Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

290 задач
Французька математична олімпіада
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-040

Добуток кубічних виразів дорівнює степеню двійки

Знайдіть усі натуральні числа a,ba, b і cc такі, що (a3+b)(b3+a)=2c(a^{3}+b)(b^{3}+a)=2^{c}.
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-006

Рівність відрізків від середини сторони

Нехай ABCABC — трикутник, усі три кути якого гострі. Нехай D∈[BC]D \in [BC] — така точка, що BAC^=ADB^\widehat{BAC} = \widehat{ADB}. Нехай HH — основа висоти, проведеної з вершини BB у трикутнику ABCABC. Перпендикуляр до (BC)(BC), що проходить через HH, перетинає (AD)(AD) у точці KK. Припустимо, що KK лежить усередині трикутника ABCABC. Нехай MM — середина відрізка [AC][AC]. Доведіть, що MH=MKMH = MK.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-008

Зведені многочлени з обмеженою супремум-нормою

Многочлен називається «зведеним», якщо коефіцієнт при його одночлені найвищого степеня дорівнює 11. Нехай a<ba < b — дійсні числа, і нехай PP — несталий зведений многочлен такий, що max⁡x∈[a,b]∣P(x)∣<2\max_{x \in [a, b]} |P(x)| < 2. Доведіть, що існує несталий зведений многочлен QQ такий, що max⁡x∈[a,b]∣Q(x)∣<12017\max_{x \in [a, b]} |Q(x)| < \frac{1}{2017}.
8–10 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-007

Куб кількості дільників дорівнює чотириразовому числу

Нехай n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, позначимо через d(n)d(n) кількість його дільників. Знайдіть усі натуральні числа, для яких d(n)3=4nd(n)^{3}=4 n?
8–10 класиКількість дільників τ(n)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-009

Розрізнені вибірки з рівнопотужних множин

Нехай A1,A2,…,An,B1,B2,…,BnA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n} — множини з kk елементів. Доведіть, що якщо n<2k−1n < 2^{k-1}, то існують елементи a1,a2,…,an,b1,b2,…,bna_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n} такі, що: ai∈Ai, bj∈Bj, ai≠bja_{i} \in A_{i},\ b_{j} \in B_{j},\ a_{i} \neq b_{j} для всіх 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n.
8–10 класиПравила суму та добутку
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-012

Лінійна форма від ірраціональностей з малими коефіцієнтами

a) Доведіть, що існують цілі числа aa, bb, cc такі, що (a,b,c)≠(0,0,0)(a, b, c) \neq (0,0,0) і ∣a∣,∣b∣,∣c∣<106|a|,|b|,|c|<10^{6}, для яких ∣a+b2+c3∣<10−11|a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}|<10^{-11} b) Нехай aa, bb, cc — цілі числа такі, що (a,b,c)≠(0,0,0)(a, b, c) \neq (0,0,0) і ∣a∣,∣b∣,∣c∣<106|a|,|b|,|c|<10^{6}. Доведіть, що ∣a+b2+c3∣>10−21|a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}|>10^{-21}
8–10 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-013

Підмножина без попарних сум у множині

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що в множині AA з 2n2^{n} додатних чисел можна вибрати підмножину BB розміру n+1n+1 таку, що сума двох різних чисел із BB ніколи не належить AA.
8–10 класиЖадібний алгоритм
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-010

Дотик описаних кіл у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло. Позначимо через Δ1\Delta_{1} пряму, паралельну (BC)(BC), що проходить через AA, а через Δ2\Delta_{2} — пряму, паралельну (AD)(AD), що проходить через BB. Позначимо через EE точку перетину прямої Δ1\Delta_{1} з (CD)(CD), а через FF — точку перетину прямої Δ2\Delta_{2} з (CD)(CD). Пряма, перпендикулярна до Δ1\Delta_{1}, що проходить через AA, перетинає (BC)(BC) у точці PP, а пряма, перпендикулярна до Δ2\Delta_{2}, що проходить через BB, перетинає (AD)(AD) у точці QQ. Позначимо через Γ1\Gamma_{1} описане коло трикутника ADEADE, а через Γ2\Gamma_{2} — описане коло трикутника BFCBFC. Доведіть, що кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикаються тоді й лише тоді, коли (DP)(DP) і (CQ)(CQ) перпендикулярні.
8–10 класиКола, що дотикаються
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-011

