Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

466 задач
Підготовка до Французької математичної олімпіади
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-029

Функціональне рівняння f(x²+x+f(y)) = y+f(x)+f(x)²

Знайдіть усі функції f:R↦Rf: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} такі, що для всіх дійсних чисел xx і yy виконується: f(x2+x+f(y))=y+f(x)+f(x)2f\left(x^{2}+x+f(y)\right)=y+f(x)+f(x)^{2}
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-036

Мінімальна кількість чорних клітинок з умовою на прямокутники

Кожну клітинку дошки розміру 8×88 \times 8 можна пофарбувати в білий або в чорний колір так, щоб кожен прямокутник розміру 2×32 \times 3 або 3×23 \times 2 містив дві чорні клітинки зі спільною стороною. Визначте мінімальну можливу кількість чорних клітинок на дошці.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-011

Взаємно прості пари з умовою подільності

Пару цілих чисел (a,b)(a, b) називають кіпрською, якщо a⩾b⩾2a \geqslant b \geqslant 2, якщо aa і bb — взаємно прості, і якщо a+ba+b ділить ab+baa^{b}+b^{a}. Доведіть, що існує нескінченно багато різних кіпрських пар.
8–10 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-012

Рівні відрізки від перетину медіани

Нехай ABCABC — трикутник, а MM — основа медіани, проведеної з AA. Нехай також ℓb\ell_{\mathrm{b}} — бісектриса кута AMB^\widehat{AMB}, а ℓc\ell_{c} — бісектриса кута AMC^\widehat{AMC}. Нарешті, нехай B′B' — ортогональна проєкція BB на пряму ℓb\ell_{b}, C′C' — ортогональна проєкція CC на пряму ℓc\ell_{c}, а A′A' — точка перетину прямих (AM)(AM) і (B′C′)(B'C'). Доведіть, що A′B′=A′C′A'B' = A'C'.
8–10 класиОзнаки подібності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-013

Замощення сходів мінімальною кількістю квадратів

Нехай nn — невід'ємне ціле число. Сходи розміру nn складаються з маленьких квадратів 1×11 \times 1: 1 квадрат для першої сходинки, 2 квадрати для другої сходинки і так далі, аж до nn квадратів для nйn^{\text{й}} сходинки. Маємо квадратні камені (з цілою стороною) усіх розмірів, щоб побудувати ці сходи, і позначаємо через f(n)f(n) найменшу кількість каменів, яку треба використати для сходів розміру nn. Наприклад, f(2)=3f(2)=3 і f(4)=7f(4)=7, як показано нижче. 1. Знайдіть усі цілі числа n⩾0n \geqslant 0 такі, що f(n)=nf(n)=n. 2. Знайдіть усі цілі числа n⩾0n \geqslant 0 такі, що f(n)=n+1f(n)=n+1.
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-004

Циклічні чотирикутники і дотичні

Нехай ABCABC — трикутник, усі три кути якого гострі, причому AB>ACAB > AC, а Ω\Omega — його описане коло. Позначимо через MM середину відрізка [BC][BC]. Дотичні до кола Ω\Omega в точках BB і CC перетинаються в точці PP, а прямі (AP)(AP) і (BC)(BC) перетинаються в точці SS. Позначимо через DD основу висоти, проведеної з BB в трикутнику ABPABP, а через ω\omega — описане коло трикутника CSDCSD. Нарешті, позначимо через KK другу точку перетину (після CC) кіл ω\omega і Ω\Omega. Доведіть, що CKM^=90∘\widehat{CKM} = 90^{\circ}.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-032

Рівність многочленів із циклічної композиції

Нехай P1,P2,…,P2019P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2019} — несталі многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P1(P2(x))=P2(P3(x))=…=P2019(P1(x))P_{1}\left(P_{2}(x)\right)=P_{2}\left(P_{3}(x)\right)=\ldots=P_{2019}\left(P_{1}(x)\right) для всіх дійсних xx. Доведіть, що P1=P2=…=P2019P_{1}=P_{2}=\ldots=P_{2019}.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-014

Обмеженість і рекурентне співвідношення дають сталу функцію

Нехай f:Z→Rf: \mathbb{Z} \to \mathbb{R} — функція така, що f(n+2)=(f(n+1)+f(n))/2f(n+2) = (f(n+1) + f(n)) / 2 для всіх цілих nn. Припустімо, що ff обмежена, тобто існує дійсне число FF таке, що −F⩽f(n)⩽F-F \leqslant f(n) \leqslant F для всіх nn. Доведіть, що ff — стала функція.
8–10 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-026

