Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

466 задач
Підготовка до Французької математичної олімпіади
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-001

НСД степенів плюс добуток

Нехай nn — непарне натуральне число, а a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} — ненульові натуральні числа. Позначимо через AA добуток чисел aia_{i}, а через dd — їхній найбільший спільний дільник. Доведіть, що НСД(a1n+A,a2n+A,…,ann+A)⩽2dn\text{НСД}\left(a_{1}^{n}+A, a_{2}^{n}+A, \ldots, a_{n}^{n}+A\right) \leqslant 2 d^{n}
8–10 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-029

Рекурентне співвідношення з умовою квадратного кореня

Знайти всі дійсні числа aa такі, що існує нескінченна послідовність додатних дійсних чисел x0,x1,x2,x3,…x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, яка для кожного nn задовольняє рівність xn+2=axn+1−xn.x_{n+2}=\sqrt{a x_{n+1}-x_{n}} .
9–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-023

Факторіал як значення функції Ейлера

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що n!=φ(m)n! = \varphi(m), де φ\varphi — функція Ейлера. (Нагадаємо, що якщо m=p1α1⋯pkαkm = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}} де p1,…,pkp_{1}, \ldots, p_{k} — попарно різні прості числа, то φ(m)=m(1−1p1)⋯(1−1pk)\varphi(m) = m \left(1 - \frac{1}{p_{1}}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_{k}}\right).)
9–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-024

Подвоєння рядків і віднімання у стовпцях до нулів

Розглянемо таблицю розміру 2018×20182018 \times 2018, у кожній клітинці якої міститься відмінне від нуля натуральне число. Ноемі змінює ці числа на свій розсуд, застосовуючи такі операції: ▹\triangleright вибрати рядок, а потім помножити на 2 всі числа, що містяться в цьому рядку; ▹\triangleright вибрати стовпець, а потім відняти 1 від усіх чисел, що містяться в цьому стовпці. Доведіть, що, застосовуючи ці операції, Ноемі може домогтися того, щоб отримати таблицю, у кожній клітинці якої міститься число 0.
9–11 класиКонструкція за індукцією
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-002

Значення параметра, за яких третій рядок міститься в четвертому

Нехай qq — дійсне число. Маргарет написала 10 попарно різних дійсних чисел в одному рядку. Потім вона додає три рядки так: ▹\triangleright у 2-й2^{\text{-й}} рядку вона записує всі числа виду a−ba-b, де aa і bb — два дійсні числа (не обов’язково різні) з 1-й1^{\text{-й}} рядка; ▹\triangleright у 3-й3^{\text{-й}} рядку вона записує всі числа виду qabq a b, де aa і bb — два дійсні числа (не обов’язково різні) з 2-й2^{\text{-й}} рядка; ▹\triangleright у 4-й4^{\text{-й}} рядку вона записує всі числа виду a2+b2−c2−d2a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}, де a,b,ca, b, c і dd — дійсні числа (не обов’язково різні) з 2-й2^{\text{-й}} рядка. Знайти всі дійсні qq такі, що, якими б не були 10 чисел, записаних у 1-й1^{\text{-й}} рядку, кожне число з 3-й3^{\text{-й}} рядка також є у 4-й4^{\text{-й}} рядку.
8–10 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-020

Рівняння p2^q = q2^p у натуральних числах

Знайдіть усі натуральні числа p,qp, q такі, що p2q=q2p.p 2^{q} = q 2^{p}.
9–11 класиОсновна теорема арифметики
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-030

Запити про зв'язність невідомого графа

У країні є 64 міста. Деякі пари міст з'єднані дорогами, але Боб не знає, які саме (дороги не перетинаються, але можуть проходити одна над одною; крім того, дорогами можна рухатися в обох напрямках). Аліса ж досконало знає мережу. Боб може вибрати довільну пару міст і запитати в Аліси, чи з'єднані вони безпосередньо дорогою. Мета Боба — визначити, чи можна дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого (можливо, скориставшись кількома послідовними дорогами). Покажіть, що не існує жодного алгоритму (тобто жодної стратегії залежно від послідовних відповідей Аліси), який дозволив би йому дізнатися це напевно менш ніж за 2016 запитань.
9–11 класиЗв’язність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-026

Подання 2ⁿ у вигляді 7x²+y²

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — натуральне число, доведіть, що існують цілі числа xx і yy такі, що 7x2+y2=2n7 x^{2} + y^{2} = 2^{n}.
9–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-025

Сума підмножини, що ділиться на 1024

Доведіть, що серед 20482048 цілих чисел завжди можна знайти 10241024 таких, сума яких ділиться на 10241024.
9–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-003

