точці PP. Позначимо через MM середину відрізка [AP][AP]. Пряма (BM)(BM) вдруге перетинає Γ\Gamma в точці RR, а пряма (PR)(PR) вдруге перетинає Γ\Gamma в точці SS. Доведіть, що прямі (AP)(AP) і (CS)(CS) паралельні.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-002

Періодичність кусково-заданої послідовності

Нехай a∈[0;1]a \in [0 ; 1]. Визначимо послідовність (xn)\left(x_{n}\right) як x0=ax_{0} = a та xn+1=1−∣1−2xn∣x_{n+1} = 1 - \left|1 - 2 x_{n}\right|, для всіх n≥0n \geq 0. Доведіть, що послідовність (xn)\left(x_{n}\right) є періодичною, починаючи з деякого моменту, тоді й лише тоді, коли aa є раціональним числом. (Примітка: кажуть, що (xn)\left(x_{n}\right) є періодичною, починаючи з деякого моменту, якщо існують цілі числа T>0T > 0 та n⩾0n \geqslant 0 такі, що xk+T=xkx_{k+T} = x_{k} для всіх k⩾nk \geqslant n.)
9–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-058

Нерівність для сум через добутки впорядкованих чисел

a) Нехай x1⩾x2>0x_{1} \geqslant x_{2}>0 і y1⩾y2>0y_{1} \geqslant y_{2}>0 — дійсні числа такі, що x1⩾y1 і x1x2⩾y1y2x_{1} \geqslant y_{1} \text{ і } x_{1} x_{2} \geqslant y_{1} y_{2} Доведіть, що x1+x2⩾y1+y2x_{1}+x_{2} \geqslant y_{1}+y_{2} b) Нехай x1⩾x2⩾…⩾xn>0x_{1} \geqslant x_{2} \geqslant \ldots \geqslant x_{n}>0 і y1⩾y2⩾…⩾yn>0y_{1} \geqslant y_{2} \geqslant \ldots \geqslant y_{n}>0 — дійсні числа такі, що x1x2⋯xi⩾y1y2⋯yi для i=1,…,nx_{1} x_{2} \cdots x_{i} \geqslant y_{1} y_{2} \cdots y_{i} \text{ для } i=1, \ldots, n Доведіть, що x1+x2+⋯+xn⩾y1+y2+⋯+ynx_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geqslant y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}
9–11 класиІнші класичні нерівності2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-055

Сума двох квадратів дорівнює степеню зі сталою

Знайдіть усі трійки невід'ємних цілих чисел (x,y,z)(x, y, z) такі, що: x2+y2=3⋅2016z+77.x^{2}+y^{2}=3 \cdot 2016^{z}+77.
9–11 класиМіркування за модулем
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-064

Степені двійки з багатьма дев'ятками в кінці

Доведіть, що існує ціле число n>0n>0 таке, що серед 2016 правих цифр у десятковому записі числа 2n2^{n} є принаймні 1008 цифр 9.
9–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-056

Циклічність точок у трикутнику з інцентром

Нехай ABCABC — трикутник, а (I)(I) — центр його вписаного кола. Пряма (AI)(AI) перетинає [BC][BC] у точці DD. Серединний перпендикуляр до [AD][AD] перетинає (BI)(BI) у точці MM та (CI)(CI) у точці NN. Доведіть, що AA, MM, NN і II лежать на одному колі.
9–11 класиТеорема про тризуб
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-072

Розбиття з рівними сумами з вилученням елементів

1) П'єр розподіляє цілі числа 1,2,…,20121,2, \ldots, 2012 на дві неперетинні групи, суми елементів яких рівні. Клара, навіть не дивлячись на розподіл, який обрав П'єр, стверджує, що можна вилучити по два числа з кожної групи так, щоб у кожній групі суми елементів, що залишилися, були рівними. Доведіть, що Клара має рацію. 2) П'єр розподіляє цілі числа 1,2,…,201,2, \ldots, 20 на дві неперетинні групи, суми елементів яких рівні. Клара, навіть не дивлячись на розподіл, який обрав П'єр, стверджує, що можна вилучити по два числа з кожної групи так, щоб у кожній групі суми елементів, що залишилися, були рівними. Доведіть, що цього разу Кларі, мабуть, краще було б подивитися, перш ніж говорити.
9–11 класиРозбиття на випадки
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-059

Функції зі сталою подвійною композицією

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число, а XX — множина з nn елементів. Доведіть, що кількість функцій f:X→Xf: X \rightarrow X, для яких f∘ff \circ f є сталою функцією, дорівнює n∑i=1n−1(n−1i)in−i−1n \sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-1}{i} i^{n-i-1}
9–11 класиКомбінації
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-057

Чотирикутник з перпендикулярними діагоналями

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні й перетинаються в точці EE. Нехай P∈[AD]P \in [AD] — точка така, що P≠AP \neq A і PE=ECPE = EC. Припустимо, що описане коло трикутника BCDBCD повторно перетинає [AD][AD] в точці QQ, відмінній від AA. Позначимо через RR другу точку перетину [AC][AC] з колом, яке проходить через AA і дотикається до (EP)(EP) в точці PP. Припустимо, що точки B,R,QB, R, Q лежать на одній прямій. Доведіть, що BCD^=90∘\widehat{BCD} = 90^{\circ}.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-004

Конкурентність прямих через центри описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник, ортоцентр HH якого відмінний від вершин, а також від центра OO описаного кола. Позначимо через M,N,PM, N, P центри описаних кіл трикутників HBCHBC, HCAHCA і HABHAB. Доведіть, що прямі (AM)(AM), (BN)(BN), (CP)(CP) і (OH)(OH) перетинаються в одній точці.
8–10 класиТочка перетину висот
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-005

Монічний цілочисловий многочлен, кратний степеню простого числа

Нехай pp — просте число, mm — натуральне число. Знайдіть найменше ціле число dd таке, що існує монічний многочлен QQ степеня dd з цілими коефіцієнтами такий, що для кожного цілого числа nn виконується pm∣Q(n)p^{m} \mid Q(n).
8–10 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-060

Послідовні дні із заданою сумою

Виробник іграшок виготовляє щонайменше одну іграшку на день. Він не здатний виготовити більше ніж 725 іграшок за рік. Для будь-якого n∈Nn \in \mathbb{N} доведіть, що існують послідовні дні, за які він виготовив рівно nn іграшок.
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.