Трикутники у колі з обмеженням на периметр

Нехай C\mathcal{C} — коло радіуса 11, а TT — дійсне число. Кажуть, що множина трикутників є TT-мірною, якщо вона задовольняє такі три умови: ▹\triangleright вершини кожного трикутника належать колу C\mathcal{C}; ▹\triangleright трикутники попарно мають неперетинні внутрішності (але два трикутники можуть мати спільну сторону або вершину); ▹\triangleright кожен трикутник має периметр, строго більший за T\mathbf{T}. Знайти всі дійсні T\mathbf{T} такі, що для кожного цілого n⩾1\mathrm{n} \geqslant 1 існує TT-мірна множина, яка містить рівно nn трикутників.
8–10 класиКонструкція за індукцією
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-025

Функції на N зі значенням в x² + y²

Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} такі, що xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x2+y2)x f(y)+y f(x)=(x+y) f\left(x^{2}+y^{2}\right) для всіх натуральних чисел xx і yy. Зауваження: нагадаємо, що N\mathbb{N} позначає множину натуральних чисел, тобто N={0,1,2,…}\mathbb{N}=\{0,1,2, \ldots\}.
8–10 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-035

Сума квадратів перемог дорівнює сумі квадратів поразок

У турнірі, в якому беруть участь nn гравців, пронумерованих від 1 до nn, кожна пара гравців зустрічається рівно один раз. Ця зустріч завершується перемогою одного з двох гравців і поразкою іншого гравця. Позначимо через vkv_{k} кількість перемог гравця kk протягом турніру, а через dkd_{k} — кількість його поразок. Доведіть, що ∑k=1nvk2=∑k=1ndk2\sum_{k=1}^{n} v_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n} d_{k}^{2}.
9–11 класиОрієнтовані графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-022

Рівнобедрений трикутник із проєкцій

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, але не прямокутний. Нехай DD — точка на прямій (BC)(BC) така, що (AD)(AD) перпендикулярна до (AB)(AB), а EE — ортогональна проєкція DD на пряму (AC)(AC). Нехай, нарешті, HH — середина відрізка [BC][BC]. Доведіть, що трикутник AHEAHE — рівнобедрений з вершиною HH.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-023

Максимальна координата за умови нульової суми

Нехай n⩾2n \geqslant 2 і нехай x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} — дійсні числа такі, що x1+x2+⋯+xn=0x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 та x12+x22+⋯+xn2=1x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1. Доведіть, що існує ii таке, що xi⩾1n(n−1)x_{i} \geqslant \frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}.
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-015

Перестановка цілочисельних точок зі збільшенням відстаней

Нехай nn — непарне ціле число, і нехай SS — множина з nn точок площини з цілими координатами. Розглянемо перестановку f:S→Sf: S \rightarrow S, яка задовольняє таку властивість: для будь-якої пари точок AA і BB, що належать SS, відстань між f(A)f(A) і f(B)f(B) більша або дорівнює відстані між AA і BB. Доведіть, що існує точка XX, що належить SS, така, що f(X)=Xf(X)=X.
10–11 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-016

Факторіал як різниця степенів

Нехай uu — натуральне число. Доведіть, що існує лише скінченна кількість трійок невід'ємних цілих чисел (a,b,n)(a, b, n) таких, що n!=ua−ubn! = u^{a} - u^{b}. Зауваження: нагадаємо, що 0!=1!=10! = 1! = 1.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-017

Рівносторонній трикутник і відстані до точки

Нехай A,B,CA, B, C і PP — чотири точки площини такі, що ABCABC є рівностороннім трикутником і AP<BP<CPAP < BP < CP. Припустимо, що лише за довжинами AP,BPAP, BP і CPCP можна однозначно визначити довжину ABAB. Доведіть, що PP належить описаному колу трикутника ABCABC.
10–11 класиПоворот
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-027

Точні квадрати як різниця степенів трійки та п'ятірки

Знайдіть усі трійки (a,b,c)\left(a, b, c\right) натуральних чисел таких, що 3a−5b=c23^{a}-5^{b}=c^{2}
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-018

Сума з функцією Ейлера

Нехай a0,a1,…,ada_{0}, a_{1}, \ldots, a_{d} — цілі числа такі, що НСД(a0,a1)=1\text{НСД}(a_{0}, a_{1})=1. Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 покладемо un=∑k=0dakφ(n+k)u_{n}=\sum_{k=0}^{d} a_{k} \varphi(n+k) Доведіть, що 1 — єдине натуральне число, яке ділить усі цілі числа unu_{n}. Нагадаємо, що φ(n+k)\varphi(n+k) — це кількість натуральних чисел ℓ<n+k\ell<n+k таких, що НСД(ℓ,n+k)=1\text{НСД}(\ell, n+k)=1.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-019