Зростання в нескінченному орграфі з перевагою вихідного степеня

Нехай GG — нескінченний орієнтований граф, кожна вершина якого має скінченний степінь. Припустимо, що для кожної вершини ss вхідний степінь вершини ss строго менший за вихідний степінь вершини ss. Нехай vv — вершина графа GG. Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 через VnV_{n} позначимо кількість вершин, яких можна досягти з vv, пройшовши не більше ніж nn ребер, враховуючи саму вершину vv. Яке найменше можливе значення VnV_{n}?
8–10 класиПідрахунок двома способами
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-014

Послідовність, задана рекурентним співвідношенням з цілою частиною

Означимо послідовність (an)n⩾0\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} так: виберемо a0,a1∈N∗a_{0}, a_{1} \in \mathbb{N}^{*}, а для кожного цілого n⩾0n \geqslant 0 покладемо an+2=⌊2anan+1⌋+⌊2an+1an⌋,a_{n+2}=\left\lfloor\frac{2 a_{n}}{a_{n+1}}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2 a_{n+1}}{a_{n}}\right\rfloor, де ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначає найбільше ціле число, яке не перевищує xx. Доведіть, що існує m∈Nm \in \mathbb{N} таке, що am=4a_{m}=4 і am+1∈{3,4}a_{m+1} \in\{3,4\}.
9–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-010

Подільність на квадрат простого в коротких інтервалах

Нехай p⩾5p \geqslant 5 — просте число. Доведіть, що існує таке ціле число nn, що для всіх x∈{n−1,n,n+1}x \in \{n-1, n, n+1\} виконується p2∤xp−1−1p^{2} \nmid x^{p-1}-1 і p∤xp \nmid x.
10–11 класиПервісні корені
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-004

Розфарбування точок з попарно різними відстанями

Патрісія розмістила на площині 2018 точок так, що відстані між будь-якими двома точками попарно різні. Потім вона розфарбовує кожну зі своїх 2018 точок, дбаючи про те, щоб для кожної точки PP точки QQ і RR, розміщені найближче і найдалі від PP, були того самого кольору, що й PP. Скільки кольорів, щонайбільше, могла використати Патрісія?
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-015

Функціональне рівняння з обмеженою зверху функцією

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} такі, що існує дійсне число AA, яке задовольняє A>f(x)A>f(x) для всіх x∈Rx \in \mathbb{R}, і такі, що для всіх дійсних x,yx, y виконується: f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)f(x f(y)) + y f(x) = x f(y) + f(x y)
9–11 класиВластивості монотонності або обме…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-013

Періодичність послідовності, заданої многочленом

Нехай PP — многочлен з раціональними коефіцієнтами степеня не менше 22, а (qn)n∈N\left(q_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} — послідовність раціональних чисел така, що для всякого n⩾0n \geqslant 0 виконується qn=P(qn+1)q_{n} = P\left(q_{n+1}\right). Доведіть, що послідовність qnq_{n} починаючи з деякого місця є періодичною.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-005

Сума розривів підмножин проти суми інтервалів

Множину BB цілих чисел називають інтервалом цілих чисел, якщо існують цілі числа i⩽ji \leqslant j такі, що B={i,i+1,…,j}B=\{i, i+1, \ldots, j\}, і через J\mathcal{J} позначають множину інтервалів цілих чисел. Крім того, якщо A={a1,…,ak}A=\{a_1, \ldots, a_k\} — множина цілих чисел, причому a1<…<aka_1<\ldots<a_k, то покладають f(A)=max⁡1⩽i<k(ai+1−ai) і g(A)=max⁡B⊆A,B∈J∣B∣.f(A)=\max_{1 \leqslant i<k}(a_{i+1}-a_i) \text{ і } g(A)=\max_{B \subseteq A, B \in \mathcal{J}} |B|. Нагадаємо, що позначення ∣B∣|B| означає кількість елементів множини BB. Якщо AA порожня або одноелементна, також покладають f(A)=0f(A)=0. Нарешті, для кожного цілого числа n⩾1n \geqslant 1 визначають F(n)=∑A⊆{1,…,n}f(A) і G(n)=∑A⊆{1,…,n}g(A).F(n)=\sum_{A \subseteq\{1, \ldots, n\}} f(A) \text{ і } G(n)=\sum_{A \subseteq\{1, \ldots, n\}} g(A). Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що F(n)>G(n)F(n)>G(n) для кожного цілого числа n⩾mn \geqslant m.
8–10 класиБієкції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-016