Подільність фермаподібних чисел

Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел nn таких, що 22n+1+12^{2^{n}+1}+1 ділиться на nn, але 2n+12^{n}+1 не ділиться.
8–10 класиМетод факторизації (розкладання н…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-014

Обнулення дошки суміжними операціями

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число. Розміщено n2n^{2} цілих чисел 1,2,…,n21,2, \ldots, n^{2} у n2n^{2} клітинках дошки n×nn \times n так: перший рядок містить числа 1,2,…,n1,2, \ldots, n (зліва направо), другий рядок містить числа n+1,n+2,…,2nn+1, n+2, \ldots, 2 n і так далі. На кожному кроці можна вибрати дві клітинки зі спільною стороною та додати до обох чисел у цих двох клітинках одне й те саме ціле число або відняти його від них. Знайдіть усі значення nn, для яких можна отримати конфігурацію, в якій лише нулі, а в цьому випадку знайдіть мінімальну кількість кроків, необхідних для її отримання.
8–10 класиПарність і непарність
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-015

Перемикання кратних у нескінченному списку клітинок

Маємо нескінченний список клітинок, клітинки пронумеровано числами 1,2,…1,2, \ldots. Спочатку всі клітинки містять число 11. На кожному кроці вибираємо число a∈N∗a \in \mathbb{N}^* таке, що: - або всі клітинки, номери яких кратні числу aa, містять 11, і в цьому разі замінюємо ці 11 на 00, - або всі клітинки, номери яких кратні числу aa, містять 00, і в цьому разі замінюємо ці 00 на 11. Доведіть, що для будь-якого n⩾2n \geqslant 2 можна домогтися того, щоб усі клітинки з номером не більшим за nn містили 00, крім першої клітинки, яка містить 11.
8–10 класиФормула включення-виключення
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-010

Нерівність із коренями з факторіалів

Доведіть, що для довільного цілого n≥2n \geq 2 маємо: ∑k=2n1(2k)!k≥n−12n+2\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{\sqrt[k]{(2 k)!}} \geq \frac{n-1}{2 n+2} Зауваження. Якщо a>0a>0, то через ak\sqrt[k]{a} позначаємо єдине дійсне число b>0b>0 таке, що bk=ab^{k}=a.
9–11 класиЧислові нерівності
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-002

Вибір пар з малим об'єднанням

Нехай n≥5n \geq 5 — натуральне число, а E1,E2,…,E2n−1E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{2 n-1} — різні двоелементні підмножини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Доведіть, що серед 2n−12 n-1 підмножин EiE_{i} можна вибрати nn так, щоб об'єднання цих nn підмножин містило не більше ніж 23n+1\frac{2}{3} n+1 елементів.
9–11 класиПідрахунок двома способами
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-009

Дотична з проєкції на півколі

Нехай ABCABC — непрямокутний трикутник такий, що AB<ACAB < AC. Позначимо через HH проєкцію AA на пряму (BC)(BC), а через E,FE, F — проєкції HH на прямі (AB)(AB) і (AC)(AC) відповідно. Пряма (EF)(EF) перетинає (BC)(BC) у точці DD. Дано півколо з діаметром [CD][CD], розташоване в тій самій півплощині відносно прямої (CD)(CD), що й AA. Нехай KK — точка цього півкола, яка проєктується в BB. Доведіть, що пряма (DK)(DK) є дотичною до кола KEFKEF.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-003

Симетрія та дотичні у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через PP точку, симетричну BB відносно прямої (AC)(AC), а через QQ — точку, симетричну CC відносно прямої (AB)(AB). Нехай TT — точка перетину прямої (PQ)(PQ) з дотичною в AA до описаного кола (APQ)(APQ). Доведіть, що точка, симетрична TT відносно AA, належить прямій (BC)(BC).
9–11 класиТеорема Менелая
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-005

Частка степенів як квадрат цілого числа

Знайдіть усі цілі m⩾1m \geqslant 1 і n⩾1n \geqslant 1 такі, що 5m+2n+15m−2n+1\frac{5^{m}+2^{n+1}}{5^{m}-2^{n+1}} є квадратом цілого числа.
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-006

