Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

466 задач
Підготовка до Французької математичної олімпіади
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-031

Паралельні прямі через вершини трикутника і три центри кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — його описане коло. Нехай ℓB\ell_{B} і ℓC\ell_{C} — дві прямі, паралельні одна одній, що проходять відповідно через точки BB і CC. Позначимо через DD точку перетину, відмінну від BB, між колом ω\omega і прямою ℓB\ell_{B}. Так само позначимо через EE точку перетину, відмінну від CC, між колом ω\omega і прямою ℓC\ell_{C}. Припустимо, що прямі ℓC\ell_{C} і (AD)(AD) перетинаються в точці FF, а прямі ℓB\ell_{B} і (AE)(AE) перетинаються в точці GG. Позначимо далі через O,O1O, O_{1} і O2O_{2} центри відповідно описаних кіл трикутників ABCABC, ADGADG і AEFAEF. Нарешті, позначимо через PP центр описаного кола трикутника OO1O2OO_{1}O_{2}. Доведіть, що пряма (OP)(OP) паралельна обом прямим ℓB\ell_{B} і ℓC\ell_{C}.
8–10 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-018

Чергування воротаря у футболі втрьох

Андреа, Батіст і Каміль грають у футбол втрьох. Один із гравців стоїть на воротах, двоє інших — на полі й намагаються забити. Гравець, який забиває, далі стає воротарем для наступного удару. Протягом дня Андреа був на полі 12 разів, Батіст був 21 раз, а Каміль був на воротах 8 разів. Їхній учитель знає, хто забив 6-й гол. Хто це був?
8–10 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-048

Вкладеність n-додатних функцій

Нехай nn — натуральне число, відмінне від нуля. Кажуть, що функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} є nn-додатною, якщо для всіх дійсних x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} таких, що x1+…+xn=0x_{1}+\ldots+x_{n}=0, виконується f(x1)+…+f(xn)⩾0f\left(x_{1}\right)+\ldots+f\left(x_{n}\right) \geqslant 0. a) Чи кожна 2020-додатна функція обов'язково є 1010-додатною? b) Чи кожна 1010-додатна функція обов'язково є 2020-додатною?
8–10 класиКонструктивна побудова функції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-045

Рівні відрізки AX, AY, AD і дотик кіл

Нехай ABCABC — трикутник з гострими кутами, а DD — основа висоти, проведеної з вершини AA. Нехай XX і YY — дві точки описаного кола трикутника ABCABC такі, що AX=AY=ADAX = AY = AD, і такі, що BB і XX містяться по один бік від прямої (AD)(AD). Нехай EE — точка перетину прямих (BX)(BX) і (CY)(CY). Нарешті, нехай FF — точка перетину, відмінна від EE, прямої (DE)(DE) з описаним колом трикутника EXYEXY. Доведіть, що описані кола трикутників BCFBCF і EXYEXY дотикаються.
9–11 класиІнверсія2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-019

Дільники степеня 10 з добутком, що є квадратом

Вибрано 5 додатних дільників числа 10202010^{2020}. Доведіть, що серед них є два, добуток яких є квадратом.
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-032

Точки на одному колі з перетину висот з описаним колом

Нехай ABCABC — трикутник з гострими кутами. Висота, проведена з AA, вдруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD. Висота, проведена з BB, вдруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці EE. Пряма (ED)(ED) перетинає сторони [AC][AC] і [BC][BC] відповідно в точках PP і QQ. Доведіть, що точки P,Q,BP, Q, B і AA лежать на одному колі.
8–10 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-033

Турнір і місто з не більше ніж однією вихідною дорогою

У країні чудес є nn міст. Кожна пара міст сполучена дорогою з одностороннім рухом, яка виходить з одного з двох міст і приходить до іншого. Щоб розібратися, Аліса запитує Червового короля: у кожному запитанні Аліса вибирає пару міст, а Червовий король каже їй, яке місто є початком дороги, що сполучає ці два міста. Доведіть, що за 5n5 n запитань або менше Аліса може дізнатися, чи існує місто, з якого виходить не більше однієї дороги.
8–10 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-001