Рівність радіусів описаних кіл при перетині двох кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються в точках MM і NN. Нехай AA і BB — точки дотику цих двох кіл з їхньою спільною зовнішньою дотичною, найближчою до MM. Нехай CC і DD — точки, симетричні точкам AA і BB відповідно відносно точки MM, а EE і FF — точки перетину (відмінні від MM) описаного кола трикутника MCDMCD з колами Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників MEFMEF і NEFNEF мають однаковий радіус.
9–11 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-011

Кількість дільників і розклад у суму

Для натурального числа mm позначимо через d(m)d(m) кількість додатних дільників числа mm (враховуючи 1 і mm). Нехай kk — натуральне число. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що nn має рівно kk різних простих дільників і що для будь-яких натуральних чисел a,ba, b, для яких n=a+bn=a+b, число d(n)d(n) не ділить d(a2+b2)d\left(a^{2}+b^{2}\right).
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-035

Перпендикулярність при перетині двох кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються в різних точках AA і BB. Позначимо через OO центр кола Γ1\Gamma_{1}. Нехай CC — точка кола Γ1\Gamma_{1}, а D,ED, E — відповідно точки перетину прямих (AC)(AC) і (BC)(BC) з колом Γ2\Gamma_{2}. Доведіть, що прямі (OC)(OC) і (DE)(DE) перпендикулярні.
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-068

Сума простих чисел як добуток степеня різниці

Знайти всі четвірки $ (p, q, r, n) $ натуральних чисел, які задовольняють такі три умови: - pp і qq — прості, - p+qp+q не ділиться на 33, - p+q=r(p−q)np+q = r (p-q)^n.
9–11 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-037

Чотирикутник з рівними умовами на кути

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Нехай E,FE, F — дві точки такі, що E,B,C,FE, B, C, F лежать на одній прямій у цьому порядку. Припустимо, крім того, що BAE^=CDF^\widehat{BAE} = \widehat{CDF} і EAF^=FDE^\widehat{EAF} = \widehat{FDE}. Доведіть, що FAC^=EDB^\widehat{FAC} = \widehat{EDB}.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-069

Бісектриса кута у дотичних колах

Нехай два кола ω1\omega_{1}, ω2\omega_{2} дотикаються одне до одного в точці TT, причому ω1\omega_{1} міститься всередині кола ω2\omega_{2}. Нехай MM і NN — дві різні точки на колі ω1\omega_{1}, відмінні від TT. Нехай [AB][AB] і [CD][CD] — дві хорди кола ω2\omega_{2}, що проходять відповідно через MM і NN. Припустимо, що відрізки [BD][BD], [AC][AC] і [MN][MN] перетинаються в одній точці KK. Доведіть, що пряма (TK)(TK) є бісектрисою кута MTN^\widehat{MTN}.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-073

Округлення таблиці зі збереженням сум рядків і стовпців

У клітинках прямокутної таблиці з nn рядками і mm стовпцями записано дійсні числа. Припустимо, що для кожного рядка або стовпця сума чисел, записаних у цьому рядку або стовпці, є цілим числом. Доведіть, що можна замінити кожне дійсне xx на ціле ⌊x⌋\lfloor x\rfloor або ⌈x⌉\lceil x\rceil так, щоб суми кожного рядка і кожного стовпця залишилися без змін. Зауваження: Нагадаємо, що якщо xx — дійсне число, ⌊x⌋\lfloor x\rfloor — єдине ціле число таке, що ⌊x⌋⩽x<⌊x⌋+1\lfloor x\rfloor \leqslant x<\lfloor x\rfloor+1, а ⌈x⌉\lceil x\rceil — єдине ціле число таке, що ⌈x⌉−1<x⩽⌈x⌉\lceil x\rceil-1<x \leqslant\lceil x\rceil.
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-038

Бісектриса кута в конфігурації з півколом

Нехай [AB][AB] — діаметр півкола, на якому взято дві точки CC і DD. Нехай SS — перетин прямих (AC)(AC) і (BD)(BD), а TT — основа перпендикуляра до діаметра [AB][AB], проведеного з SS. Доведіть, що пряма (ST)(ST) — бісектриса кута CTD^\widehat{CTD}.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-047

Колінеарність у трикутнику з дотичною і колом

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB<ACAB < AC, HH — його ортоцентр, Γ\Gamma — його описане коло, dd — дотична до кола Γ\Gamma в AA. Коло з центром BB, яке проходить через AA, перетинає dd в точці DD і (AC)(AC) в точці EE. Доведіть, що точки DD, EE, HH лежать на одній прямій.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.