Найменша зв'язна система мостів між островами

Є 7 островів A1,…,A7A_{1}, \ldots, A_{7}. Дозволено будувати мости або між островом AiA_{i} і наступним островом Ai+1A_{i+1} (для i∈{1,2,…,6}i \in \{1,2, \ldots, 6\}), або між островом AiA_{i} і останнім островом A7A_{7} (для i∈{1,2,…,6}i \in \{1,2, \ldots, 6\}). Скількома способами можна виконати ці побудови з найменшою можливою кількістю мостів так, щоб можна було дістатися з будь-якого острова до будь-якого іншого? Приклад для 3 островів замість 7: три можливі побудови з використанням двох мостів такі: 1) міст між A1A_{1} і A2A_{2}, і міст між A1A_{1} і A3A_{3} 2) міст між A1A_{1} і A2A_{2}, і міст між A2A_{2} і A3A_{3} 3) міст між A1A_{1} і A3A_{3}, і міст між A2A_{2} і A3A_{3}.
9–11 класиРекурентний підрахунок
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-004

Степені з рівністю добутків різниць і сум

Знайдіть усі цілі a>0a>0, для яких існують натуральні числа n,s,m1,⋯ ,mn,k1,⋯ ,ksn, s, m_{1}, \cdots, m_{n}, k_{1}, \cdots, k_{s} такі, що (am1−1)⋯(amn−1)=(ak1+1)⋯(aks+1)\left(a^{m_{1}}-1\right) \cdots\left(a^{m_{n}}-1\right)=\left(a^{k_{1}}+1\right) \cdots\left(a^{k_{s}}+1\right)
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-001

Розсадка за круглим столом поруч із друзями

Нехай n≥1n \geq 1 — натуральне число. Група з 2n2n осіб зібралася разом. Кожна з цих осіб має принаймні nn друзів у цій групі (зокрема, якщо AA дружить з BB, то BB дружить з AA, і ніхто не дружить сам із собою). Доведіть, що цих 2n2n осіб можна розсадити навколо круглого столу так, щоб кожен сидів між двома своїми друзями.
9–11 класиШляхи на графах
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-007

Функціональне рівняння на дійсних числах із вкладеним аргументом

Знайдіть усі функції ff з R\mathbb{R} в R\mathbb{R} такі, що для всіх дійсних xx і yy виконується рівність f(x+y)=f(x−y)+f(f(1−xy))f(x+y)=f(x-y)+f(f(1-x y))
9–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-008

Перпендикулярність з інцентром і діаметром описаного кола

Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Нехай DD — точка, діаметрально протилежна AA на описаному колі. Припустимо, що точка EE променя [BA)[BA) і точка FF променя [CA)[CA) задовольняють умову BE=CF=AB+BC+CA2.BE = CF = \frac{AB + BC + CA}{2}. Доведіть, що (EF)⊥(DI)(EF) \perp (DI).
9–11 класиРадикальна вісь
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-001

Пари з невід'ємною сумою в послідовності з нульовою сумою

Нехай a1,a2,…,a2na_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n} — дійсні числа такі, що a1+a2+⋯+a2n=0a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}=0. Доведіть, що існує принаймні 2n−12 n-1 пар (ai,aj)\left(a_{i}, a_{j}\right) з i<ji<j таких, що ai+aj⩾0a_{i}+a_{j} \geqslant 0.
9–11 класиЧислові нерівності
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-025

Мінімальна кількість зайнятих клітин після ходів по діагоналі

Нехай n⩾2n \geqslant 2. На кожну клітину шахової дошки n×nn \times n ставимо по фішці. Хід полягає в тому, щоб перемістити кожну фішку на клітину, яка дотикається до початкової клітини рівно в одному куті (декілька фішок можуть опинитися на одній клітині). Яке найменше ціле число kk таке, що можливо, щоб після деякої кількості ходів лише kk клітин містили принаймні одну фішку?
9–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-030

Геометричне місце перетину на бісектрисі кута

Нехай AA — точка поза колом C\mathscr{C} з центром OO. Точка PP рухається по колу C\mathscr{C}. Нехай MM — точка перетину прямої (AP)(A P) з бісектрисою POA^\widehat{P O A}. Доведіть, що MM рухається по колу, яке треба описати.
9–11 класиОсновна властивість бісектриси
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-046

Зростання дробу при додаванні додатного числа

а) Доведіть, що для всіх додатних дійсних чисел a,b,ka, b, k таких, що a<ba < b, маємо ab<a+kb+k\frac{a}{b} < \frac{a + k}{b + k} б) Доведіть, що 1100+4101+7102+10103+⋯+148149>25\frac{1}{100} + \frac{4}{101} + \frac{7}{102} + \frac{10}{103} + \cdots + \frac{148}{149} > 25
9–11 класиЧислові нерівності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.