Таблиця 8 на n з обмеженням на збіги літер

Мартен хоче заповнити кожну клітинку прямокутної таблиці, яка має 8 рядків і nn стовпців, однією з чотирьох літер {P},{O},{F}\{P\}, \{O\}, \{F\} і MM так, щоб для будь-якої пари різних рядків існував щонайбільше один стовпець, перетини якого з цими двома рядками є клітинками з однаковою літерою. Яке найбільше ціле число nn, для якого це можливо?
8–10 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-020

Перефарбування дошки 8 на 8 смужками 3 на 1

Клітини шахівниці 8×88 \times 8 білі. Хід полягає в обміні кольорів клітин прямокутника 3×13 \times 1 або 1×31 \times 3 (білі клітини стають чорними, а чорні клітини стають білими). Чи можна за скінченну кількість ходів дійти до конфігурації, де всі клітини шахівниці чорні?
8–10 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-037

Дотичні та паралель через перетини кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — коло, що проходить через AA. Припустимо, що Γ\Gamma повторно перетинає відрізки [AB][AB] та [AC][AC] у двох точках, які позначимо відповідно DD та EE, і перетинає відрізок [BC][BC] у двох точках, які позначимо FF та GG, так що FF лежить між BB та GG. Нехай TT — точка перетину дотичної в FF до описаного кола трикутника BDFBDF та дотичної в GG до описаного кола трикутника CEGCEG. Доведіть, що якщо точки AA та TT різні, то прямі (AT)(AT) та (BC)(BC) паралельні.
10–11 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-023

Послідовність НСД з унікальними значеннями

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел, а b0,b1,b2,…b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots — послідовність така, що bn=НСД(an,an+1)b_{n}=\text{НСД}\left(a_{n}, a_{n+1}\right) для всіх цілих n⩾0n \geqslant 0. Чи можливо, що кожне натуральне число дорівнює рівно одному з членів b0,b1,b2,…b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots?
10–11 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-021

Перерозподіл камінців у п'яти купках

У 5 купках міститься відповідно 402402, 403403, 404404, 405405 і 406406 камінців. Дозволена лише така операція: взяти 44 камінці з купки, в якій є принаймні 44 камінці, і покласти по одному в кожну з інших купок. Яка найбільша кількість камінців може опинитися в одній купці?
8–10 класиОстача від ділення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-049

Цілочисельні розв'язки показникового діофантового рівняння

Знайти всі трійки (x,y,z)(x, y, z) невід'ємних цілих чисел, що задовольняють рівняння: 2x+3y=z22^{x} + 3^{y} = z^{2}
8–10 класиМетод факторизації (розкладання н…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-038

Множини цілих чисел, замкнені відносно коренів многочленів

Нехай SS — множина цілих чисел. Будемо казати, що SS красива, якщо вона містить усі цілі числа виду 2a−2b2^{a}-2^{b}, де aa і bb — ненульові натуральні числа. Будемо також казати, що SS сильна, якщо для будь-якого непостійного многочлена P(X)P(X) з коефіцієнтами з SS цілі корені многочлена P(X)P(X) також належать SS. Знайдіть усі множини, які одночасно красиві й сильні.
10–11 класиТеорема Ейлера
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-007

Функціональне рівняння з вкладеними аргументами

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що f(x+f(y))+x=f(f(2x)+y)f(x+f(y))+x=f(f(2 x)+y) для всіх дійсних xx і yy.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-034

Вгадування кольору капелюхів

Злий чаклун замкнув nn математиків. Він має nn кольорів. Чаклун одягає на голову кожного математика капелюх одного з nn кольорів; два капелюхи можуть мати однаковий колір. Кожен математик бачить колір капелюха кожного зі своїх колег, але не бачить свого. Тоді всі математики мають одночасно оголосити колір свого капелюха. Якщо принаймні один з математиків вгадає правильно, усі математики будуть вільні. Звісно, вони можуть домовитися про стратегію до того, як дізнаються кольори капелюхів інших математиків. Запропонуйте стратегію, яка гарантує, що математики будуть звільнені.
8–10 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-002