Симетрія і перетин описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник, і нехай EE та FF — дві точки, що належать відповідно прямим (AB)(AB) та (AC)(AC), відмінні від AA, BB та CC. Нехай також Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC, нехай OO — центр кола Ω\Omega, а Γ\Gamma — описане коло трикутника AEFAEF. Нарешті, нехай PP — точка перетину кіл Γ\Gamma і Ω\Omega, відмінна від AA, а QQ — точка, симетрична PP відносно прямої (EF)(EF). Доведіть, що QQ належить прямій (BC)(BC) тоді й лише тоді, коли OO належить колу Γ\Gamma.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-020

Дотик описаних кіл, побудованих за чевіанами

Нехай ABCABC — трикутник, нехай II — центр вписаного в трикутник ABCABC кола. Нехай A′A', B′B' і C′C' — три точки, розташовані відповідно на прямих (AI)(AI), (BI)(BI) і (CI)(CI). Припустімо, що A′A', B′B' і C′C' відмінні від AA, BB, CC і II, і що вони колінеарні. Нарешті, нехай PAP_A — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [BB′][BB'] і [CC′][CC']. Так само нехай PBP_B — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [CC′][CC'] і [AA′][AA'], а PCP_C — точка перетину серединних перпендикулярів до відрізків [AA′][AA'] і [BB′][BB']. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC і PAPBPCP_A P_B P_C дотикаються одне до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-021

Ходи леопарда замкненим маршрутом на дошці

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число. Клара має дошку розміру 3n×3n3 n \times 3 n, подібну до шахівниці. Вона щойно винайшла нову фігуру, леопарда, якого вона може переміщувати так: на одну клітинку вгору, на одну клітинку вправо або на одну клітинку по діагоналі вниз і вліво. Клара поставила свого леопарда на одну з клітин дошки, а потім переміщувала його так, щоб він ніколи не проходив двічі через ту саму клітину, доки він не повернувся на початкову клітину. Яка найбільша можлива кількість ходів, яку Клара могла виконати, діючи таким чином?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-002

Послідовність з рекурсією через модуль різниці

Нехай (an)n⩾0\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} — послідовність дійсних чисел. Припустимо, що an=∣an+1−an+2∣a_{n}=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right| для кожного натурального числа nn. Крім того, a0a_{0} і a1a_{1} додатні та різні. Доведіть, що послідовність (an)n⩾0\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} необмежена.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-030

Дотичні до кіл у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, в якій пряма (AB)(AB) паралельна прямій (CD)(CD). Припустимо, що всередині трапеції є два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} такі, що ω1\omega_{1} дотикається до сторін [DA][DA], [AB][AB] і [BC][BC], а ω2\omega_{2} дотикається до сторін [BC][BC], [CD][CD] і [DA][DA]. Нехай (d1)(d_{1}) — друга дотична (після прямої (AD)(AD)) до кола ω2\omega_{2}, що проходить через AA, а (d2)(d_{2}) — друга дотична (після прямої (BC)(BC)) до кола ω1\omega_{1}, що проходить через CC. Доведіть, що прямі (d1)(d_{1}) і (d2)(d_{2}) паралельні.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-001

Функція на кортежах, залежна від однієї координати

Нехай S={1,…,n}S=\{1, \ldots, n\}, де n⩾3n \geqslant 3 — ціле число, а kk — додатне ціле число. Позначимо через SkS^{k} множину kk-наборів з елементів SS. Нехай f:Sk→Sf: S^{k} \rightarrow S — функція така, що якщо x=(x1,…,xk)∈Skx=\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in S^{k} та y=(y1,…,yk)∈Sky=\left(y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \in S^{k}, причому xi≠yix_{i} \neq y_{i} для всіх 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k, то f(x)≠f(y)f(x) \neq f(y). Доведіть, що існує ℓ\ell, 1⩽ℓ⩽k1 \leqslant \ell \leqslant k, та функція g:S→Sg: S \rightarrow S, для яких при всіх x1,…,xk∈Sx_{1}, \ldots, x_{k} \in S виконується f(x1,…,xk)=g(xℓ)f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=g\left(x_{\ell}\right).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-012

Квадратично-експоненціальне діофантове рівняння

Знайдіть кількість розв’язків рівняння n2m6=180t+2n^{2} m^{6} = 180 t + 2 у натуральних числах nn, mm і tt.
8–10 класиМіркування за модулем

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.