Покриття гіперкуба за правилом двох сусідів

Нехай kk та nn — натуральні числа, відмінні від нуля, такі, що k⩽2nk \leqslant 2^{n}. Моргана записала у своєму зошиті множину всіх nn-наборів, складених з 0 та 1: їх є 2n2^{n}. Кажуть, що два nn-набори (x1,…,xn)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) та (y1,…,yn)\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) є сусідніми, якщо вони мають n−1n-1 спільних членів, тобто якщо існує єдине ціле число ii таке, що xi≠yix_{i} \neq y_{i}. Потім Моргана вибирає kk з цих nn-наборів і підкреслює їх. Далі вона виконує такі операції: під час кожної операції вона вибирає nn-набір, у якого два сусіди підкреслено, і також підкреслює цей nn-набір. Для яких значень kk Моргана може домогтися того, щоб підкреслити множину всіх nn-наборів?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-039

Функціональне рівняння подільності на натуральних числах

Нехай CC — ненульове натуральне число. Знайдіть усі функції f:N∗→N∗f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*} такі, що для всіх цілих чисел aa і bb із сумою a+b⩾Ca+b \geqslant C число a+f(b)a+f(b) ділить a2+bf(a)a^{2}+b f(a).
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-035

Розфарбування чисел без одноколірної суми-степеня двійки

Розфарбування цілих чисел {1,2,⋯ ,2020}\{1,2, \cdots, 2020\} у синій і червоний кольори називається приємним, якщо не існує двох різних цілих чисел із {1,2,⋯ ,2020}\{1,2, \cdots, 2020\} одного кольору, сума яких є степенем двійки. Скільки існує таких розфарбувань?
8–10 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-022

Циклічність у трикутнику з бісектрисою

Нехай ABCABC — трикутник, не рівнобедрений з вершиною BB. Нехай DD — основа бісектриси кута ABC^\widehat{ABC}. Нехай MM — середина дуги AC^\widehat{AC}, що містить BB, на описаному колі трикутника ABCABC. Описане коло трикутника BDMBDM перетинає відрізок [AB][AB] у точці KK, відмінній від BB. Нехай JJ — точка, симетрична точці AA відносно точки KK. Пряма (DJ)(DJ) перетинає пряму (AM)(AM) у точці OO. Доведіть, що точки JJ, BB, MM і OO лежать на одному колі.
8–10 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-050

Сума квадратів, що ділить квадрат суми мінус один

Знайдіть найменше ціле n⩾2n \geqslant 2, для якого існують додатні цілі числа a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} такі, що a12+…+an2∣(a1+…+an)2−1a_{1}^{2}+\ldots+a_{n}^{2} \mid \left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right)^{2}-1
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-036

Розфарбування кола і паралельні прямі

Нехай nn — натуральне число. Є nn кольорів, і кожна точка кола пофарбована в один із цих кольорів. Доведіть, що існують дві паралельні прямі, які перетинають коло в 4 різних точках одного кольору.
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-008

Рекурентна послідовність і квадрати непарних чисел

Нехай (xn)n∈N\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — дійсна послідовність така, що x0=0x_{0}=0 і x1=1x_{1}=1, а для всіх n⩾0n \geqslant 0 виконується xn+2=3xn+1−2xnx_{n+2}=3 x_{n+1}-2 x_{n}. Покладемо також yn=xn2+2n+2y_{n}=x_{n}^{2}+2^{n+2} для кожного невід'ємного цілого nn. Доведіть, що для кожного цілого n>0n>0 число yny_{n} є квадратом непарного цілого числа.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-009

Перестановка на колі з двома нерухомими точками

Під час свята 2019 осіб сідають навколо круглого столу, розміщуючись рівномірно. Сівши, вони помічають, що на кожному місці лежить картка з іменем і що ніхто не сидить на місці, де вказано його ім'я. Доведіть, що можна повернути стіл так, щоб двоє людей опинилися навпроти свого імені.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-010

Функціональне рівняння f(f(x))+f(f(y))=2y+f(x-y)

Знайдіть усі функції ff з R\mathbb{R} в R\mathbb{R} такі, що для будь-якої пари (x,y)(x, y) дійсних чисел: f(f(x))+f(f(y))=2y+f(x−y)f(f(x))+f(f(y))=2 y+f(x-y)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.